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2024-2025学年湖北省武汉二中高一（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）
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这是一份2024-2025学年湖北省武汉二中高一（上）月考数学试卷（9月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列四个关系：
①0∈{0}；②⌀⊆{0}；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a,b)}={(b,a)}.其中正确的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.若集合A={1,9,a2}，B={9,3a}，则满足A∩B=B的实数a的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.已知正实数a，b，设甲：ab1 b，则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知1≤a+b≤4，−1≤a−b≤2，则4a−2b的取值范围是( )
A. {x|−4C. {x|−25.已知条件p：|x+1|>2，条件q：x>a，且￢p是￢q的充分不必要条件，则a的取值范围( )
A. a≥1B. a≤1C. a≥−1D. a≤−3
6.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4，则下面选项正确的为( )
A. 2025∈[3]
B. −2∈[2]
C. Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]
D. 整数a、b属于同一“类”的充分不必要要条件是“a−b∈[0]”
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC周长为3，则4a+b+1c的最小值为( )
A. 32B. 94C. 3D. 103
8.记max{x,y,z}表示x，y，z中最大的数.已知x，y均为正实数，则max{2x,1y,x2+4y2}的最小值为( )
A. 12B. 1C. 2D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. a>b的一个必要条件是a−1>b
B. 若集合A={x|ax2+x+1=0}中只有一个元素，则a=4
C. “ac<0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一正一负根”的充要条件
D. 已知集合M={0,1}，则满足条件M∪N=M的集合N的个数为4
10.下列说法正确的是( )
A. 若a>b，则ac2>bc2
B. 命题“∃x∈R，12”
C. 若x∈R，则函数y= x2+4+1 x2+4的最小值为2
D. 当x∈R时，不等式kx2−kx+1>0恒成立，则k的取值范围是[0,4)
11.定义全集U的子集A的特征函数fA(x)=1,x∈A0,x∈∁UA，这里∁UA表示A在全集U中的补集，那么对于集合A、B⊆U，下列所有正确说法是( )
A. A⊆B⇒fA(x)≤fB(x)B. f∁UA=1−fA(x)
C. fA∪B(x)=fA(x)+fB(x)D. fA∩B(x)=fA(x)⋅fB(x)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合A={x|x2+2x−8=0}，B={x|x2−5x+6=0}，C={x|x2−mx+m2−13=0}，若B∩C≠⌀，A∩C=⌀，则m= ______．
13.设集合A={a1,a2,a3,a4,a5}，B={a12,a22,a32,a42,a52}，其中a1、a2、a3、a4、a5是五个不同的正整数，且a114.对于一个由整数组成的集合A，A中所有元素之和称为A的“小和数”，A的所有非空子集的“小和数”之和称为A的“大和数”.已知集合B={−7,−3,−1,1,2,3,4,5,6,7,13}，则B的“小和数”为______，B的“大和数”为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知集合A={x|a+2≤x≤3a−4}(a∈R)，B={x|8≤x≤12}．
(1)若A∪∁RB=R，求a的取值范围；
(2)若A∩B=⌀，求a的取值范围．
16.(本小题15分)
已知非空集合A={x|a−1≤x≤2a+3}，B={x|−2≤x≤4}，全集U=R．
(1)当a=2时，求(∁UA)∪(∁UB)；
(2)若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
已知p：关于x的方程x2−2ax+a2+a−1=0有实数根，q：m−1≤a≤m+3．
(1)若命题¬p是假命题，求实数a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
18.(本小题15分)
对于二次函数y=mx2+nx+t(m≠0)，若存在x0∈R，使得mx02+nx0+t=x0成立，则称x0为二次函数y=mx2+nx+t(m≠0)的不动点．
(1)求二次函数y=x2−x−3的不动点；
(2)若二次函数y=2x2−(3+a)x+a−1有两个不相等的不动点x1、x2，且x1、x2>0，求x1x2+x2x1的最小值．
(3)若对任意实数b，二次函数y=ax2+(b+1)x+(b−1)(a≠0)恒有不动点，求a的取值范围．
19.(本小题17分)
给定整数n≥3，由n元实数集合S定义其相伴数集T={|a−b||a,b∈S,a≠b}，如果min(T)=1，则称集合S为一个n元规范数集，并定义S的范数f为其中所有元素绝对值之和．
(1)判断A={−0.1,−1.1,2,2.5}、B={−1.5,−0.5,0.5,1.5}，哪个是规范数集，并说明理由；
(2)任取一个n元规范数集S，求证：|min(S)|+|max(S)|≥n−1；
(3)当S={a1,a2,…,a2023}遍历所有2023元规范数集时，求范数f的最小值．
注：min(X)、max(X)分别表示数集X中的最小数与最大数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵0是{0}中的元素，
∴0∈{0}，即①正确．
∵⌀是任何集合的子集，即⌀⊆{0}，
∴②正确．
∵{0,1}含有两个元素是数0和1，而{(0,1)}只含有一个元素是点(0,1)，
即{0,1}和{(0,1)}含有的元素属性不一样，
∴③不正确．
∵{(a,b)}含有一个元素为点(a,b)，
而{(b,a)}含有一个元素为点(b,a)，
(a,b)与(b,a)是不相同的点，
∴{(a,b)}≠{(b,a)}，
即④不正确．
故选B．
利用元素与集合的关系要用∈或∉，集合与集合的关系要用⊂、⊆等可逐一判断得到答案．
采用逐一判断的方法是解决这类问题的通法．
2.【答案】B
【解析】解：A∩B=B，
则B⊆A，
当1=3a，即a=13时，A={1,9,19}，B={9,1}，满足题意，
当3a=a2，即a=3或a=0，
当a=0时，A={1,9,0}，B={9,0}，满足题意，
当a=3时，集合A中的元素不满足元素的互异性，舍去，
综上所述，a=0或13，
故满足A∩B=B的实数a的个数为2．
故选：B．
根据已知条件，推得B⊆A，再分类讨论，即可求解．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为a>0，b>0，且ab−a+1b+1=a−bb(b+1)<0，解得01b，则1 a>1 b，所以甲是乙的充分条件；
由1 a>1 b可得b>a>0，所以ab−a+1b+1=a−bb(b+1)<0，即ab所以甲是乙的充要条件．
故选：C．
分别根据充分条件，必要条件的定义以及不等式的性质化简即可求解．
本题考查了充分，必要条件的定义，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由−1≤a−b≤2，1≤a+b≤4，
得0≤(a−b)+(a+b)≤6，即0≤2a≤6，
−2≤2(a−b)≤4，
所以−2≤2(a−b)+2a≤10，即−2≤4a−2b≤10．
故选：D．
利用a+b和a−b范围求出0≤2a≤6，然后利用不等式的性质求解即可．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
求出：|x+1|>2，根据￢p是￢q的充分不必要条件，得出q是p充分不必要条件，即可求解．
本题综合考查了充分、必要条件，与命题之间的关系，结合不等式求解．
【解答】
解：∵p：|x+1|>2，∴p：x>1或x<−3，
∵￢p是￢q的充分不必要条件，
∴q是p充分不必要条件，
∵q：x>a，p：x>1或x<−3，
∴a≥1
故选：A．
6.【答案】C
【解析】解：在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4，
对于A，2025=405×5∈[0]，A错误；
对于B，−2=−1×5+3∈[3]，B错误；
对于C，每个整数除以5后的余数只有0，1，2，3，4，没有其他余数，
所以Z⊆[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，又[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]⊆Z，
故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，C正确；
对于D，若a，b∈[m]，m=0，1，2，3，4，
则a=5n1+m，n1∈Z，b=5n2+m，n2∈Z，
∴a−b=5(n1−n2)∈[0]
若a−b∈[0]，则a−b=5p，p∈Z，
不妨设a∈[t]，t=0，1，2，3，4，
则a=5n3+t，n3∈Z，
所以b=5(n3−p)+t，n3−t∈Z，
所以a，b除以5后余数相同，
所以a，b属于同一“类”
所以整数a、b属于同一“类”的充要条件是“a−b∈[0]”，D错误．
故选：C．
求2025被5除的余数，判断A，求−2被5除的余数，判断B，根据新定义及集合相等的定义判断C，结合新定义及充分条件，必要条件的定义判断D．
本题主要考查新定义下集合的分类，考查计算能力，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：由题意可得，a+b+c=3，
所以4a+b+1c=13(4a+b+1c)(a+b+c)
=13(5+4ca+b+a+bc)≥13(5+2 4ca+b⋅a+bc)=3，
当且仅当a+b=2c时取等号．
故选：C．
由已知结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查由基本不等式求最值或取值范围，属于中档题．
设M=max{2x,1y,x2+4y2}，则M≥2x，M≥1y，M≥x2+4y2，三式相加得3M≥2x+1y+x2+4y2，再结合基本不等式的性质求解即可．
【解答】
解：因为x>0，y>0，
设M=max{2x,1y,x2+4y2}，
则M≥2x，M≥1y，M≥x2+4y2，
三式相加得：3M≥2x+1y+x2+4y2
⩾2x+1y+2 x2⋅4y2，
当且仅当x=2y时，等号成立，
又因为2x+1y+2 x2⋅4y2
=2x+1y+4xy≥332x⋅1y⋅4xy=6，
当且仅当2x=1y=4xy，
即x=2y4xy2=1，y=12x=1时等号成立，
所以3M≥6，M≥2，
所以M的最小值为2．
故选：C．
9.【答案】CD
【解析】解：对于A，当a=2，b=1.5时满足a>b，但a−1>b不成立，
所以a>b不是a−1>b的充分条件，a−1>b不是a>b的必要条件，故A错误；
对于B，当a=0时，方程ax2+x+1=0的解为x=−1，
此时集合A中只有一个元素，满足题意，
当a≠0时，ax2+x+1=0为一元二次方程，
则由集合A中只有一个元素得Δ=1−4a=0，故a=14，
所以符合题意的a有两个，a=0或a=14，故B错误；
对于C，一元二次方程ax2+bx+c=0有一正一负根，则Δ=b2−4ac>0x1x2=ca<0⇒ac所以“ac<0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一正一负根”的充要条件，故C正确；
对于D，因为M∪N=M，所以N⊆M，
又M={0,1}，故集合N的个数为22=4个，故D正确．
故选：CD．
对于A，举例a>b时a−1>b不成立，进而由充分条件和必要条件的定义可判断；对于B，按a=0和a≠0两种情况去探究；对于C，先由一元二次方程ax2+bx+c=0有一正一负根得Δ=b2−4ac>0x1x2=ca<0，该不等式组的解即为方程ax2+bx+c=0有一正一负根的充要条件；对于D，先由M∪N=M得N⊆M，再由M={0,1}结合子集个数公式即可得解．
本题考查充要条件的判断，不等式的性质，集合的性质，属于中档题．
10.【答案】BD
【解析】解：当c=0时，A显然错误；
命题∃x∈R，12，B正确；
令t= 4+x2，t≥2，
原函数可化为y=t+1t，t≥2，
因为y=t+1t在t≥2时单调递增，t=2时，函数取得最小值52，C错误；
当x∈R时，不等式kx2−kx+1>0恒成立，
当k=0时，1>0恒成立，符合题意；
当k≠0时，k>0k2−4k<0，解得0故0≤k<4，D正确．
故选：BD．
举出反例检验选项A；结合含有量词的命题的否定检验选项B；结合函数单调性检验选项C；结合二次函数的性质检验选项D．
本题主要考查了不等式的性质，含有量词的命题的否定，函数单调性在最值求解中的应用，不等式恒成立求解参数范围，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A：∵A⊆B，分类讨论：
①当x∈A，则x∈B，此时fA(x)=fB(x)=1；
②当x∉A，且x∉B，即x∈∁UB，此时fA(x)=fB(x)=0；
③当x∉A，且x∈B，即x∈(∁UA)∩B时，fA(x)=0，fB(x)=1，此时fA(x)≤fB(x)．
综上有fA(x)≤fB(x)，故A正确；
对于B：f∁UA(x)=1,x∈∁UA0,x∈A=1−fA(x)，故B正确；
对于C：假设A∩B≠⌀，任取x∈A∩B，则x∈A∪B，则fA∪B(x)=1，fA(x)+fB(x)=2，则fA∪B(x)≠fA(x)+fB(x)，故C不正确；
对于D：(1)若A∩B=⌀，则fA∩B(x)=0，有三种情况：
①当x∈A时，fA(x)=1，fB(x)=0；
②当x∈B时，fA(x)=0，fB(x)=1；
③当x∉A且x∉B时，fA(x)=0，fB(x)=0，
以上均满足fA∩B(x)=fA(x)⋅fB(x)．
(2)若A∩B≠⌀时，有以下4种情况，
①当x∈A且x∉B时，fA(x)=1，fB(x)=0，fA∩B(x)=0；
②当x∉A且x∈B时，fA(x)=0，fB(x)=1，fA∩B(x)=0；
③当x∈A∩B时，fA∩B(x)=fA(x)=fB(x)=1；
④当x∈∁U(A∪B)时，fA∩B(x)=fA(x)=fB(x)=0，
以上均满足fA∩B(x)=fA(x)⋅fB(x)．
综上所述，fA∩B(x)=fA(x)⋅fB(x)，故D正确．
故选：ABD．
利用特征函数的定义知，由A⊆B，对x与A、B关系分类讨论，可得A正确；利用特征函数的定义可判断B的正误；取特殊值情况A∩B≠⌀，利用定义可判断C的正误；利用集合运算与函数运算进行分类讨论可判断D的正误，综合可得出结论．
本题主要考查集合包含关系及其应用，考查逻辑推理能力，属于难题．
12.【答案】4
【解析】解：A={x|x2+2x−8=0}={−4,2}，B={x|x2−5x+6=0}={2,3}，
因为B∩C≠⌀，A∩C=⌀，所以3∈C，2∉C，−4∉C，
由3∈C得9−3m+m2−13=0，即m2−3m−4=0，解得m=−1或m=4，
当m=−1时，解x2+x−12=0得C={−4,3}，此时A∩C={−4}，不满足题意；
当m=4时，解x2−4x+3=0得C={1,3}，满足题意．
所以m=4．
故答案为：4．
求出集合A，B，根据集合关系可得3∈C，求出m的值，然后验证可得．
本题主要考查了集合交集运算的应用，属于基础题．
13.【答案】A={1,3,4,9,11}或A={1,3,6,9,10}．
【解析】解：由题意，得 a12=a1，所以a1=1，
因为a1+a4=10，
所以a4=9，
因为A∪B中所有元素之和是246，
即1+a2+a3+a5+a22+a32+81+a52=246，
化简为：a2+a3+a5+a22+a32+a52=164，
因为a4=9若a5=12，则a2+a3+a22+a32=164−122−12=8，
而a2最小为2，a3最小为3，所以a5<12，
所以a5=10或者a5=11，
当a5=11时，a2+a3+a22+a32=164−112−11=32，
此时a2=3，a3=4恰好满足，
当a5=10时，a2+a3+a22+a32+164−102−10=54，
此时a2=3，a3=6恰好满足，
所以集合A有两种可能：A={1,3,4,9,11}或A={1,3,6,9,10}．
故答案为：A={1,3,4,9,11}或A={1,3,6,9,10}．
先求出a1和a4，再已知条件列出a2，a3，a5的方程，利用分类讨论即可求解．
本题考查了有限制条件的不定方程，列出方程后，先对最大数取值，再对较小数取值，直到满足条件即可．
14.【答案】30 30720
【解析】解：由题意可知，B的“小和数”为(−7)+(−3)+(−1)+1+2+3+4+5+6+7+13=30，
集合B中一共有11个元素，则一共有211个子集，
对于任意一个子集M，总能找到一个子集M−，使得M+M−=B，
则子集M与子集M−中元素合起来为B，且无重复，
如M={−7,−3,−1}，M−={1,2,3,4,5,6,7,13}，
则M与M−的“小和数”之和为A的“小和数”，
这样的子集对共有2112=210个，
其中M=B时，M−=⌀，考虑非空子集，则子集对位210−1对，
则B的“大和数”为(210−1)×30+30=30720．
故答案为：30；30720．
根据“小和数”的定义直接求解第一个空，集合B中一共有11个元素，则一共有211个子集，对于任意一个子集M，总能找到一个子集M−，使得M+M−=B，再结合“大和数”的定义求解第二个空．
本题主要考查了集合子集的定义，考查了子集的个数问题，属于中档题．
15.【答案】解：(1)∵A∪CRB=R，∴B⊆A，
∴a+2≤83a−4⩾12⇒a≤6a⩾163⇒a∈[163,6]，
∴a的范围是[163,6]．
(2)(i)若A=⌀，则a+2>3a−4，所以a<3，此时满足A∩B=⌀；
(ii)若A≠⌀，则a≥3，
若A∩B=⌀，则3a−4<8或a+2>12，解得a<4或a>10，
∴3≤a<4或a>10；
综上，a的取值范围为{a|a<4或a>10}．
【解析】(1)由A∪CRB=R，可知B⊆A，列出关于a的不等式组，再求出a的取值范围即可；
(2)根据条件，分A=⌀和A≠⌀两种情况，求出a的取值范围即可．
本题考查了交、并、补集的混合运算和集合间的基本关系，考查了分类讨论思想和转化思想，属基础题．
16.【答案】解：(1)方法一：当a=2时，A={x|1≤x≤7}，所以∁UA={x|x<1或x>7}．
因为B={x|−2≤x≤4}，所以∁UB={x|x<−2或x>4}，
所以(∁UA)∪(∁UB)={x|x<1或x>4}．
方法二：当a=2时，A={x|1≤x≤7}，故A∩B={x|1≤x≤4}，
所以(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)={x|x<1或x>4}．
(2)因为x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，所以A是B的真子集，
A≠⌀时，a−1≥−2,2a+3<4,a−1≤2a+3或a−1>−2,2a+3≤4,a−1≤2a+3,
解得−1≤a<12或−1综上，实数a的取值范围是[−1,12]．
【解析】(1)方法一，根据条件，直接利用补集、并集的运算法则，即可求出结果；方法二，利用(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)，利用交集运算，求出A∩B，即可求出结果．
(2)根据条件得出A是B的真子集，再根据集合间的包含关系即可求出结果．
本题考查集合的运算，考查充分必要条件，属于基础题．
17.【答案】解：(1)命题¬p是假命题，
则p为真命题，
p：关于x的方程x2−2ax+a2+a−1=0有实数根，
则Δ=4a2−4(a2+a−1)≥0，解得a≤1，
故实数a的取值范围为{a|a≤1}．
(2)q：m−1≤a≤m+3，p：a≤1，
p是q的必要不充分条件，
则m+3≤1，解得m≤−2，
故m的取值范围为{m|m≤−2}．
【解析】(1)先推出p为真命题，再结合二次函数的判别式法，即可求解；
(2)结合(1)的结论，以及充分条件、必要条件的定义，即可求解．
本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题，
18.【答案】解：(1)由题意知：x2−x−3=x，x2−2x−3=0，(x−3)(x+1)=0，
解得x1=−1，x2=3，所以不动点为−1和3．
(2)依题意，2x2−(3+a)x+a−1=x有两个不相等的正实数根，
即方程2x2−(4+a)x+a−1=0有两个不相等的正实数根，
所以，解得a>1，
所以x1x2+x2x1=x12+x22x1⋅x2=(x1+x2)2−2x1⋅x2x1⋅x2=(x1+x2)2x1⋅x2−2=(4+a2)2a−12−2=(a+4)24a−12−2=(a−1+5)22(a−1)−2=(a−1)2+10(a−1)+252(a−1)−2=a−12+252(a−1)+3，
因为a>1，所以a−1>0，
所以a−12+252(a−1)+3≥2 a−12⋅252(a−1)+3=8，当且仅当a−12=252(a−1)，即a=6时等号成立，
所以x1x2+x2x1的最小值为8．
(3)由题知：ax2+(b+1)x+(b−1)=x(a≠0)，
所以ax2+bx+(b−1)=0，由于函数y=ax2+(b+1)x+(b−1)(a≠0)恒有不动点，
所以Δ=b2−4a(b−1)≥0，即b2−4ab+4a≥0，
又因为b是任意实数，所以Δ′=(−4a)2−16a≤0，
即a(a−1)≤0(a≠0)，解得0所以a的取值范围是(0,1]．
【解析】(1)由x2−x−3=x求得不动点．
(2)由2x2−(3+a)x+a−1=x有两个不相等的正实数根列不等式，结合根与系数关系以及基本不等式求得x1x2+x2x1的最小值．
(3)由ax2+(b+1)x+(b−1)=x(a≠0)恒有解，结合判别式求得a的取值范围．
本题主要考查了新定义问题，求解关于“不动点”的问题，关键是把握住“不动点”的定义f(x0)=x0，涉及一元二次方程根的问题，可结合根与系数关系、判别式来进行求解，属于中档题．
19.【答案】(1)解：对于集合A={−0.1,−1.1,2,2.5}，因为|2.5−2|=0.5<1，
所以集合A不是规范数集；
对于集合B={−1.5,−0.5,0.5,1.5}，
|−1.5−0.5|=2，|−1.5−1.5|=3，|−0.5−0.5|=1，|−0.5−1.5|=2，|0.5−1.5|=1，
所以集合B相伴数集T={1,2,3}，即min(T)=1，
故集合B是规范数集．
(2)证明：不妨设集合S中的元素为x1因为S为规范数集，则∀i∈N*，1≤i≤n−1，则xi+1−xi≥1，且∃i0∈N*，1≤i0≤n−1，使得xi0+1−xi0=1，
当x1≥0时，则|min(S)|+|max(s)=|x1|+|xn|=x1+xn=(x2−x1)+(x3−x2)+⋅⋅⋅+(xn−xn−1)+2x1≥n−1+2x1≥n−1，
当且仅当xi+1−xi=1且x1=0时，等号成立；
当xn≤0时，|min(S)|+|max(s)=|x1|+|xn|=−x1−xn=(x2−x1)+(x3−x2)+⋅⋅⋅+(xn−xn−1)−2xn≥n−1，
当且仅当xi+1−xi=1且xn=0时，等号成立；
当x1<0，xn>0时，|min(S)|+|max(s)=|x1|+|xn|=−x1+xn=(x2−x1)+(x3−x2)+⋅⋅⋅+(xn−xn−1)≥n−1−2xn≥n−1，
当且仅当xi+1−xi=1时，等号成立；
综上所述，|min(S)|+|max(S)|≥n−1．
(3)解：不妨设a1因为S为规范数集，则∀i∈N*，1≤i≤2022，则ai+1−ai≥1，且∃i0∈N*，1≤i0≤2022，使得ai0+1−ai0=1，
所以对于Sj={aj,…,a2024−j}⊆S，同样有∀j∈N*，1≤j≤1011，则aj+1−aj≥1，
由(2)的证明过程与结论，|min(S)|+|max(S)|≥n−1可得，
|min(S)|+|max(S)|≥2024−2j，当且仅当aj+1−aj=1时，等号成立，
即|a1|+|a2023|≥2022，|a2|+|a2022|≥2020，⋅⋅⋅，|a1011|+|a1013|≥2，
所以范数f=|a1|+|a2|+…+|a2023|≥2022+2020+⋅⋅⋅+2+|a2012|=(2022+2)×10112+|a2012|
=1012×1011+|a2012|≥1012×1011，
当且仅当|a2012|=0时，等号成立，
所以范数f的最小值为1012×1011．
【解析】(1)根据n元规范数集的定义，只需判断集合A，B中的元素两两相减的差的绝对值，是否都大于等于1即可；
(2)利用n元规范数集的定义，得到xi+1−xi≥1，从而分类讨论x1≥0，xn≤0和x1<0，xn>0三种情况，结合取绝对值的方法即可证明；
(3)利用规范数集的定义和(2)的结论即可得解．
本题考查新定义的理解与运用，分类讨论的熟悉思想方法，属难题．
1.下列四个关系：
①0∈{0}；②⌀⊆{0}；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a,b)}={(b,a)}.其中正确的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.若集合A={1,9,a2}，B={9,3a}，则满足A∩B=B的实数a的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.已知正实数a，b，设甲：ab
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知1≤a+b≤4，−1≤a−b≤2，则4a−2b的取值范围是( )
A. {x|−4
A. a≥1B. a≤1C. a≥−1D. a≤−3
6.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4，则下面选项正确的为( )
A. 2025∈[3]
B. −2∈[2]
C. Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]
D. 整数a、b属于同一“类”的充分不必要要条件是“a−b∈[0]”
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC周长为3，则4a+b+1c的最小值为( )
A. 32B. 94C. 3D. 103
8.记max{x,y,z}表示x，y，z中最大的数.已知x，y均为正实数，则max{2x,1y,x2+4y2}的最小值为( )
A. 12B. 1C. 2D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. a>b的一个必要条件是a−1>b
B. 若集合A={x|ax2+x+1=0}中只有一个元素，则a=4
C. “ac<0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一正一负根”的充要条件
D. 已知集合M={0,1}，则满足条件M∪N=M的集合N的个数为4
10.下列说法正确的是( )
A. 若a>b，则ac2>bc2
B. 命题“∃x∈R，1
C. 若x∈R，则函数y= x2+4+1 x2+4的最小值为2
D. 当x∈R时，不等式kx2−kx+1>0恒成立，则k的取值范围是[0,4)
11.定义全集U的子集A的特征函数fA(x)=1,x∈A0,x∈∁UA，这里∁UA表示A在全集U中的补集，那么对于集合A、B⊆U，下列所有正确说法是( )
A. A⊆B⇒fA(x)≤fB(x)B. f∁UA=1−fA(x)
C. fA∪B(x)=fA(x)+fB(x)D. fA∩B(x)=fA(x)⋅fB(x)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合A={x|x2+2x−8=0}，B={x|x2−5x+6=0}，C={x|x2−mx+m2−13=0}，若B∩C≠⌀，A∩C=⌀，则m= ______．
13.设集合A={a1,a2,a3,a4,a5}，B={a12,a22,a32,a42,a52}，其中a1、a2、a3、a4、a5是五个不同的正整数，且a1
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知集合A={x|a+2≤x≤3a−4}(a∈R)，B={x|8≤x≤12}．
(1)若A∪∁RB=R，求a的取值范围；
(2)若A∩B=⌀，求a的取值范围．
16.(本小题15分)
已知非空集合A={x|a−1≤x≤2a+3}，B={x|−2≤x≤4}，全集U=R．
(1)当a=2时，求(∁UA)∪(∁UB)；
(2)若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
已知p：关于x的方程x2−2ax+a2+a−1=0有实数根，q：m−1≤a≤m+3．
(1)若命题¬p是假命题，求实数a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
18.(本小题15分)
对于二次函数y=mx2+nx+t(m≠0)，若存在x0∈R，使得mx02+nx0+t=x0成立，则称x0为二次函数y=mx2+nx+t(m≠0)的不动点．
(1)求二次函数y=x2−x−3的不动点；
(2)若二次函数y=2x2−(3+a)x+a−1有两个不相等的不动点x1、x2，且x1、x2>0，求x1x2+x2x1的最小值．
(3)若对任意实数b，二次函数y=ax2+(b+1)x+(b−1)(a≠0)恒有不动点，求a的取值范围．
19.(本小题17分)
给定整数n≥3，由n元实数集合S定义其相伴数集T={|a−b||a,b∈S,a≠b}，如果min(T)=1，则称集合S为一个n元规范数集，并定义S的范数f为其中所有元素绝对值之和．
(1)判断A={−0.1,−1.1,2,2.5}、B={−1.5,−0.5,0.5,1.5}，哪个是规范数集，并说明理由；
(2)任取一个n元规范数集S，求证：|min(S)|+|max(S)|≥n−1；
(3)当S={a1,a2,…,a2023}遍历所有2023元规范数集时，求范数f的最小值．
注：min(X)、max(X)分别表示数集X中的最小数与最大数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵0是{0}中的元素，
∴0∈{0}，即①正确．
∵⌀是任何集合的子集，即⌀⊆{0}，
∴②正确．
∵{0,1}含有两个元素是数0和1，而{(0,1)}只含有一个元素是点(0,1)，
即{0,1}和{(0,1)}含有的元素属性不一样，
∴③不正确．
∵{(a,b)}含有一个元素为点(a,b)，
而{(b,a)}含有一个元素为点(b,a)，
(a,b)与(b,a)是不相同的点，
∴{(a,b)}≠{(b,a)}，
即④不正确．
故选B．
利用元素与集合的关系要用∈或∉，集合与集合的关系要用⊂、⊆等可逐一判断得到答案．
采用逐一判断的方法是解决这类问题的通法．
2.【答案】B
【解析】解：A∩B=B，
则B⊆A，
当1=3a，即a=13时，A={1,9,19}，B={9,1}，满足题意，
当3a=a2，即a=3或a=0，
当a=0时，A={1,9,0}，B={9,0}，满足题意，
当a=3时，集合A中的元素不满足元素的互异性，舍去，
综上所述，a=0或13，
故满足A∩B=B的实数a的个数为2．
故选：B．
根据已知条件，推得B⊆A，再分类讨论，即可求解．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为a>0，b>0，且ab−a+1b+1=a−bb(b+1)<0，解得0
由1 a>1 b可得b>a>0，所以ab−a+1b+1=a−bb(b+1)<0，即ab
故选：C．
分别根据充分条件，必要条件的定义以及不等式的性质化简即可求解．
本题考查了充分，必要条件的定义，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由−1≤a−b≤2，1≤a+b≤4，
得0≤(a−b)+(a+b)≤6，即0≤2a≤6，
−2≤2(a−b)≤4，
所以−2≤2(a−b)+2a≤10，即−2≤4a−2b≤10．
故选：D．
利用a+b和a−b范围求出0≤2a≤6，然后利用不等式的性质求解即可．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
求出：|x+1|>2，根据￢p是￢q的充分不必要条件，得出q是p充分不必要条件，即可求解．
本题综合考查了充分、必要条件，与命题之间的关系，结合不等式求解．
【解答】
解：∵p：|x+1|>2，∴p：x>1或x<−3，
∵￢p是￢q的充分不必要条件，
∴q是p充分不必要条件，
∵q：x>a，p：x>1或x<−3，
∴a≥1
故选：A．
6.【答案】C
【解析】解：在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4，
对于A，2025=405×5∈[0]，A错误；
对于B，−2=−1×5+3∈[3]，B错误；
对于C，每个整数除以5后的余数只有0，1，2，3，4，没有其他余数，
所以Z⊆[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，又[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]⊆Z，
故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，C正确；
对于D，若a，b∈[m]，m=0，1，2，3，4，
则a=5n1+m，n1∈Z，b=5n2+m，n2∈Z，
∴a−b=5(n1−n2)∈[0]
若a−b∈[0]，则a−b=5p，p∈Z，
不妨设a∈[t]，t=0，1，2，3，4，
则a=5n3+t，n3∈Z，
所以b=5(n3−p)+t，n3−t∈Z，
所以a，b除以5后余数相同，
所以a，b属于同一“类”
所以整数a、b属于同一“类”的充要条件是“a−b∈[0]”，D错误．
故选：C．
求2025被5除的余数，判断A，求−2被5除的余数，判断B，根据新定义及集合相等的定义判断C，结合新定义及充分条件，必要条件的定义判断D．
本题主要考查新定义下集合的分类，考查计算能力，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：由题意可得，a+b+c=3，
所以4a+b+1c=13(4a+b+1c)(a+b+c)
=13(5+4ca+b+a+bc)≥13(5+2 4ca+b⋅a+bc)=3，
当且仅当a+b=2c时取等号．
故选：C．
由已知结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查由基本不等式求最值或取值范围，属于中档题．
设M=max{2x,1y,x2+4y2}，则M≥2x，M≥1y，M≥x2+4y2，三式相加得3M≥2x+1y+x2+4y2，再结合基本不等式的性质求解即可．
【解答】
解：因为x>0，y>0，
设M=max{2x,1y,x2+4y2}，
则M≥2x，M≥1y，M≥x2+4y2，
三式相加得：3M≥2x+1y+x2+4y2
⩾2x+1y+2 x2⋅4y2，
当且仅当x=2y时，等号成立，
又因为2x+1y+2 x2⋅4y2
=2x+1y+4xy≥332x⋅1y⋅4xy=6，
当且仅当2x=1y=4xy，
即x=2y4xy2=1，y=12x=1时等号成立，
所以3M≥6，M≥2，
所以M的最小值为2．
故选：C．
9.【答案】CD
【解析】解：对于A，当a=2，b=1.5时满足a>b，但a−1>b不成立，
所以a>b不是a−1>b的充分条件，a−1>b不是a>b的必要条件，故A错误；
对于B，当a=0时，方程ax2+x+1=0的解为x=−1，
此时集合A中只有一个元素，满足题意，
当a≠0时，ax2+x+1=0为一元二次方程，
则由集合A中只有一个元素得Δ=1−4a=0，故a=14，
所以符合题意的a有两个，a=0或a=14，故B错误；
对于C，一元二次方程ax2+bx+c=0有一正一负根，则Δ=b2−4ac>0x1x2=ca<0⇒ac
对于D，因为M∪N=M，所以N⊆M，
又M={0,1}，故集合N的个数为22=4个，故D正确．
故选：CD．
对于A，举例a>b时a−1>b不成立，进而由充分条件和必要条件的定义可判断；对于B，按a=0和a≠0两种情况去探究；对于C，先由一元二次方程ax2+bx+c=0有一正一负根得Δ=b2−4ac>0x1x2=ca<0，该不等式组的解即为方程ax2+bx+c=0有一正一负根的充要条件；对于D，先由M∪N=M得N⊆M，再由M={0,1}结合子集个数公式即可得解．
本题考查充要条件的判断，不等式的性质，集合的性质，属于中档题．
10.【答案】BD
【解析】解：当c=0时，A显然错误；
命题∃x∈R，1
令t= 4+x2，t≥2，
原函数可化为y=t+1t，t≥2，
因为y=t+1t在t≥2时单调递增，t=2时，函数取得最小值52，C错误；
当x∈R时，不等式kx2−kx+1>0恒成立，
当k=0时，1>0恒成立，符合题意；
当k≠0时，k>0k2−4k<0，解得0
故选：BD．
举出反例检验选项A；结合含有量词的命题的否定检验选项B；结合函数单调性检验选项C；结合二次函数的性质检验选项D．
本题主要考查了不等式的性质，含有量词的命题的否定，函数单调性在最值求解中的应用，不等式恒成立求解参数范围，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A：∵A⊆B，分类讨论：
①当x∈A，则x∈B，此时fA(x)=fB(x)=1；
②当x∉A，且x∉B，即x∈∁UB，此时fA(x)=fB(x)=0；
③当x∉A，且x∈B，即x∈(∁UA)∩B时，fA(x)=0，fB(x)=1，此时fA(x)≤fB(x)．
综上有fA(x)≤fB(x)，故A正确；
对于B：f∁UA(x)=1,x∈∁UA0,x∈A=1−fA(x)，故B正确；
对于C：假设A∩B≠⌀，任取x∈A∩B，则x∈A∪B，则fA∪B(x)=1，fA(x)+fB(x)=2，则fA∪B(x)≠fA(x)+fB(x)，故C不正确；
对于D：(1)若A∩B=⌀，则fA∩B(x)=0，有三种情况：
①当x∈A时，fA(x)=1，fB(x)=0；
②当x∈B时，fA(x)=0，fB(x)=1；
③当x∉A且x∉B时，fA(x)=0，fB(x)=0，
以上均满足fA∩B(x)=fA(x)⋅fB(x)．
(2)若A∩B≠⌀时，有以下4种情况，
①当x∈A且x∉B时，fA(x)=1，fB(x)=0，fA∩B(x)=0；
②当x∉A且x∈B时，fA(x)=0，fB(x)=1，fA∩B(x)=0；
③当x∈A∩B时，fA∩B(x)=fA(x)=fB(x)=1；
④当x∈∁U(A∪B)时，fA∩B(x)=fA(x)=fB(x)=0，
以上均满足fA∩B(x)=fA(x)⋅fB(x)．
综上所述，fA∩B(x)=fA(x)⋅fB(x)，故D正确．
故选：ABD．
利用特征函数的定义知，由A⊆B，对x与A、B关系分类讨论，可得A正确；利用特征函数的定义可判断B的正误；取特殊值情况A∩B≠⌀，利用定义可判断C的正误；利用集合运算与函数运算进行分类讨论可判断D的正误，综合可得出结论．
本题主要考查集合包含关系及其应用，考查逻辑推理能力，属于难题．
12.【答案】4
【解析】解：A={x|x2+2x−8=0}={−4,2}，B={x|x2−5x+6=0}={2,3}，
因为B∩C≠⌀，A∩C=⌀，所以3∈C，2∉C，−4∉C，
由3∈C得9−3m+m2−13=0，即m2−3m−4=0，解得m=−1或m=4，
当m=−1时，解x2+x−12=0得C={−4,3}，此时A∩C={−4}，不满足题意；
当m=4时，解x2−4x+3=0得C={1,3}，满足题意．
所以m=4．
故答案为：4．
求出集合A，B，根据集合关系可得3∈C，求出m的值，然后验证可得．
本题主要考查了集合交集运算的应用，属于基础题．
13.【答案】A={1,3,4,9,11}或A={1,3,6,9,10}．
【解析】解：由题意，得 a12=a1，所以a1=1，
因为a1+a4=10，
所以a4=9，
因为A∪B中所有元素之和是246，
即1+a2+a3+a5+a22+a32+81+a52=246，
化简为：a2+a3+a5+a22+a32+a52=164，
因为a4=9
而a2最小为2，a3最小为3，所以a5<12，
所以a5=10或者a5=11，
当a5=11时，a2+a3+a22+a32=164−112−11=32，
此时a2=3，a3=4恰好满足，
当a5=10时，a2+a3+a22+a32+164−102−10=54，
此时a2=3，a3=6恰好满足，
所以集合A有两种可能：A={1,3,4,9,11}或A={1,3,6,9,10}．
故答案为：A={1,3,4,9,11}或A={1,3,6,9,10}．
先求出a1和a4，再已知条件列出a2，a3，a5的方程，利用分类讨论即可求解．
本题考查了有限制条件的不定方程，列出方程后，先对最大数取值，再对较小数取值，直到满足条件即可．
14.【答案】30 30720
【解析】解：由题意可知，B的“小和数”为(−7)+(−3)+(−1)+1+2+3+4+5+6+7+13=30，
集合B中一共有11个元素，则一共有211个子集，
对于任意一个子集M，总能找到一个子集M−，使得M+M−=B，
则子集M与子集M−中元素合起来为B，且无重复，
如M={−7,−3,−1}，M−={1,2,3,4,5,6,7,13}，
则M与M−的“小和数”之和为A的“小和数”，
这样的子集对共有2112=210个，
其中M=B时，M−=⌀，考虑非空子集，则子集对位210−1对，
则B的“大和数”为(210−1)×30+30=30720．
故答案为：30；30720．
根据“小和数”的定义直接求解第一个空，集合B中一共有11个元素，则一共有211个子集，对于任意一个子集M，总能找到一个子集M−，使得M+M−=B，再结合“大和数”的定义求解第二个空．
本题主要考查了集合子集的定义，考查了子集的个数问题，属于中档题．
15.【答案】解：(1)∵A∪CRB=R，∴B⊆A，
∴a+2≤83a−4⩾12⇒a≤6a⩾163⇒a∈[163,6]，
∴a的范围是[163,6]．
(2)(i)若A=⌀，则a+2>3a−4，所以a<3，此时满足A∩B=⌀；
(ii)若A≠⌀，则a≥3，
若A∩B=⌀，则3a−4<8或a+2>12，解得a<4或a>10，
∴3≤a<4或a>10；
综上，a的取值范围为{a|a<4或a>10}．
【解析】(1)由A∪CRB=R，可知B⊆A，列出关于a的不等式组，再求出a的取值范围即可；
(2)根据条件，分A=⌀和A≠⌀两种情况，求出a的取值范围即可．
本题考查了交、并、补集的混合运算和集合间的基本关系，考查了分类讨论思想和转化思想，属基础题．
16.【答案】解：(1)方法一：当a=2时，A={x|1≤x≤7}，所以∁UA={x|x<1或x>7}．
因为B={x|−2≤x≤4}，所以∁UB={x|x<−2或x>4}，
所以(∁UA)∪(∁UB)={x|x<1或x>4}．
方法二：当a=2时，A={x|1≤x≤7}，故A∩B={x|1≤x≤4}，
所以(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)={x|x<1或x>4}．
(2)因为x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，所以A是B的真子集，
A≠⌀时，a−1≥−2,2a+3<4,a−1≤2a+3或a−1>−2,2a+3≤4,a−1≤2a+3,
解得−1≤a<12或−1
【解析】(1)方法一，根据条件，直接利用补集、并集的运算法则，即可求出结果；方法二，利用(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)，利用交集运算，求出A∩B，即可求出结果．
(2)根据条件得出A是B的真子集，再根据集合间的包含关系即可求出结果．
本题考查集合的运算，考查充分必要条件，属于基础题．
17.【答案】解：(1)命题¬p是假命题，
则p为真命题，
p：关于x的方程x2−2ax+a2+a−1=0有实数根，
则Δ=4a2−4(a2+a−1)≥0，解得a≤1，
故实数a的取值范围为{a|a≤1}．
(2)q：m−1≤a≤m+3，p：a≤1，
p是q的必要不充分条件，
则m+3≤1，解得m≤−2，
故m的取值范围为{m|m≤−2}．
【解析】(1)先推出p为真命题，再结合二次函数的判别式法，即可求解；
(2)结合(1)的结论，以及充分条件、必要条件的定义，即可求解．
本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题，
18.【答案】解：(1)由题意知：x2−x−3=x，x2−2x−3=0，(x−3)(x+1)=0，
解得x1=−1，x2=3，所以不动点为−1和3．
(2)依题意，2x2−(3+a)x+a−1=x有两个不相等的正实数根，
即方程2x2−(4+a)x+a−1=0有两个不相等的正实数根，
所以，解得a>1，
所以x1x2+x2x1=x12+x22x1⋅x2=(x1+x2)2−2x1⋅x2x1⋅x2=(x1+x2)2x1⋅x2−2=(4+a2)2a−12−2=(a+4)24a−12−2=(a−1+5)22(a−1)−2=(a−1)2+10(a−1)+252(a−1)−2=a−12+252(a−1)+3，
因为a>1，所以a−1>0，
所以a−12+252(a−1)+3≥2 a−12⋅252(a−1)+3=8，当且仅当a−12=252(a−1)，即a=6时等号成立，
所以x1x2+x2x1的最小值为8．
(3)由题知：ax2+(b+1)x+(b−1)=x(a≠0)，
所以ax2+bx+(b−1)=0，由于函数y=ax2+(b+1)x+(b−1)(a≠0)恒有不动点，
所以Δ=b2−4a(b−1)≥0，即b2−4ab+4a≥0，
又因为b是任意实数，所以Δ′=(−4a)2−16a≤0，
即a(a−1)≤0(a≠0)，解得0
【解析】(1)由x2−x−3=x求得不动点．
(2)由2x2−(3+a)x+a−1=x有两个不相等的正实数根列不等式，结合根与系数关系以及基本不等式求得x1x2+x2x1的最小值．
(3)由ax2+(b+1)x+(b−1)=x(a≠0)恒有解，结合判别式求得a的取值范围．
本题主要考查了新定义问题，求解关于“不动点”的问题，关键是把握住“不动点”的定义f(x0)=x0，涉及一元二次方程根的问题，可结合根与系数关系、判别式来进行求解，属于中档题．
19.【答案】(1)解：对于集合A={−0.1,−1.1,2,2.5}，因为|2.5−2|=0.5<1，
所以集合A不是规范数集；
对于集合B={−1.5,−0.5,0.5,1.5}，
|−1.5−0.5|=2，|−1.5−1.5|=3，|−0.5−0.5|=1，|−0.5−1.5|=2，|0.5−1.5|=1，
所以集合B相伴数集T={1,2,3}，即min(T)=1，
故集合B是规范数集．
(2)证明：不妨设集合S中的元素为x1
当x1≥0时，则|min(S)|+|max(s)=|x1|+|xn|=x1+xn=(x2−x1)+(x3−x2)+⋅⋅⋅+(xn−xn−1)+2x1≥n−1+2x1≥n−1，
当且仅当xi+1−xi=1且x1=0时，等号成立；
当xn≤0时，|min(S)|+|max(s)=|x1|+|xn|=−x1−xn=(x2−x1)+(x3−x2)+⋅⋅⋅+(xn−xn−1)−2xn≥n−1，
当且仅当xi+1−xi=1且xn=0时，等号成立；
当x1<0，xn>0时，|min(S)|+|max(s)=|x1|+|xn|=−x1+xn=(x2−x1)+(x3−x2)+⋅⋅⋅+(xn−xn−1)≥n−1−2xn≥n−1，
当且仅当xi+1−xi=1时，等号成立；
综上所述，|min(S)|+|max(S)|≥n−1．
(3)解：不妨设a1
所以对于Sj={aj,…,a2024−j}⊆S，同样有∀j∈N*，1≤j≤1011，则aj+1−aj≥1，
由(2)的证明过程与结论，|min(S)|+|max(S)|≥n−1可得，
|min(S)|+|max(S)|≥2024−2j，当且仅当aj+1−aj=1时，等号成立，
即|a1|+|a2023|≥2022，|a2|+|a2022|≥2020，⋅⋅⋅，|a1011|+|a1013|≥2，
所以范数f=|a1|+|a2|+…+|a2023|≥2022+2020+⋅⋅⋅+2+|a2012|=(2022+2)×10112+|a2012|
=1012×1011+|a2012|≥1012×1011，
当且仅当|a2012|=0时，等号成立，
所以范数f的最小值为1012×1011．
【解析】(1)根据n元规范数集的定义，只需判断集合A，B中的元素两两相减的差的绝对值，是否都大于等于1即可；
(2)利用n元规范数集的定义，得到xi+1−xi≥1，从而分类讨论x1≥0，xn≤0和x1<0，xn>0三种情况，结合取绝对值的方法即可证明；
(3)利用规范数集的定义和(2)的结论即可得解．
本题考查新定义的理解与运用，分类讨论的熟悉思想方法，属难题．
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