湖南省长沙市2023-2024学年 九年级上学期数学期末考试试卷

这是一份湖南省长沙市2023-2024学年 九年级上学期数学期末考试试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于“明天是晴天的概率为90％”，下列说法正确的是（ ）
A．明天一定是晴天B．明天一定不是晴天
C．明天90％的地方是晴天D．明天是晴天的可能性很大
3．已知⊙O的半径为1，点P在⊙O外，则OP的长（ ）
A．大于1B．小于1C．大于2D．小于2
4．一元二次方程的一个根为，那么c的值为（ ）．
A．9B．3C．D．
5．如图，四边形内接于，在延长线上，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．4B．3C．D．
7．明明和强强是九年级学生，在本周的体育课体能检测中，检测项目有跳远，坐位体前屈和握力三项．检测要求三选一，并且采取抽签方式取得，那么他们两人都抽到跳远的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在平面内将△ABC绕点A逆时针旋转50°到△AB′C′的位置，此时恰有CC′∥AB，则∠CAB为（ ）
A．65°B．50°C．60°D．45°
9．如图，在中，，连接AC，CD，则AC与CD的关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较
10．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．时，y随x的增大而增大
C．D．该函数图象是中心对称图形
二、填空题
11．以平面直角坐标系原点O为圆心，半径为3的圆与直线x=3的位置关系是______．
12．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，B、D、C在一条直线上．若∠B＝70°，则∠EDC＝________°．
13．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________．
14．如图，点A，点B，点C在⊙O上，分别连接AB，BC，OC．若AB＝BC，∠B＝40°，则∠OCB＝________．
15．已知关于的方程的两个根为，，则方程的两根为________．
16．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为______cm．
17．如图，二次函数与一次函数的图象相交于点，，则使成立的的取值范围是_______________________．
三、解答题
18．用适当的方法解方程．
（1）
（2）
19．图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于x轴对称的；
（2）画出绕点O顺时针旋转90°后得到的．
20．已知二次函数（m为常数，且），该函数图象与y轴交于点．求：
（1）二次函数表达式为______；
（2）二次函数图象与x轴的交点坐标为______；
（3）当时，y的取值范围是______；
（4）将该二次函数的图象向下平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，平移后的图象对称轴为______，最小值为______．
21．某商场以每件40元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x(元）满足一次函数m= -2x+160．
（1）写出商场买出这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数解析式；
（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，那么每件商品的售价定位多少元最合适？最大的销售利润为多少元？
22．如图，AB是⊙O的直径，点C是BA延长线上一点，CD切⊙O于D点，弦DE∥CB，Q是AB上一动点，CA＝1，CD是⊙O半径的倍．
(1)求⊙O的半径R；
(2)当Q从A向B运动的过程中，图中阴影部分的面积是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不发生变化，请你求出阴影部分的面积．
23．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+4与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C．
(1)求点A，点B的坐标；
(2)求△ABC的面积；
(3)P为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP面积的最大值．
24．如图，四边形内接于⊙，，．
(1)求点到的距离；
(2)求的度数．
25．某商场购进一批进货价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高价格．调查发现，若按每件20元的价格销售，每月能卖出360件，若按每件25元的价格销售，每月能卖210件，假定每月销售量y（件）是销售价格x（元/件）的一次函数．
(1)求y与x之间的关系式；
(2)销售价定为多少元时，该商场每月获得利润最大？最大利润是多少？
26．如图，抛物线y=ax2+x+c的图象与x轴交于A（-3，0），B两点，与y轴交于点C（0，-2），连接AC．点P是x轴上的动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作x轴的垂线，交线段AC于点D，E为y轴上一点，连接AE，BE，当AD=BE时，求AD+AE的最小值；
（3）点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1．B
2．D
3．A
4．D
5．A
6．A
7．B
8．A
9．B
10．C
11．相切
12．
13．
14．20°
15．或
16．
17．或
【分析】找出二次函数的图象位于一次函数的图象的上方时，的取值范围即可得．
【详解】解：表示的是二次函数的图象位于一次函数的图象的上方，
，
使成立的的取值范围是或，
故答案为：或．
18．（1），；（2）
【分析】（1）提取公因式(x-2)，利用因式分解法求解即可求得答案；
（2）利用因式分解法求解即可求得答案．
【详解】解：（1）


∴，
（2）

∴
19．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O即可；
（2）画出△ABO绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2O即可；
【详解】解：①△ABO关于x轴对称的△A1B1O如图所示；
②△ABO绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2O如图所示；
20．（1）；（2），；（3）；（4）；．
【分析】（1）将点代入函数表达式确定m的值再代入函数表达式即可；
（2）当时，求解一元二次方程得解即可确定与x轴的交点坐标；
（3）根据抛物线解析式可却其对称轴及开口方向向上，存在最小值，结合自变量取值范围，可知距离对称轴较远，取到最大值，在对称轴处取到最小值，代入求解即可；
（4）先将抛物线解析式化为顶点式，然后根据平移规律：上加下减，左加右减，进行平移确定新的函数解析式，根据解析式即可得出对称轴及最小值．
【详解】解：（1）将点代入函数表达式为：，
解得：，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）当时，
，
，
解得：，，
∴与x轴的交点坐标为：，，
故答案为：，；
（3）抛物线的对称轴为：，开口方向向上，有最小值，
∵，
∴0距离对称轴较远，取到最大值，
∴；
；
∴y的取值范围为：，
故答案为：；
（4）化为顶点式为：，
先向下平移3个单位长度变为：=，
再向右平移1个单位长度变为：，
可得平移后的抛物线解析式为：，
∴对称轴为：，最小值为，
故答案为：；．
21．（1）y与每件的销售价x之间的函数解析式是；（2）每件商品的售价定位60元最合适，最大的销售利润为800元．
【分析】（1）此题可以按等量关系“每天的销售利润＝（销售价−进价）×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围；
（2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案．
【详解】（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x-40）元，那么m件的销售利润为y＝m（x-40），又∵m＝−2x+160，
∴，
∴y与每件的销售价x之间的函数解析式是；
由（1可得）
，
可得每件商品的售价定位60元最合适，最大的销售利润为800元．
22．（1）R=1；（2）阴影部分的面积不发生变化，为．
【分析】（1）连OD，根据勾股定理即可列方程求解；
（2）根据弦DE∥CB，可以连接OD，OE，则阴影部分的面积就转化为扇形ODE的面积．所以阴影部分的面积不变．只需根据直角三角形的边求得角的度数即可．
【详解】解：（1）连OD，根据题意，得CD＝R，CO=R+1，
∵CD切⊙O于D点，
∴DO⊥CD，
在直角三角形CDO中，由勾股定理，得3R2+R2＝（1+R）2，解得：R＝1或R＝﹣（负数舍去）．
即⊙O的半径R为1；
（2）当Q从A向B运动的过程中，图中阴影部分的面积不发生变化．
连接OE；
∵DE∥CB，
∴S△ODE＝S△QDE；
∴S阴影＝S扇形ODE；
∵CD切⊙O于D点，
∴DO⊥CD，
∴∠CDO＝90°，
∵＝，
∴∠DCO＝30°，
∴∠COD＝60°，
∴∠ODE＝60°，
∴△ODE是等边三角形；
∴∠DOE＝60°，
∴S阴影＝S扇形ODE＝．
所以阴影部分的面积不发生变化，为．
23．(1)A(﹣4，0)，B(2，0)；(2)S△ABC＝12；(3)当x＝﹣2时，△ACP最大面积4
【分析】（1）令y=0，解一元二次方程可得A，B坐标.
（2）求出C点坐标可求，△ABC的面积.
（3）作PD⊥AO交AC于D，设P的横坐标为t，用t表示PD和△ACP的面积，得到关于t的函数，根据二次函数的最值的求法，可求△ACP面积的最大值．
【详解】解：(1)设y＝0，则0＝﹣x2﹣x+4
∴x1＝﹣4，x2＝2
∴A(﹣4，0)，B(2，0)
(2)令x＝0，可得y＝4
∴C(0，4)
∴AB＝6，CO＝4
∴S△ABC＝×6×4＝12
(3)如图：作PD⊥AO交AC于D
设AC解析式y＝kx+b
∴
解得：
∴AC解析式y＝x+4
设P(t，﹣ t2﹣t+4)则D(t，t+4)
∴PD＝(﹣t2﹣t+4)﹣(t+4)＝﹣t2﹣2t＝﹣(t+2)2+2
∴S△ACP＝PD×4＝﹣(t+2)2+4
∴当x＝﹣2时，△ACP最大面积4
24．(1)2；(2)135°．
【分析】（1）作OM⊥AC于M，根据等腰直角三角形的性质得到AM=CM=2，根据勾股定理即可得到结论；
（2）连接OA，根据等腰直角三角形的性质得到∠MOC=∠MCO=45°，求得∠AOC=90°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．
【详解】(1)作于，
∵，
∴，
∵，
∴；
(2)连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
25．(1)
(2)24元，1920元
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质可得最值情况．
【小题1】解：由题意可知：，
解得：，
∴y与x之间的关系式为：；
【小题2】由（1）可知：y与x的函数关系应该是y=-30x+960，
设商场每月获得的利润为W，由题意可得
W=（x-16）（-30x+960）=-30x2+1440x-15360．
∵-30＜0，
∴当x==24时，利润最大，W最大值=1920，
答：当单价定为24元时，获得的利润最大，最大的利润为1920元．
26．（1）；（2）4；（3）存在，点P的坐标为（-5，0）或（，0）或（，0）或（-1，0）．
【分析】（1）将A、C两点代入，利用待定系数法求得抛物线的表达式；
（2）由AD=BE，将AD+AE转化为BE+AE，通过两点之间线段最短即可得解；
（3）分情况讨论，AC为平行四边形的对角线、 AQ为对角线、AP为对角线三种情况讨论．
【详解】（1）将A（-3，0），C（0，-2），代入y=ax2+x+c得，
，解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）令，解得x=-3或1，
∴点B的坐标为（1，0），
当AD=BE时，AD+AE=BE+AE，
∴当A、E、B三点共线时，BE+AE最小，最小值为AB的长，
∴当AD=BE时，AD+AE的最小值为AB=1-(-3)=4；
（3）存在．设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，），
①若AQ为平行四边形的对角线，则PA=QC，QC∥x轴，如图①，
∴-3-m=0-n，，
解得n=-2或0（舍去），
∴m=-5，
∴点P的坐标为（-5，0）；
②若AP为对角线，则AC=PQ，如图②所示，
即m-n=3，，
解得n=-1+或-1-，
∴m=2+或2-，
∴点P的坐标为（2+，0）或（2-，0）；
③当AC是平行四边形的对角线时，则AQ=PC，如图③，
即m-（-3）=0-n，，
解得n=-2或0（舍去），
∴m=-1，
∴点P的坐标为（-1，0）．
综上所述，点P的坐标为（-5，0）或（2+，0）或（2-，0）或（-1，0）．