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考点巩固卷14 空间几何体的表面积和体积（六大考点）-2025年高考数学一轮复习考点通关卷（新高考通用）
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这是一份考点巩固卷14 空间几何体的表面积和体积（六大考点）-2025年高考数学一轮复习考点通关卷（新高考通用），文件包含考点巩固卷14空间几何体的表面积和体积六大考点原卷版docx、考点巩固卷14空间几何体的表面积和体积六大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共90页， 欢迎下载使用。
考点01：斜二测画法及应用
1、画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，
并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可；
2、直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变”；
3、当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应几何体的直观图.注意用实线表示看得见的部分，用虚线表示看不见的部分，画完直观图后还应注意检验；
结论：直观图与原图面积之间的关系：若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，
则有S′＝eq \f(\r(2),4)S或S＝2eq \r(2)S′；利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积；
1．一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（ ）
A．18B．C．D．12
2．如图,直角梯形满足,它是水平放置的平面图形的直观图,则该平面图形的周长是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ）
A．B．C．D．
4．用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示，其中是的中点，且轴， 轴， ，那么（ ）
A．B．2C．D．4
5．如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若，且，则原图形中边上的高为（ ）
A．B．C．D．
6．已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕㯀转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），，，则的面积为（ ）
A．B．C．24D．48
8．水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形
9．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）．
A．B．C．D．
10．如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是（ ）
A．B．C．16D．8
考点02：空间几何体的表面积
侧面积和表面积
11．蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
12．某圆台的下底面周长是上底面周长的4倍，母线长为10，该圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
13．已知正三棱台的上底面积为，下底面积为，高为2，则该三棱台的表面积为（ ）
A．B．C．D．18
14．在正四棱台中，，若正四棱台的高为，则其表面积为（ ）
A．B．C．D．
15．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则（ ）
A．该圆锥的侧面积为B．该圆锥的体积为
C．的面积为D．
16．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
17．在一个圆锥中，为圆锥的顶点， 为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，为底面圆的直径， 是底面圆的内接正三角形，
①平面；
②平面；
③圆锥的侧面积为；
④三棱锥的内切球表面积为．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
18．已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
19．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（ ）
A．B．C．D．
20．如图，为球形物品设计制作正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒，最少用料分别记为，则它们的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
考点03：空间几何体的体积
21．某小区花园内现有一个圆台型的石碑底座，经测量发现该石碑底座上底面圆的半径为1，且上底面圆直径的一端点的投影为下底面圆半径的中点，高为3，则这个圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
22．如图，是圆锥底面中心到母线的垂线，绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角余弦值为（ ）
A．B．C．D．
23．中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为（ ）
A．B．C．D．
24．设四棱台的上、下底面积分别为，，侧面积为，若一个小球与该四棱台的每个面都相切，则（ ）
A．B．
C．D．
25．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的例子，其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水来测量平地降雨量（盆中水的体积与盆口面积之比）已知天池盆盆口直径为一尺四寸，盆底直径为六寸，盆深一尺二寸.当盆中积水深六寸（注：1尺寸）时，平地降雨量是（ ）
A．1寸B．2寸C．3寸D．4寸
26．菏泽市博物馆里，有一条深埋600多年的元代沉船，对于研究元代的发展提供了不可多得的实物资料.沉船出土了丰富的元代瓷器，其中的白地褐彩龙风纹罐（如图）的高约为，把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成（如图），圆台的上底直径约为，下底直径约为，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为（ ）
A．B．C．D．
27．如图，圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱底面半径相等）后，水恰好淹没最上面的铁球，则一个铁球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
28．已知是圆锥的轴截面，点C在SA上，且.若过点C且平行于SB的平面恰过点，且该平面与圆锥底面所成的二面角等于，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
29．若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
30．泉州花灯技艺源于唐朝中期从形式上有人物灯、宫物灯、宫灯，绣房灯、走马灯、拉提灯、锡雕元宵灯等多种款式．在2024年元宵节，小明制做了一个半正多面体形状的花灯，他将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，如图所示．已知该半正多面体的体积为，M为的中心，过M截该半正多面体的外接球的截面面积为S，则S的最大值与最小值之比（ ）
A．B．C．3D．9
考点04：空间几何体的外接球
球的外接问题
1、公式法
正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点
2、补形法（补长方体或正方体）
①墙角模型（三条线两个垂直）
题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）
②对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）
3、单面定球心法（定+算）
步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）；
②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上；
③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径.
4、双面定球心法（两次单面定球心）
如图：在三棱锥中：
①选定底面，定外接圆圆心
②选定面，定外接圆圆心
③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心.
31．如图，已知在四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，，，底面积为，且，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
32．若某圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球表面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
33．已知圆锥的轴截面是一个正三角形，其中是圆锥顶点，AB是底面直径．若C是底面圆O上一点，P是母线SC上一点，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
34．在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
35．已知在直三棱柱中，，，为线段的中点，点在线段上，若平面，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
36．在梯形中, ，且，沿对角线将三角形折起，所得四面体外接球的表面积为，则异面直线与所成角为（ ）
A．B．C．D．
37．在直三棱柱中，为等边三角形，，则三棱柱的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
38．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为，则该多面体外接球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
39．榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
40．如图，在矩形中，，，，分别在线段，上，，将沿折起，使到达的位置，且平面平面，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
考点05： 空间几何体的内切球
球的内切问题（等体积法）
例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下：
即：，可求出.
41．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）．如图所示，正八面体的棱长为，此八面体的外接球与内切球的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
42．已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径分别为，，且，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
43．已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，则圆锥PO的内切球表面职与圆锥侧面积之和为（ ）
A．B．C．D．
44．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的个数有（ ）
①异面直线与所成的角为45°；
②此八面体的外接球与内切球的体积之比为；
③若点为棱上的动点，则的最小值为；
④若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为.
A．1个B．2个C．3个D．4个
45．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
46．已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设圆台与球的体积分别为，则（ ）
A．B．C．D．
47．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为，则下列错误的是（ ）
A．该正八面体结构的外接球表面积为
B．该正八面体结构的内切球表面积为
C．该正八面体结构的表面积为
D．该正八面体结构的体积为
48．如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，为的交点，平面，，则四棱锥的内切球的体积为（ ）
A．B．C．D．
49．已知一圆台内切球与圆台各个面均相切，记圆台上、下底面半径为，若，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）
A．B．C．2D．
50．如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（ ）
A．B．
C．D．
考点06：空间几何体的截面问题
在立体几何中，把空间问题转化为平面问题，历来是立体几何的一个基本问题.过已知不共线三点，作几何体的截面，既是转化为平面问题一个方法，也是深化理解空间点、线、面关系的一个很好的途径.
1、确定截面的主要依据有
（1）平面的四个公理及推论．（2）直线和平面平行的判定和性质．
（3）两个平面平行的性质．（4）球的截面的性质．
2、作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点
51．已知直四棱柱的侧棱长为3，底面是边长为2的菱形，为棱上的一点，且为底面内一动点（含边界），则下列命题正确的是（ ）
A．若与平面所成的角为，则点的轨迹与直四棱柱的交线长为
B．若点到平面的距离为，则三棱锥体积的最大值为
C．若以为球心的球经过点，则该球与直四棱柱的公共部分的体积为
D．经过三点的平面截直四棱柱所得的截面面积为4
52．正方体的棱长为6，，分别是棱，的中点，过，，作正方体的截面，则（ ）
A．该截面是五边形
B．四面体外接球的球心在该截面上
C．该截面与底面夹角的正切值为
D．该截面将正方体分成两部分，则较小部分的体积为75
53．已知一圆锥的底面半径为，该圆锥的母线长为2，A，B为底面圆的一条直径上的两个端点，则下列说法正确的是（ ）
A．其侧面展开图是圆心角为的扇形
B．该圆锥的体积为π
C．从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为
D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为2
54．已知正方体的棱长为2，棱的中点为，过点作正方体的截面，且，若点在截面内运动（包含边界），则（ ）
A．当最大时，与所成的角为
B．三棱锥的体积为定值
C．若，则点的轨迹长度为
D．若平面，则的最小值为
55．已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则（ ）
A．该正方体外接球的表面积为
B．直线与所成角的余弦值为
C．平面截正方体所得截面为等腰梯形
D．点到平面的距离为
56．如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，为底面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当为的中点时，
B．若在线段上运动，三棱锥的体积为定值
C．存在点，使得平面截正方体所得的截面面积为
D．当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为
57．在棱长为1的正方体中，E为的中点，则（ ）
A．
B．平面
C．平面截正方体所得截面面积为
D．四棱锥与四棱锥的体积相等
58．在三棱锥中，已知，棱AC，BC，AD的中点分别是E，F，G，，则（ ）
A．过点的平面截三棱锥所得截面是菱形
B．平面平面
C．异面直线互相垂直
D．三棱锥外接球的半径为
59．与那些英雄们的墓志铭相比，大概只有数学家的墓志铭最为言简意赅．他们的墓碑上往往只是刻着一个图形或写着一个数，这些形和数，展现着他们一生的执着追求和闪光的业绩．古希腊数学家阿基米德就是这样，他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个球．这个球的直径恰与圆柱的高相等．这个称为“等边圆柱”的图形如图所示，记内切球的球心为，圆柱上、下底面的圆心分别为，，四边形是圆柱的一个轴截面，为底面圆的一条直径，若圆柱的高为4，则（ ）
A．内切球的表面积与圆柱的表面积之比为2：3
B．圆柱的外接球的体积与圆柱的体积之比为4：3
C．四面体的体积的最大值为
D．平面截得球的截面面积的取值范围为
60．如图，透明塑料制成的直三棱柱容器内灌进一些水，，，若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则（ ）
A．当底面水平放置后，固定容器底面一边于水平地面上，将容器绕着转动，则没有水的部分一定是棱柱
B．转动容器，当平面水平放置时，容器内水面形成的截面与各棱的交点都是所在棱的中点
C．在翻滚、转动容器的过程中，有水的部分可能是三棱锥
D．容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为
几何体
棱柱
棱锥
棱台
侧面展开图
侧面积公式
ch
(c为底面周长，h为侧棱长)
ch′
(c为底面周长，h′为侧面等腰三角形底边上的高)
(c+c′)h′
(c′，c分别为上、下底面周长，h′为侧面等腰梯形的高)
表面积公式
几何体
圆柱
圆锥
圆台
球
侧面展开图
侧面积公式
表面积公式
几何体
体积
柱
(S为底面面积，h为高)
锥
(S为底面面积，h为高)，
台
(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，
球
(为球的半径)
考点01：斜二测画法及应用
1、画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，
并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可；
2、直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变”；
3、当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应几何体的直观图.注意用实线表示看得见的部分，用虚线表示看不见的部分，画完直观图后还应注意检验；
结论：直观图与原图面积之间的关系：若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，
则有S′＝eq \f(\r(2),4)S或S＝2eq \r(2)S′；利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积；
1．一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（ ）
A．18B．C．D．12
2．如图,直角梯形满足,它是水平放置的平面图形的直观图,则该平面图形的周长是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ）
A．B．C．D．
4．用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示，其中是的中点，且轴， 轴， ，那么（ ）
A．B．2C．D．4
5．如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若，且，则原图形中边上的高为（ ）
A．B．C．D．
6．已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕㯀转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），，，则的面积为（ ）
A．B．C．24D．48
8．水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形
9．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）．
A．B．C．D．
10．如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是（ ）
A．B．C．16D．8
考点02：空间几何体的表面积
侧面积和表面积
11．蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
12．某圆台的下底面周长是上底面周长的4倍，母线长为10，该圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
13．已知正三棱台的上底面积为，下底面积为，高为2，则该三棱台的表面积为（ ）
A．B．C．D．18
14．在正四棱台中，，若正四棱台的高为，则其表面积为（ ）
A．B．C．D．
15．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则（ ）
A．该圆锥的侧面积为B．该圆锥的体积为
C．的面积为D．
16．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
17．在一个圆锥中，为圆锥的顶点， 为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，为底面圆的直径， 是底面圆的内接正三角形，
①平面；
②平面；
③圆锥的侧面积为；
④三棱锥的内切球表面积为．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
18．已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
19．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（ ）
A．B．C．D．
20．如图，为球形物品设计制作正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒，最少用料分别记为，则它们的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
考点03：空间几何体的体积
21．某小区花园内现有一个圆台型的石碑底座，经测量发现该石碑底座上底面圆的半径为1，且上底面圆直径的一端点的投影为下底面圆半径的中点，高为3，则这个圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
22．如图，是圆锥底面中心到母线的垂线，绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角余弦值为（ ）
A．B．C．D．
23．中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为（ ）
A．B．C．D．
24．设四棱台的上、下底面积分别为，，侧面积为，若一个小球与该四棱台的每个面都相切，则（ ）
A．B．
C．D．
25．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的例子，其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水来测量平地降雨量（盆中水的体积与盆口面积之比）已知天池盆盆口直径为一尺四寸，盆底直径为六寸，盆深一尺二寸.当盆中积水深六寸（注：1尺寸）时，平地降雨量是（ ）
A．1寸B．2寸C．3寸D．4寸
26．菏泽市博物馆里，有一条深埋600多年的元代沉船，对于研究元代的发展提供了不可多得的实物资料.沉船出土了丰富的元代瓷器，其中的白地褐彩龙风纹罐（如图）的高约为，把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成（如图），圆台的上底直径约为，下底直径约为，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为（ ）
A．B．C．D．
27．如图，圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱底面半径相等）后，水恰好淹没最上面的铁球，则一个铁球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
28．已知是圆锥的轴截面，点C在SA上，且.若过点C且平行于SB的平面恰过点，且该平面与圆锥底面所成的二面角等于，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
29．若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
30．泉州花灯技艺源于唐朝中期从形式上有人物灯、宫物灯、宫灯，绣房灯、走马灯、拉提灯、锡雕元宵灯等多种款式．在2024年元宵节，小明制做了一个半正多面体形状的花灯，他将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，如图所示．已知该半正多面体的体积为，M为的中心，过M截该半正多面体的外接球的截面面积为S，则S的最大值与最小值之比（ ）
A．B．C．3D．9
考点04：空间几何体的外接球
球的外接问题
1、公式法
正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点
2、补形法（补长方体或正方体）
①墙角模型（三条线两个垂直）
题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）
②对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）
3、单面定球心法（定+算）
步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）；
②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上；
③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径.
4、双面定球心法（两次单面定球心）
如图：在三棱锥中：
①选定底面，定外接圆圆心
②选定面，定外接圆圆心
③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心.
31．如图，已知在四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，，，底面积为，且，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
32．若某圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球表面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
33．已知圆锥的轴截面是一个正三角形，其中是圆锥顶点，AB是底面直径．若C是底面圆O上一点，P是母线SC上一点，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
34．在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
35．已知在直三棱柱中，，，为线段的中点，点在线段上，若平面，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
36．在梯形中, ，且，沿对角线将三角形折起，所得四面体外接球的表面积为，则异面直线与所成角为（ ）
A．B．C．D．
37．在直三棱柱中，为等边三角形，，则三棱柱的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
38．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为，则该多面体外接球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
39．榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
40．如图，在矩形中，，，，分别在线段，上，，将沿折起，使到达的位置，且平面平面，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
考点05： 空间几何体的内切球
球的内切问题（等体积法）
例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下：
即：，可求出.
41．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）．如图所示，正八面体的棱长为，此八面体的外接球与内切球的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
42．已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径分别为，，且，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
43．已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，则圆锥PO的内切球表面职与圆锥侧面积之和为（ ）
A．B．C．D．
44．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的个数有（ ）
①异面直线与所成的角为45°；
②此八面体的外接球与内切球的体积之比为；
③若点为棱上的动点，则的最小值为；
④若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为.
A．1个B．2个C．3个D．4个
45．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
46．已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设圆台与球的体积分别为，则（ ）
A．B．C．D．
47．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为，则下列错误的是（ ）
A．该正八面体结构的外接球表面积为
B．该正八面体结构的内切球表面积为
C．该正八面体结构的表面积为
D．该正八面体结构的体积为
48．如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，为的交点，平面，，则四棱锥的内切球的体积为（ ）
A．B．C．D．
49．已知一圆台内切球与圆台各个面均相切，记圆台上、下底面半径为，若，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）
A．B．C．2D．
50．如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（ ）
A．B．
C．D．
考点06：空间几何体的截面问题
在立体几何中，把空间问题转化为平面问题，历来是立体几何的一个基本问题.过已知不共线三点，作几何体的截面，既是转化为平面问题一个方法，也是深化理解空间点、线、面关系的一个很好的途径.
1、确定截面的主要依据有
（1）平面的四个公理及推论．（2）直线和平面平行的判定和性质．
（3）两个平面平行的性质．（4）球的截面的性质．
2、作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点
51．已知直四棱柱的侧棱长为3，底面是边长为2的菱形，为棱上的一点，且为底面内一动点（含边界），则下列命题正确的是（ ）
A．若与平面所成的角为，则点的轨迹与直四棱柱的交线长为
B．若点到平面的距离为，则三棱锥体积的最大值为
C．若以为球心的球经过点，则该球与直四棱柱的公共部分的体积为
D．经过三点的平面截直四棱柱所得的截面面积为4
52．正方体的棱长为6，，分别是棱，的中点，过，，作正方体的截面，则（ ）
A．该截面是五边形
B．四面体外接球的球心在该截面上
C．该截面与底面夹角的正切值为
D．该截面将正方体分成两部分，则较小部分的体积为75
53．已知一圆锥的底面半径为，该圆锥的母线长为2，A，B为底面圆的一条直径上的两个端点，则下列说法正确的是（ ）
A．其侧面展开图是圆心角为的扇形
B．该圆锥的体积为π
C．从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为
D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为2
54．已知正方体的棱长为2，棱的中点为，过点作正方体的截面，且，若点在截面内运动（包含边界），则（ ）
A．当最大时，与所成的角为
B．三棱锥的体积为定值
C．若，则点的轨迹长度为
D．若平面，则的最小值为
55．已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则（ ）
A．该正方体外接球的表面积为
B．直线与所成角的余弦值为
C．平面截正方体所得截面为等腰梯形
D．点到平面的距离为
56．如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，为底面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当为的中点时，
B．若在线段上运动，三棱锥的体积为定值
C．存在点，使得平面截正方体所得的截面面积为
D．当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为
57．在棱长为1的正方体中，E为的中点，则（ ）
A．
B．平面
C．平面截正方体所得截面面积为
D．四棱锥与四棱锥的体积相等
58．在三棱锥中，已知，棱AC，BC，AD的中点分别是E，F，G，，则（ ）
A．过点的平面截三棱锥所得截面是菱形
B．平面平面
C．异面直线互相垂直
D．三棱锥外接球的半径为
59．与那些英雄们的墓志铭相比，大概只有数学家的墓志铭最为言简意赅．他们的墓碑上往往只是刻着一个图形或写着一个数，这些形和数，展现着他们一生的执着追求和闪光的业绩．古希腊数学家阿基米德就是这样，他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个球．这个球的直径恰与圆柱的高相等．这个称为“等边圆柱”的图形如图所示，记内切球的球心为，圆柱上、下底面的圆心分别为，，四边形是圆柱的一个轴截面，为底面圆的一条直径，若圆柱的高为4，则（ ）
A．内切球的表面积与圆柱的表面积之比为2：3
B．圆柱的外接球的体积与圆柱的体积之比为4：3
C．四面体的体积的最大值为
D．平面截得球的截面面积的取值范围为
60．如图，透明塑料制成的直三棱柱容器内灌进一些水，，，若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则（ ）
A．当底面水平放置后，固定容器底面一边于水平地面上，将容器绕着转动，则没有水的部分一定是棱柱
B．转动容器，当平面水平放置时，容器内水面形成的截面与各棱的交点都是所在棱的中点
C．在翻滚、转动容器的过程中，有水的部分可能是三棱锥
D．容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为
几何体
棱柱
棱锥
棱台
侧面展开图
侧面积公式
ch
(c为底面周长，h为侧棱长)
ch′
(c为底面周长，h′为侧面等腰三角形底边上的高)
(c+c′)h′
(c′，c分别为上、下底面周长，h′为侧面等腰梯形的高)
表面积公式
几何体
圆柱
圆锥
圆台
球
侧面展开图
侧面积公式
表面积公式
几何体
体积
柱
(S为底面面积，h为高)
锥
(S为底面面积，h为高)，
台
(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，
球
(为球的半径)
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