湖北省宜城市第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷

这是一份湖北省宜城市第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷，共9页。试卷主要包含了设，则曲线在点处的切线的斜率是，已知为正实数，且，则的最小值为，函数的部分图象大致为，荀子《劝学》中说，若，则的大小关系是，下列命题正确的有等内容，欢迎下载使用。

1.设，则曲线在点处的切线的斜率是（ ）
A. B. C.1 D.4
2.“或”是“幂函数在上是减函数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知为正实数，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
4.函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海，”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天的“退步”率都是，一年后是.这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过（ ）
（参考数据：）
A.70天 B.80天 C.90天 D.100天
6.已知函数且，若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.若，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.下列命题正确的有（ ）
A.函数定义域为，则的定义域为
B.函数是奇函数
C.已知函数存在两个零点，则
D.函数在上为增函数
10.已知正数满足，则下列结论正确的是（ ）
A.的最大值为4 B.的最小值为8
C.的最小值为3 D.的最小值
11.已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.点是函数的一个对称中心
C.当时，
D.函数恰有6个零点
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，若，则的取值范围为__________.
13.记实数的最小数为，若，则函数的最大值为__________.
14.已知函数，若对任意且，都有，则__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
设集合.
（1）当时，求；
（2）记，若集合的真子集有7个，求：所有实数的取值所构成的集合.
16.（15分）
已知函数，若曲线在处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）求函数在上的最大值､最小值.
17.（15分）
如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设.
现规划了如下三项工程：
工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；
工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元；
工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元.
记这三项工程的总造价为亿元.
（1）求实数的取值范围；
（2）问点在何处时，最小，并求出该最小值.
18.（17分）
已知且，函数.
（1）求的定义域及其零点；
（2）讨论并证明函数在定义域上的单调性；
（3）设，当时，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.
19.（17分）
已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若函数存在正零点，
（i）求的取值范围；
（ii）记为的极值点，证明：.
参考答案：
12. 13. 14.4
15.（1）（2）
【详解】（1）当时，，
，即，解得或，
（2）若集合的真子集有7个，则，可得，
即中的元素只有3个，
而，解得或，
由（1）知，
则当时，，
故所有实数的取值所构成的集合为
16.（1）
（2）答案见详解
（3）.
【详解】（1）由题意可知：，则.
因为曲线在处的切线方程为，
则，即，解得
（2）因为，
当时，；当时，；
可知函数的单调递增区间为和；
函数的单调递减区间为，
的极大值为的极小值为.
（3）函数在上单调递增，在上单调递减，
且，
函数在上的最大值，最小值.
17.（1）
（2）当点满足时，最小，最小值为5.1亿元.
【详解】（1）因为直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，所以，解得：.
直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，
所以，解得：，
故实数的取值范围为.
（2）依题意可得：.
，
当且仅当，即时取等.
所以当点满足时，最小，最小值为5.1亿元.
18.（1）
（2）答案见解析
（3）
【详解】（1）函数的意义，则，解得，
所以函数的定义域为；
令可得，解得，
故函数的零点为：；
（2）设是内的任意两个不相等的实数，且，
则，
，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增；
（3）若对任意，存在，使得成立，
只需，
由（2）知当时，在上单调递增，则，
当时，成立；
当时，在上单调递增，，
由，可解得；
当时，在[3，4]上单调递减，，
由，可解得；
综上，满足条件的的范围是
19.（1）单调递减区间是，无单调递增区间
（2）（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）由已知可得的定义域为，
且，
因此当时，，从而，
所以的单减区间是，无单增区间；
（2）（i）由（1）知，，
令，
当时，单调递减.
①当时，可知在内单调递减，
又，故当时，，所以不存在正零点；
②当时，，
在单调递减，故当时，，函数不存在正零点；
③当时，，此时，
所以存在满足，
所以在内单调递增，在内单调递减.
令，则当时，，
故在内单调递增，在内单调递减，
从而当时，，即，
所以，
又因为，所以，
因此，此时存在正零点；
综上，实数的取值范围为；
（ii）由题意，，即
从而，即，
由（i）知当时，，即，有，
又，故，
两边取对数，得，
于是，整理得.
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助，从而得到，即可得.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
B
C
D
B
B
D
A
AB
ABD
AC