2024-2025学年湖北省孝感市方子高级中学高二（上）月考数学试卷（8月份）（含解析）

这是一份2024-2025学年湖北省孝感市方子高级中学高二（上）月考数学试卷（8月份）（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.点P(−3,8,−5)关于平面xOy对称的点的坐标是( )
A. (3,−8,−5)B. (−3,8,5)C. (3,8,5)D. (−3,−8,5)
2.已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P(C)=0.8，P(B)=0.3，则P(A∪B)=( )
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5
3.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，若AC=a，AB=b，AA1=c，则BC1=( )
A. a+b−c
B. a−b−c
C. a−b+c
D. −a+b−c
4.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A=“第一枚出现奇数点”，事件B=“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系是( )
A. 互斥B. 互为对立C. 相互独立D. 相等
5.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90°，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( )
A. 3010B. 12C. 3015D. 1510
6.若{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )
A. b+c，b，b−cB. a，a+b，a−b
C. a+b，a−b，cD. a+b，a+b+c，c
7.已知数据1，2，3，5，m(m为整数)的平均数是极差的34倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为( )
A. 25B. 310C. 35D. 12
8.在空间直角坐标系中，已知A(1,1,−1)，B(1,2,2)，C(−3,4,2)，则点A到直线BC的距离为( )
A. 7 55B. 10C. 392D. 3 52
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是( )
A. “至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件
B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件
C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件
D. “至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件
10.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，AB=(−1,2,2)，AD=(0,1,3)，AP=(2,1,0)，下列结论中正确的是( )
A. AP⊥ABB. 存在实数λ，使AP=λBD
C. AP不是平面ABCD的法向量D. 四边形ABCD的面积为 26
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是( )
A. DB1=3 2
B. 向量AE与AC1所成角的余弦值为 155
C. 平面AEF的一个法向量是(4,−1,2)
D. 点D到平面AEF的距离为8 2121
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)= ______．
13.空间中两点间的距离公式为______．
14.从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是______．
15.已知向量a=(1,2,−3)，b=(2,0,1)，则a−2b= ______．
四、解答题：本题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知向量a=(1−t,1−t,t),b=(2,t,t)．
(1)若a⊥b，求t的值；
(2)求|b−a|的最小值．
17.(本小题15分)
近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，每位教师必需参加且最多参加2次考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，2次考核未通过的教师将被扣除文明积分.已知教师甲每次考核通过的概率为13，教师乙每次考核通过的概率为14，且甲乙每次是否通过相互独立．
(1)求乙通过考核的概率；
(2)求甲乙两人考核的次数和为3的概率．
18.(本小题15分)
在空间直角坐标系中，已知向量u=(a,b,c)(abc≠0)，点P0(x0,y0,z0)，点P(x,y,z).若直线l经过点P0，且以u为方向方量，P是直线l上的任意一点，O为坐标原点．
(1)求证：x−x0a=y−y0b=z−z0c；
(2)当a=b=2c=1，4x0=2y0=z0=4，且OP⋅u=−1时，求点P的坐标．
19.(本小题15分)
如图所示，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．
(1)求点B到直线AC1的距离；
(2)求直线FC到平面AEC1的距离．
20.(本小题15分)
已知事件A，B满足0(1)若P(AB)P(B)+P(A−B−)P(B−)=1，则A与B独立；
(2)|P(AB)−P(A)P(B)|≤14．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：点P(−3,8,−5)关于平面xOy对称的点的坐标是(−3,8,5)．
故选：B．
根据空间直角系对称的特征，直接求出答案即可．
本题主要考查空间点对称的性质，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意，由A和C对立，可得P(A)+P(C)=1，
又由P(C)=0.8，则P(A)=0.2，
又由随机事件A和B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.2+0.3=0.5．
故选：D．
根据题意，由对立事件的性质求出P(A)=0.2，进而由互斥事件的概率性质分析可得答案．
本题考查互斥事件、对立事件的概率性质，注意随机事件的性质，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由已知得BC1=CC1−CB=CC1−(AB−AC)=a−b+c．
故选：C．
根据空间向量线性运算的性质进行求解即可．
本题考查了向量减法的几何意义，向量的数乘运算，相等向量的定义，是基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查互斥，对立，独立事件的定义，属于基础题．
根据定义判断两个事件是否相互独立，利用定义法，满足P(AB)=P(A)⋅P(B)即独立．
【解答】
解：由题可知，抛掷两枚质地均匀的骰子，第一枚和第二枚出现点数的分类情况如下，
①(奇数，奇数)，②(奇数，偶数)，③(偶数，奇数)，④(偶数，偶数)，
事件A=“第一枚出现奇数点”={①,②}，
事件B=“第二枚出现偶数点”={②,④}，
两个事件不相等，排除D，
A∩B≠⌀，所以不是互斥事件，排除A，B，
C选项，事件A=“第一枚出现奇数点”，P(A)=36=12，
事件B=“第二枚出现偶数点”，P(B)=36=12，
事件AB=“第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”，P(AB)=3×336=14，
满足P(AB)=P(A)⋅P(B)，
所以事件A和事件B是相互独立事件，
故选：C．
5.【答案】A
【解析】解：直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90°，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，
如图，取BC的中点为O，连结OF，
D1F1//B1C1，D1F1=12B1C1，OB//B1C1，OB=12B1C1，
则四边形D1F1OB是平行四边形，
∴BD1与AF1所成角就是∠AF1O，
由BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，
则CO=1，AO= 5，AF1= 5，D1B= D1B12+B1B2= 2+4= 6，
在△AF1O中，由余弦定理，可得cs∠AF1O=AF12+F1O2−AO22AF1⋅F1O
=5+6−52× 5× 6= 3010，
∴BD1与AF1所成角的余弦值是 3010．
故选：A．
由题意画出图形，找出BD1与AF1所成角，利用余弦定理求解．
本题考查异面直线所成的角，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用，是中档题．
6.【答案】C
【解析】解：由空间向量基本定理得：
对于A选项，因为b=12(b+c)+12(b−c)，所以b+c，b，b−c三个向量共面，不符合题意；
对于B选项，因为a=12(a+b)+12(a−b)，所以a，a+b，a−b三个向量共面，不符合题意；
对于C选项，假设a+b，a−b，c共面，则c=xa+b+ya−b=x+ya+x−yb，从而可知a，b，c共面，这与已知矛盾，故a+b，a−b，c不共面，符合题意；
对于D选项，a+b+c=(a+b)+(c)，所以三个向量共面，不符合题意；
故选：C．
由空间向量基本定理判断．
本题考查空间向量基本定理以及共面向量定理的应用，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：由题意可知，数据1，2，3，5，m(m为整数)的平均数是极差的34倍，
当m≥5时，11+m5=34(m−1)，得m=5911(舍)，
当1当m≤1时，11+m5=34(5−m)，得m=3119(舍)，
所以m=4，
从1，2，3，5，4中任取2个数结果：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10种，
符合题意(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共4种，
所以概率为410=25．
故选：A．
根据题意先求出m的值，再利用古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：∵A(1,1,−1)，B(1,2,2)，C(−3,4,2)，
∴BC=(−4,2,0)，BC|BC|=(−2 55, 55,0),BA=(0,−1,−3)，
∴d= BA2−(BA⋅BC|BC|)2= 10−(− 55)2=7 55．
故选：A．
利用空间向量法求出点到直线距离即可．
本题考查空间向量坐标运算法则、点到直线距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】BD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故A错误；
对于B，“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“
至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，
即“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件，故B正确；
对于C，“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，
还有可能都是红球，不是对立事件，故C错误；
对于D，“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，
但一定会有一个发生，是对立事件，故D正确．
故选：BD．
根据题意，由互斥事件、对立事件的定义依次分析选项，综合可得答案．
本题考查互斥事件、对立事件的判断，注意互斥事件、对立事件的不同，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：对于A，AP⋅AB=−1×2+2×1+2×0=0⇒AP⊥AB⇒AP⊥AB，故A正确；
对于B，BD=AD−AB=(1,−1,1)，假设存在存在实数λ，使AP=λBD，
所以(2,1,0)=λ(1,−1,1)，所以2=λ1=−λ,0=λ
显然方程组无实数解，因此假设不成立，所以不存在实数λ，使AP=λBD，故B法不正确；
对于C，因为AP⋅AD=0×2+1×1+3×0=1⇒AP,AB不互相垂直，
因为AD⊂平面ABCD，所以AP不是平面ABCD的法向量，故C正确；
D：|cs〈AB,AD〉|=|AB⋅AD||AB|⋅|AD|=|2+6| (−1)2+22+22× 12+32=4 1015，
所以sin〈AB,AD〉= 1−cs2〈AB,AD〉= 1−(4 1015)2= 6515，
四边形ABCD的面积为：2×12⋅|AB|⋅|AD|⋅sin〈AB,AD〉= (−1)2+22+22× 12+32× 6515= 26，故D正确．
故选：ACD．
根据空间向量的数量积的坐标表示公式、空间向量共线向量的性质，结合法向量的性质、空间向量模的公式、空间向量夹角公式逐一判断即可．
本题考查空间向量夹角公式，三角形面积公式的运用，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A：在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，则D(0,0,0)，B1(2,2,2)，|DB1|= 22+22+22=2 3，故A错误；
对于B：在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，C1(0,2,2)，
∴AE=(0,2,1)，AC1=(−2,2,2)，则向量夹角余弦值为cs=|AE⋅AC1||AE|⋅|AC1|=6 5×2 3= 155，故B正确；
对于C：在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(1,0,2)，
∴AE=(0,2,1)，AF=(−1,0,2)，
∴(0,2,1)⋅(4,−1,2)=0，(−1,0,2)⋅(4,−1,2)=0，
故(4,−1,2)是平面AEF的一个法向量，故C正确；
对于D：由题意得DA=(2,0,0)，平面AEF的一个法向量n=(4,−1,2)，
则点D到平面AEF的距离为d=|DA⋅n||n|=8 21=8 2121，故D正确，
故选：BCD．
根据棱柱的结构特征，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查棱柱的结构特征和空间向量的应用，考查数形结合思想和转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】P(A)+P(B)−P(AB)
【解析】解：根据事件的关系及概率的性质知：P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)．
故答案为：P(A)+P(B)−P(AB)．
根据事件的关系及概率的性质求解即可．
本题主要考查事件的关系及概率的性质，属于基础题．
13.【答案】 (x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2
【解析】解：由A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，
可得|AB|= (x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2．
故答案为： (x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2．
由两点距离公式可得结论．
本题考查空间中两点间的距离公式，属基础题．
14.【答案】13
【解析】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，
基本事件个数n=C42=6，
所取2个数的乘积为6包含的基本事件有1，6和2，3两种，
∴所取2个数的乘积为6的概率为P=26=13．
故答案为：13．
基本事件个数n=C42=6，所取2个数的乘积为6包含的基本事件有1，6和2，3两种，由此能求出所取2个数的乘积为6的概率．
本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】(−3,2,−5)
【解析】解：∵2b=(4,0,2)，∴a−2b=(−3,2,−5)．
故答案为：(−3,2,−5)．
根据空间向量线性运算的坐标表示计算可得．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)因为a⊥b，a=(1−t,1−t,t),b=(2,t,t)，
所以a⋅b=0，即2(1−t)+t(1−t)+t2=0，解得t=2；
(2)b−a=(1+t,2t−1,0)
所以|b−a|= (1+t)2+(2t−1)2= 5t2−2t+2= 5(t−15)2+95，
所以当t=15时，|b−a|取得最小值为3 55．
【解析】(1)根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解；
(2)根据已知条件，结合向量模公式，以及二次函数的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
17.【答案】解：(1)∵乙第一次考核通过的概率p1=14，
乙第二次考核通过的概率为p2=(1−14)×14=316，
∴乙通过考核的概率为p=p1+p2=14+316=716；
(2)∵甲考核2次，乙考核1次的概率p4=(1−13)×14=16，
甲考核1次，乙考核2次的概率p3=13×(1−14)=14，
∴甲乙两人的考核次数和为3的概率p′=p3+p4=14+16=512．
【解析】(1)分别计算出乙第一次、第二次考核通过的概率相加即可；
(2)分甲考核1次，乙考核2次、甲考核2次，乙考核1次两种情况即可解．
本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
18.【答案】解：(1)证明：由点P0(x0,y0,z0)，点P(x,y,z)，得P0P=(x−x0,y−y0,z−z0)，
由向量u=(a,b,c)为直线l的方向向量，得P0P=tu=(ta,tb,tc)，
于是x−x0=tay−y0=tbz−z0=tc，而abc≠0，消去t得x−x0a=y−y0b=z−z0c，
所以x−x0a=y−y0b=z−z0c．
(2)由(1)知x=x0+tay=y0+tbz=z0+tc，而a=b=2c=1，4x0=2y0=z0=4，则P(1+t,2+t,4+12t)，
又u=(1,1,12)，显然OP=(1+t,2+t,4+12t)，
由OP⋅u=−1，得1+t+2+t+12(4+12t)=−1，解得t=−83，
所以点P的坐标是(−53,−23,83)．
【解析】(1)求出向量P0P的坐标，再利用向量共线推理即得．
(2)由已知，结合(1)中信息用t表示点P的坐标，再利用空间向量数量积的坐标表示计算即得．
本题主要考查方向向量的定义，以及向量的坐标运算，属于基础题．
19.【答案】解：(1)以D1为坐标原点，分别以D1A1，D1C1，D1D所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A(1,0,1)，B(1,1,1)，C(0,1,1)，C1(0,1,0)，E(1,12,0)，F(1,12,1)，
∴AB=(0,1,0)，AC1=(−1,1,−1)，AE=(0,12,−1)，EC1=(−1,12,0)，
FC=(−1,12,0)，AF=(0,12,0)，
(1)取a=AB=(0,1,0)，u=AC1|AC1|= 33(1,1,1)，
a2=1，a⋅u= 33，则点B到直线AC1的距离为 a2−(a⋅u)2= 1−13= 63；
(2)∵FC=EC1=(−1,12,0)，∴FC//EC1，
而FC⊄平面AEC1，EC1⊂平面AEC1，∴FC//平面AEC1，
则点F到平面AEC1的距离等于直线FC到平面AEC1的距离．
设平面AEC1的一个法向量为n=(x,y,z)，
由n⋅AE=12y−z=0n⋅EC1=−x+12y=0，取y=2，得n=(1,2,1)，
又AF=(0,12,0)，
∴直线FC到平面AEC1的距离为|AF⋅n||n|=1 6= 66．
【解析】本题考查空间中点、线、面间的距离的求法，训练了利用空间向量求空间距离，考查计算能力，属于拔高题．
(1)以D1为坐标原点，分别以D1A1，D1C1，D1D所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，取a=AB=(0,1,0)，u=AC1|AC1|= 33(1,1,1)，可得点B到直线AC1的距离为 a2−(a⋅u)2= 1−13= 63；
(2)证明FC/​/平面AEC1，则点F到平面AEC1的距离就是直线FC到平面AEC1的距离，求出平面AEC1的一个法向量，再求出AF=(0,12,0)，可得直线FC到平面AEC1的距离为|AF⋅n||n|=1 6= 66．
20.【答案】证明：(1)因为AB∪A−B=B,AB∩A−B=⌀，
所以P(AB)+P(A−B)=P(B)，则P(AB)P(B)+P(A−B)P(B)=1，
由P(AB)P(B)+P(A−B−)P(B−)=1，从而P(A−B−)P(B−)=P(A−B)P(B)，
则P(A−B−)=P(B−)P(A−B)P(B)，
而P(A−)=P(A−B)+P(A−B−)=P(A−B)[1+P(B−)P(B)]=P(A−B)P(B)，
由P(A)=1−P(A−)=1−P(A−B)P(B)=P(AB)P(B)，即P(AB)=P(A)P(B)，
所以A与B独立；
(2)一方面，P(AB)−P(A)P(B)≥P(AB)P(B)−P(A)P(B)=−P(B)P(AB−)，
又因为AB−⊆B−，所以−P(B)P(AB−)≥−P(B)P(B−)=P(B)[P(B)−1]≥−14，
另一方面，P(AB)−P(A)P(B)=P(AB)−[P(AB)+P(AB−)]P(B)≤P(AB)−P(AB)P(B)
=P(AB)⋅P(B−)≤P(B)P(B−)=P(B)[1−P(B)]≤14，
综上所述，有|P(AB)−P(A)P(B)|≤14．
【解析】(1)结合已知，利用全概率公式及对立事件概率公式，利用独立事件的概念证明判断即可；
(2)一方面，结合全概率公式，利用概率的性质及P(AB−)≤P(B−)放缩得P(AB)−P(A)P(B)≥14，另一方面，结合全概率公式，利用概率的性质及P(AB−)>0放缩得P(AB)−P(A)P(B)≤14，得证．
本题主要考查了条件概率公式和全概率公式的应用，属于中档题．