考点巩固卷18 椭圆方程及其性质(六大考点)-2025年高考数学一轮复习考点通关卷（新高考通用）

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考点01：椭圆的定义（妙用）
结论1： 椭圆第一定义
结论2：标准方程 由定义即可得到椭圆标准方程
结论3： 椭圆第二定义
1．已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点的轨迹为（ ）
A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线
2．设O为坐标原点，，为椭圆C：的左，右两个焦点，点R在C上，点是线段上靠近点的三等分点，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为ΔMF1F2的内心和重心，则IG⋅F1F2=（ ）
A．0B．1C．D．3
4．已知椭圆的左､右焦点分别为，若经过的弦满足，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的射线分别与椭圆和圆相交于点，过点作，垂足为为坐标原点，则（ ）
A．B．C．2D．
6．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于点，与轴交于点，，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点和上顶点A的直线交于另外一点，若，且的面积为，则实数的值为（ ）
A．3B．C．3或7D．或7
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足,延长线交椭圆于另一点，，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
9．设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
考点02：椭圆的焦点三角形问题
椭圆焦点为，，P为椭圆上的点，，则；
证明：设
推论及应用：（注意：r为内切圆半径）
①三角形（直角）等面积法：如上图，当时，有；
，．
②任意角度的三角形等面积法：．
③最大面积、最大顶角考点：当点P位于椭圆的短轴顶点时，取最大值，根据等面积法，此时．
④直角顶点的处理技巧：当时，取得最大值，若，则，；同理可得，若，则，；若，则，．
⑤直角顶点个数考点，当时，有四个点P存在；当时，有两个点P存在；当时，无点P存在。
注意：与的区别，不一定为顶点.
11．已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两个动点，且，面积的最大值为，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则（ ）
A．B．C．1D．
12．已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，是上一点，的内切圆的圆心为，则椭圆 的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
13．单位向量，向量满足，若存在两个均满足此条件的向量，使得，设，在起点为原点时，终点分别为.则的最大值（ ）
A．B．C．4D．2
14．已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（ ）
A．1B．C．D．8
15．已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（ ）
A．2B．4C．8D．9
17．已知椭圆的两个焦点为，，点，为上关于坐标原点对称的两点，，的面积记为，且，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
18．已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．的面积等于
C．的离心率等于D．直线的斜率为
19．已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，为的内心，记，的面积分别为，且满足，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
20．已知分别是椭圆的左、右焦点，在上，在轴上，，以为直径的圆过，且的面积为，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
考点03：椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质
离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （）
当越接近1时，越接近，椭圆越扁；
当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆；
当且仅当时，图形为圆，方程为
1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：
2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）
3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：
（1）；
（2），，；
（3）,，；
21．椭圆的长轴长与焦距之差等于（ ）
A．B．C．D．
22．已知点在圆上运动，点为椭圆的右焦点与上顶点，则最小值为（ ）
A．B．C．D．
23．若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（ ）
A．B．C．或D．或
24．设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好有4个，则实数的值可以是（ ）
A．0B．2C．4D．6
25．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，且，的面积为，则椭圆的焦距为（ ）
A．B．C．6D．12
26．已知椭圆：的左、右两个顶点为，，点，，是的四等分点，分别过这三点作斜率为的一组平行线，交椭圆于，，…，，则直线，，…，，这6条直线的斜率乘积为（ ）
A．B．C．8D．64
27．已知椭圆 的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，若的内心为，连接并延长交轴于点，且，则椭圆的短轴长为（ ）
A．2B．C．D．
28．已知椭圆的左顶点为A，左焦点为为该椭圆上一点且在第一象限，若射线上存在一点，使得，线段的垂直平分线与射线交于点，则（ ）
A．1B．2C．D．
29．设椭圆的离心率是椭圆的离心率的倍，则的长轴长为（ ）
A．1B．C．2D．
30．已知椭圆的离心率，上顶点的坐标为，右顶点为A,P为上横坐标为1的点，直线与轴交于点为坐标原点，则（ ）
A．1B．C．D．
考点04：求椭圆离心率及取值范围
1、离心率是圆锥曲线的核心概念，求离心率的值或取值范围即寻求间的等量关系和不等关系并结合求解．该类问题往往是数学知识的交汇点，数学思想和方法的综合点，往往有两种题型，即显示约束条件和隐藏约束条件．两种解题方向，即以形为主的解题方向，注意结合平面几何知识求解；以数为主的解题方向，要注意方程和不等式的联系．
2、与椭圆焦点三角形有关的问题有意考查椭圆的定义、正弦定理或余弦定理、三角形边的关系、面积公式、基本不等式等，其中包含关于的等量关系和不等关系，借此可确定离心率的值或取值范围．
31．设分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，直线与以为圆心、为半径的圆切于点为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
32．点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
33．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆相交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接，．若O为坐标原点，，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
34．已知椭圆C： （）的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
35．已知是椭圆的左、右焦点，若上存在不同的两点，使得，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
36．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
37．已知椭圆的左焦点为，直线与C分别交于两点（A在x轴上方），与y轴交于点为坐标原点．若，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
38．已知椭圆的左、右焦点分别为，点A，B在上，直线倾斜角为，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
39．已知为椭圆上一点，分别为其左、右焦点，为坐标原点，，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
40．已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
考点05：椭圆的中点弦问题
中点弦问题：若直线与椭圆交于两点，为中点，则用点差法处理
结论1：
证明：设

41．若椭圆的中心在原点，焦点在轴，一个焦点为，直线与椭圆相交所得弦的中点坐标为，则这个椭圆的方程为 .
42．已知F是椭圆C：（）的左焦点，是椭圆C过F的弦，的垂直平分线交x轴于点P.若，且P为的中点，则椭圆C的离心率为 .
43．已知正方形的四个顶点均在椭圆上，的两个焦点分别是的中点，则的离心率是 .
44．已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，过的直线交E于A，B两点，是线段BF1的中点，且，则E的方程为 ．
45．已知，分别为椭圆：的两个焦点，右顶点为，为的中点，且，直线与交于，两点，且的周长为28，则椭圆的短轴长为 .
46．已知圆在椭圆的内部，为上的一个动点，过作的一条切线，交于另一点，切点为，若当为的中点时，直线的倾斜角恰好为，则该椭圆的离心率 .
47．已知椭圆，平行于轴的直线与交于点，平行于轴的直线与交于点，直线与直线在第一象限交于点，且，，，，若过点的直线与交于点，且点为的中点，则的方程为 ．
48．已知O为坐标原点，点F为椭圆的右焦点，点A，B在C上，AB的中点为F，，则C的离心率为 ．
49．设О为坐标原点，A为椭圆C：上一个动点，过点A作椭圆C内部的圆E：的一条切线，切点为D，与椭圆C的另一个交点为B，D为AB的中点，若OD的斜率与DE的斜率之积为2，则C的离心率为 .
50．已知椭圆的右焦点为是的中点，若椭圆上到点的距离最小的点有且仅有一个，则椭圆的离心率的取值范围为 .
考点06：椭圆中过原点的向量积问题
椭圆与直线相交于两点，O为坐标原点，求
解：设
将代入得：
将（1）（2）代入（3）得：
注意：椭圆与直线相交于两点，为坐标原点，且，或（以AB线段为直径的圆过坐标原点O），设原点到直线的距离为，则。
由于
故：
51．已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，且
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线 与椭圆交于，两点，且，求实数的值和的面积.
52．已知椭圆为其左焦点，在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若A，B是椭圆C上不同的两点，O为坐标原点，若，是否存在某定圆始终与直线相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由.
53．已知O为坐标原点，椭圆的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l与椭圆C交于A，B两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围．
54．已知P为椭圆短轴上的一个顶点，，为的左、右焦点，且的面积为，椭圆的焦距为2．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l为圆的切线，且l与相交于A，B两点，求的取值范围（O为坐标原点）．
55．已知椭圆的短轴长为2，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于，两点，若（为坐标原点），求实数的值．
56．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为M，，且原点O到直线的距离为.
（1）求椭圆C的方程：
（2）已知斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，求的取值范围.
57．已知双曲线C： ＝1(a，b>0)的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，其中c>0， M(c，3)在C上，且C的离心率为2.
（1）求C的标准方程；
（2）若O为坐标原点，∠F1MF2的角平分线l与曲线D： ＝1的交点为P，Q，试判断OP与OQ是否垂直，并说明理由.
58．设定圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）直线与曲线有两个交点，，若，证明：原点到直线的距离为定值．
59．定义：已知椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆.设椭圆的协同圆为圆(为坐标系原点)，试解决下列问题：
（1）写出协同圆圆的方程；
（2）设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值；
（3）设是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.
60．已知､分别为椭圆左右焦点，为椭圆上一点，满足轴，，且椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线交椭圆于，两点，(其中为坐标原点)，与直线平行且与椭圆相切的两条直线分别为､，若与两直线间的距离为，求直线的方程.