考点巩固卷17 直线与圆(八大考点)-2025年高考数学一轮复习考点通关卷（新高考通用）

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考点01：直线的倾斜角与斜率（范围）
法一：定义法：
已知直线的倾斜角为，且，则该直线的斜率
法二：公式法：
经过两点，的直线的斜率公式：．
注意：①斜率公式与两点的顺序无关，即
②特别地：当时，；此时直线平行于轴或与轴重合；当时，不存在，此时直线的倾斜角为，直线与y轴平行或重合．
法三：数形结合求斜率范围
已知一条线段的端点及线段外一点，求过点的直线与线段有交点的情况下直线的斜率的取值范围，若直线的斜率均存在，则步骤如下：
第一步：连接
第二步：由斜率公式求出
第三步：结合图象逆时针旋转（递增），当接近垂直时为，一旦跨过垂直线则为
逆时针旋转（仍为递增）.
1．已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．或D．
【答案】D
【分析】根据两点间斜率公式计算即可.
【详解】直线的斜率为，直线的斜率为，
结合图象可得直线的斜率的取值范围是.
故选：D
2．已知，若点在线段上，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】利用两点连线的斜率公式知表示点Px,y和点连线的斜率，再数形结合，即可求出结果.
【详解】如图，因为表示点Px,y和点连线的斜率，
又，所以，，
由图知，的最小值为，

故选：C.
3．设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．或B．或C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再画出图形分析可得或，从而即可得解.
【详解】依题意，直线的斜率分别为，
如图所示：
若直线过点且与线段相交，
则的斜率满足或，
即的斜率的取值范围是或 .
故选：B
4．已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．以上都不对
【答案】C
【分析】过点C的直线l与线段AB有公共点，利用数形结合，得到直线l的斜率或，进而求解即可
【详解】如图，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率或，
而，于是直线l的斜率或，
所以直线l斜率k的取值范围是，
故选：C
5．已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】画出图像，数形结合，根据倾斜角变化得到斜率的取值范围.
【详解】如图所示，

直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点，
从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷，
此时斜率，所以此时；
从旋转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大，
此时斜率，所以此时，
综上可得直线的斜率的取值范围为−∞,−1∪1,+∞.
故选：A
6．已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A．[－2，0)∪(0，]B．(－∞，－]∪[2，＋∞)
C．[－2，]D．(－∞，－2]∪[，＋∞)
【答案】D
【分析】求出和，数形结合观察满足直线l过点且与线段AB有公共点下斜率的变化情况即可求出结果.
【详解】根据题意，作出图形如下图：
直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，
所以由图可知过点且与线段AB有公共点时，直线l的斜率取值范围是.
故选：D.
7．已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围.
【详解】直线的方程可化为，
联立方程组，可得，所以直线过定点，
设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则，
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
因为直线经过点，且与线段总有公共点，
所以，即，
因为，所以或，
故直线的倾斜角的取值范围是．
故选：D．
8．设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求得直线的斜率为，且恒过定点，求得，结合题意，求得或，即可求解.
【详解】由直线，可得，
可得直线的斜率为，且恒过定点，则，
如图所示，要使得直线与线段有交点，则或，
可得或，即实数的取值范围为.
故选：A.

9．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可知直线恒过定点，根据斜率公式结合图象分析求解.
【详解】因为直线恒过定点，如图.
又因为，，所以直线的斜率k的范围为.
故选：C.
10．已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】A
【详解】由题知直线过定点，进而作出图形，数形结合求解即可得答案.
【分析】解：直线方程为转化为，
所以直线过定点，且与线段相交，如图所示，
则直线的斜率是，
直线的斜率是，
则直线与线段相交时，它的斜率的取值范围是或.
故选：A．
考点02：两直线的位置关系求参
Ⅰ：平行定理
①当两条直线的斜率存在时，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式为例来研究直线平行的判定
设两条直线分别为：，：
若，则的倾斜角相等，即由，可得，即，此时；反之也成立．
所以有且
②当两条直线的斜率都不存在时，二者的倾斜角均为，若不重合，则它们也是平行直线
注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论：
设两条直线分别为：，： 可得（其中分母不为0）
Ⅱ：垂直定理
①当两条直线的斜率存在且不为0时，均可化成它的斜截式方程，
即
②两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线垂直．
由①②得，两条直线垂直的判定就可叙述为：一般地，或一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零．
注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论：
设两条直线分别为：，： 可得
11．“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据两直线平行的充要条件求出的值即可得解.
【详解】若直线与直线互相平行且不重合，
则，解得，故.
所以“”是“直线与直线互相平行且不重合”的充要条件．
故选：C．
12．已知直线与直线平行，则实数（ ）
A．B．1C．或1D．
【答案】C
【分析】由直线平行的充要条件列式运算即可求解.
【详解】已知直线与直线平行，
则当且仅当，解得或.
故选：C.
13．是直线与直线平行的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据给定条件，由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由直线与直线平行，得且，解得或，
所以是直线与直线平行的充分非必要条件.
故选：A
14．已知直线：和直线：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据直线平行求得或，再结合包含关系分析充分、必要条件.
【详解】若，则，解得或，
若，则直线：、直线：，可知；
若，则直线：、直线：，可知；
综上所述：或.
因为是的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
15．已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（ ）
A．20B．C．0D．24
【答案】B
【分析】根据两直线垂直可求出的值，将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，再将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，由此可得出的值.
【详解】已知直线的斜率为，直线的斜率为．
又两直线垂直，则，解得．
，即，
将交点代入直线的方程中，得．
将交点代入直线的方程中，得．
所以，．
故选：B．
16．已知，，直线和垂直，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意利用两直线垂直的性质，求得，再利用基本不等式，求得的最小值．
【详解】，，直线，，且，
，即．
则，当且仅当时，等号成立，
故的最小值为8，
故选：B．
17．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】由导数的几何意义结合直线垂直斜率之间关系即可得到方程，求解即可.
【详解】因为，所以，
则曲线在点处的切线斜率为，
又因为直线斜率为，
所以，即.
故选：D.
18．当圆截直线所得的弦长最短时，实数（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】先求出直线必过的定点，分析该定点在圆内，结合弦长最短建立方程求解即可.
【详解】将直线的方程变形为，由，可得，
所以，直线经过定点，
圆的标准方程为，圆心为C0,1，
因为，即点在圆内，
故当时，圆心到直线的距离取最大值，此时，直线截圆所得弦长最短，
，直线的斜率为，所以，，解得．
故选：B．
考点03：点线距离及线线距离
①两点间的距离：已知则
②点到直线的距离:
③两平行线间的距离：两条平行直线与的距离公式．
注意：应用此公式时，要把两直线化为一般式，且的系数分别相等．
19．圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．9
【答案】C
【分析】求出圆心到直线的距离加上圆的半径即可得答案.
【详解】圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的距离的最大值为.
故选：C.
20．在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．点的轨迹为圆B．点到原点最短距离为2
C．点的轨迹是一个正方形D．点的轨迹所围成的图形面积为24
【答案】D
【分析】设点的坐标为，由已知条件结合向量的坐标运算用表示出，结合可得的关系，从而可求出点的轨迹方程，再逐个分析判断.
【详解】设点的坐标为，因为，动点满足，
所以，得，
因为，所以，
即点的轨迹方程为，
当时，方程为，
当时，方程为，
当时，方程为，
当时，方程为，
所以点对应的轨迹如图所示，且，,
所以点的轨迹为菱形，所以AC错误，
原点到直线的距离为，所以B错误，
点的轨迹所围成的图形面积为，所以D正确.
故选：D

21．已知椭圆，点关于直线的对称点在上，且点与不重合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，，由题意可得的斜率为，由两点的斜率公式可得，的一个关系式，由，的中点在直线方程上，从而可得的坐标，将点的坐标代入椭圆方程，可求出的值．
【详解】不妨设,，
由题意可得，即：，
又的中点在直线上，
所以，解得y0=t，故，
而在椭圆上．故，解得或，
由于时与坐标相同，故．
故选：C．

22．已知为函数，图象上一动点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分析可知当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，结合导数的几何意义运算求解.
【详解】设，由题意得，
当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，
则，得，，
所以点到直线的距离的最小值为．
故选：A.
23．直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点关于直线的对称点即可求解.
【详解】由，解得，则直线与直线交于点，
在直线上取点，设点关于直线的对称点，
依题意，，整理得，解得，即点，
直线的方程为，即，
所以直线关于直线对称的直线方程为.
故选：D
24．曲线上的点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设切点，根据导数的几何意义计算即可求解.
【详解】令，则，
设该曲线在点处的切线为，
需求曲线到直线的距离最小，必有该切线的斜率为2，
所以，解得，则切点为，
故切线的方程为，即，
所以直线到直线的距离为，
即该曲线上的点到直线的最小距离为.
故选：C
25．已知过抛物线的焦点的直线与交于两点，线段的中点为，且，若点在抛物线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，，从而得到，利用抛物线的定义得到，解得，根据题意可知点在直线上，故将的最小值转化为求与平行的切线与直线之间的距离.
【详解】设，由的中点为，得，
由抛物线的定义可得，
又，所以，故抛物线的方程为．
易知点在直线上，
设与平行且与抛物线相切的直线方程为，
由，可得，
则，得，
则切线与直线之间的距离即的最小值，故的最小值为．
故选：A
26．平行直线与之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先通过平行求出，再利用平行线的距离公式求解.
【详解】因为，所以，，
解得，所以，
故两平行直线间的距离．
故选：C．
考点04：直线的对称问题（秒杀）
点关于直线成轴对称问题（所有对称都可以转化为点关于线对称）
由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标一般情形如下：设点关于直线的对称点为，则有
，可求出、．
27．过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识求得正确答案.
【详解】圆的圆心为，
直线关于直线对称时，与直线垂直，
所以直线的方程为，
由解得，所以.
故选：A.
28．已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好过点，则入射光线所在的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】运用点关于直线对称，求出关于轴对称点，后运用光线反射规律，结合两点式方程，求出入射光线方程即可.
【详解】运用点关于直线对称，求出关于轴对称点，与在同一条直线上，
运用两点式得到入射光线所在的直线方程为，整理得.
则入射光线所在的直线方程为.
故选：A.
29．已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（ ）
A．直线过,的中点B．直线的斜率为
C．直线的斜率为3D．直线的一个方向向量的坐标是
【答案】B
【分析】根据与关于直线对称，逐项判断可得答案.
【详解】对于A，因为与关于直线对称，所以直线过，的中点，故A正确；
对于B，直线的斜率为，故B错误；
对于C，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为3 ，故C正确；
对于D，因为直线的斜率为3，所以直线的一个方向向量的坐标是，故D正确.
故选：B.
30．一条光线从点出发，经轴反射后，若反射光线被圆遮挡，则反射光线的斜率可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直线与圆相交，即可求解斜率的范围.
【详解】点关于轴的对称点为，
设反射光线的斜率为，直线方程为，整理为，
当反射光线与圆相交时，，解得，
可得反射光线的斜率的取值范围为，
故选：C．
31．已知是抛物线上一点，圆关于直线对称的圆为，是圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据对称性求出圆的方程，设，求出的最小值，即可求出MN的最小值.
【详解】圆圆心为，半径，设，
则由对称性可知：，解得，则，
所以圆，
设，则，
所以当，即时，，
所以MN的最小值是.
故选：A
32．光线从点射到轴上，经轴反射后经过圆上的点，则该光线从点A到点的路线长的最小值是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】A
【分析】求出点关于x轴的对称点，则最短路径的长为减去圆的半径，计算求得结果
【详解】由题意可得圆心，半径点关于x轴的对称点，
所以，
该光线从点A到点的路线长的最小值为，
故选：A
33．已知一束光线照射到曲面上一点，其反射光线和入射光线与点处的法线（即过点的切线的垂线）的夹角相等．从平面直角坐标系内一点发出的光线，照射到圆上的点，反射后交轴于点，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．
【答案】B
【分析】由题意求出直线的方程以及直线的方程，设关于的对称点为，结合点关于直线对称，求出的表达式，代入的方程中，即可求得答案.
【详解】设的圆心为．由题意，知圆的标准方程为，
作出圆与射线，，的大致图象，如图，
则与关于对称，由于，，，
故直线的方程为，直线的方程为，
设关于的对称点为，则，
解得，又点一定在上，
所以，解得，
故选：B．
34．已知圆关于直线对称的圆的方程为．若点是圆上一点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据点关于直线对称可得，进而根据直线与圆相切，结合点到直线的距离公式求解.
【详解】设圆的圆心为．
因为圆关于直线对称的圆的方程为，
圆的圆心为，半径为2，
所以圆的半径为2，两圆的圆心关于直线对称，
则解得即，
故圆的方程为．
的几何意义为圆上的点Px,y与坐标原点O0,0连线的斜率，
如图，过原点作圆的切线，当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，所以圆心到直线的距离，解得．
由图可知的最大值是．
故选:A．

考点05：圆的切线和切线长问题
第一类：求过圆上一点的圆的切线方程的方法
正规方法：
第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率
第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为
第三步：利用点斜式求出切线方程
注意：若则切线方程为，若不存在时，切线方程为
秒杀方法：
①经过圆上一点的切线方程为
②经过圆上一点的切线方程为
③经过圆上一点的切线方程为
第二类：求过圆外一点的圆的切线方程的方法
方法一：几何法
第一步：设切线方程为，即，
第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出
方法二:代数法
第一步：设切线方程为，即，
第二步：代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由可求得，切线方程即可求出
注意：过圆外一点的切线必有两条，当上面两种方法求得的只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可得数形结合求出.
第三类：求斜率为且与圆相切的切线方程的方法
方法一：几何法
第一步：设切线方程为，即
第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出.
方法二:代数法
第一步：设切线方程为，
第二步：代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由可求得，切线方程即可求出
方法三：秒杀方法
已知圆的切线的斜率为，则圆的切线方程为
已知圆的切线的斜率为，则圆的切线方程为
35．已知点在抛物线M:y2=8x上，过点作圆C:x−42+y2=1的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（ ）
A．5B．6C．7D．
【答案】A
【分析】由圆的切线的性质可求得PC，结合抛物线方程计算可得点横坐标，即可得点到的准线的距离.
【详解】如图所示：
设切点为Q，则|CQ|=1,|PQ|=26，
则PC=CQ|2+PQ|2=12+(26)2=5，
设Px,y，则由两点间距离公式得到(x−4)2+y2=(x−4)2+8x=x2+16=5，
解得，因为y2=8x≥0，所以，
因为的准线方程为，所以点到的准线的距离PE为3−−2=5.
故选：A.
36．在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则k的值不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先设出，利用求出在以原点为圆心，半径为2的圆上，数形结合转化为且只需原点到直线的距离小于半径2即可，用点到距离公式列出不等式，求出的取值范围可得答案.
【详解】设，连接，设，
则，，所以，
又，
所以，
令，则有，解得：或，
因为在单位圆外，所以舍去，
即在以原点为圆心，半径为2的圆上，
因为曲线上存在四个点，
即与圆有4个交点，且过点，
结合图象可知，且只需原点到直线的距离小于半径2即可，
所以，解得：或（舍去）.，
所以、、都符合.
故选：D.
37．若双曲线的渐近线与圆相切，且圆的圆心是双曲线的一个焦点，则双曲线的实轴长为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合点到直线距离公式求解即得.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
圆的圆心，半径r=22，
依题意，双曲线的半焦距，，则，
所以双曲线的实轴长为.
故选：B
38．过点作圆的切线，为切点，，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆的切线的性质得出，结合勾股定理可得，即a2+b2=2，然后设，将a2+b2=2化为关于的一元二次方程，利用根的判别式大于等于0，求出的最大值，可得答案．
【详解】解：根据题意，圆的圆心为O0,0，半径.
若与圆相切于点，则，可得，
即a2+b2=2，设，则，
可得，整理得，
关于的一元二次方程有实数解，所以，解得.
当，时，有最大值，即的最大值是.
故选：C.
39．在平面直角坐标系中，已知圆，为直线上的一个动点，过点作圆的切线，切点为点，当最小时，则的值为（ ）
A．4B．C．2D．3
【答案】A
【分析】判断出最小时点的位置，进而求得此时的值.
【详解】由于是圆的切线，所以，所以，
当时，PC最小，此时最小.
到直线的距离为，
则时，，，
所以此时三角形是等腰直角三角形，
所以当最小时，则的值为.
故选：A
40．过点向圆作两条切线，切点分别为，若，则（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用切线长定理。结合两点间距离公式列式求解即得.
【详解】圆的圆心，半径，连接，
依题意，，则，
于是，整理得，
所以或.
故选：D
41．已知点P为抛物线上一点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设点，根据给定条件，结合切线长定理及二倍角的余弦公式将的函数，再求出函数的最小值即得.
【详解】设点，则，
由切圆于点，得，且，
因此，
而，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值.
故选：D
42．已知圆与抛物线相交于两点，分别以为切点作的切线. 若都经过的焦点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，联立圆与抛物线的方程可得，再结合圆的切线性质及抛物线的定义求得，然后利用二倍角的余弦计算即得.
【详解】设，由消去得：，
则有，又为圆的切线，，
由抛物线的定义得，即有化简得：，
解得，因此，整理得，
而，
所以.
故选：C
考点06：圆与圆的位置关系
设两圆圆心分别为，半径分别为，
①外离4条公切线
②外切3条公切线

③相交2条公切线
④内切1条公切线
⑤内含无公切线
记忆方法：

43．在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分两圆外切和内切两种情况，根据两圆位置关系结合双曲线的定义分析求解.
【详解】由题意可知：圆的圆心为O0,0，半径，
设，以线段FP为直径的圆的圆心为M，半径为，
若圆与圆外切，则，，
可得；
若圆与圆内切，则，，
可得；
综上所述：，
可知动点P的轨迹是以为焦点的双曲线，且，则，
所以动点P的轨迹方程为.
故选：B.
44．已知圆 圆则两圆的公切线条数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】确定两圆的位置关系后可得公切线条数．
【详解】圆标准方程为，
则已知两圆圆心分别为，半径分别为2,22，
圆心距为，
因此两圆外切，它们有三条公切线，
故选：B．
45．已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则b的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将问题转化为以为直径的圆与圆有交点，结合图形可得.
【详解】因为圆C上存在点P，使得，
所以，以为直径的圆与圆有交点，
又以为直径的圆，圆心为O0,0，半径为，圆的圆心为，半径为2，
所以，即，即.
故选：A

46．已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据两直线方程可知两直线分别过定点且垂直，可求得点轨迹方程，再由圆与圆的位置关系找出圆心距与两圆半径之间的关系可得结果.
【详解】易知直线恒过定点A−2,0，
直线恒过定点，
且，易知直线与互相垂直，即可得，
所以点轨迹是以为直径的圆，圆心为的中点，半径为；
可得点轨迹方程为；
又因为点在圆上，所以可得圆与圆有公共点，
当两圆内切（圆在外）时，取得最大值；
此时满足，解得.
故选：D
47．已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．内切D．内含
【答案】D
【分析】根据点到直线的距离公式求的值，再利用几何法判断两圆的位置关系.
【详解】圆：，所以圆心，半径为.
由点到直线距离公式得：，且，所以.
又圆的圆心，半径为：1.
所以，.
由，所以两圆内含.
故选：D
48．已知P是圆上的一个动点，直线上存在两点A，B，使得恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可知以为直径的圆要内含或内切圆，根据两圆的位置关系分析求解.
【详解】已知圆的圆心为，半径，
若直线上存在两点A，B，使得恒成立，
则以为直径的圆要内含或内切圆，
因为点到直线l的距离，
所以长度的最小值为，
故选：B．
考点07：圆的公共弦和公共切线
切点弦方程
①过圆外一点引圆的两条切线，切点分别为,则过两点得直线方程为
②过圆外一点引圆的两条切线，切点分别为,则过两点得直线方程为
49．过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则原点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先求解四边形的外接圆的方程，再求解直线的方程，即可求解点到直线的距离.
【详解】由图可知，，，
则四点共圆，圆的直径是，点，，
，的中点坐标为，
所以四边形的外接圆的方程为，
即，圆，
两式相减得直线的方程，
则原点到直线的距离.
故选：A
50．圆与圆的公共弦长为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程为，即可利用点到线的距离公式以及圆的弦长公式求解.
【详解】的圆心和半径分别为,
，故两圆相交，
将两个圆的方程作差得，即公共弦所在的直线方程为，
又知，，
则到直线的的距离，
所以公共弦长为，
故选:A．
51．已知圆与圆交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，两圆方程相减即可得到直线的方程，再由弦长公式，即可得到结果.
【详解】因为圆与圆交于A，B两点，
则直线的方程即为两圆相减，可得，
且圆，半径为，
到直线的距离，
所以.
故选：C
52．已知圆：与圆：交于A，B两点，当变化时，的最小值为，则（ ）
A．0B．±1C．±2D．
【答案】C
【分析】先求两个圆的公共弦所在直线方程，利用勾股定理求出弦长的表达式，结合最值可得答案.
【详解】两圆的公共弦所在线的方程为：，圆心到直线的距离为，
，因为，所以，
所以，解得.
故选：C
53．若圆与圆恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点的是（ ）
A．B．
C．x+y−2=0D．
【答案】D
【分析】根据两圆公切线条数确定两圆位置关系，从而可得圆心所满足的轨迹方程，从而逐项判段直线与圆位置关系，确定直线是否过点即可.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
若圆与圆恰有一条公切线，则两圆内切，
所以，即，所以点的轨迹为圆，
对于A，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故A不符合；
对于B，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故B不符合；
对于C，圆心到直线x+y−2=0的距离为，则该直线过点，故C不符合；
对于D，圆心到直线的距离为，则该直线不过点，故D符合；
故选：D.
54．圆和圆的公切线方程是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】A
【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程.
【详解】解：，圆心，半径，
，圆心，半径，
因为，
所以两圆相内切，公共切线只有一条，
因为圆心连线与切线相互垂直，，
所以切线斜率为，
由方程组解得，
故圆与圆的切点坐标为，
故公切线方程为，即．
故选：A.
考点08：与圆有关的最值问题
形如：若是定圆上的一动点，则求和这两种形式的最值
思路1：几何法
①的最值，设，圆心到直线的距离为由即可解得两个值，一个为最大值，一个为最小值
②的最值：即点与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值
思路2：代数法
①的最值，设，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值.
②的最值：设，则，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值.
55．已知是圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案.
【详解】设，变形可得，
则的几何意义为直线的斜率，
圆化为，
所以圆的圆心为，半径为.
因为Px0,y0是圆上任意一点，
所以圆与直线有公共点，即圆的圆心到直线的距离不大于圆的半径，
所以，解得，
即的最大为.
故选:D.
56．已知，，，点P是圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设，则，利用圆上的点到圆外一点距离最值的特征即可求解.
【详解】点，B−2,0，，设，
则，
因为点P在圆上运动，
所以表示圆上的点到点的距离的平方，
所以的最小值为，
即的最小值为.
故选：D﹒
57．已知为直线上的动点，为圆上的动点，点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，不妨令，根据两点间的距离公式求出点的坐标，则要使最小，即最小，求出的最小值即可得解.
【详解】设，不妨令，
则，
整理得，
又，所以，
则，解得，
所以存在定点，使得，
要使最小，即最小，
则，B，D三点共线，且DA垂直于直线时取得最小值，如图所示，
所以的最小值为．
故选：C.
58．已知O是所在平面内一点，且，，，则的最大值为（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得点轨迹是以为圆心，半径为的圆，再由直线与圆相切可得的最大值为.
【详解】根据，可得，
即可得；
即可知点轨迹是以为圆心，半径为的圆，如下图所示：
由图可知，当与圆相切时，取到最大，
又，可知此时.
故选：B.
59．已知点是圆上一点，点是圆上一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用圆的最值问题和正弦定理即可求解.
【详解】圆的圆心，半径，
圆的圆心， 半径，
在三角形中，，
根据正弦定理可得，，即，
所以，
因为，，
所以，
因为，所以是锐角，
所以的最大值为.
故选：B.
60．已知点在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据垂径定理可得点在以C0,1为圆心，为半径的圆上，再利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由题意可得圆的标准方程为，
设圆心为，半径为，则C0,1，，
所以由垂径定理可得，故点在以C0,1为圆心，为半径的圆上，
因为点到直线的距离，
所以PQ的最小值为，
故选：A