安徽省池州市第一中学2025届高三上学期第一次检测数学试卷（Word版附解析）

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1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
2. 已知实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件取特殊值或者作差法比较大小，依次判断各选项即可得出结果.
【详解】令，则，即.所以A选项错误；
令，则，即，所以B选项错误；
令，则，所以C选项错误；
因为，由得，所以D选项正确.
故选:D.
3. 已知正实数，满足，则的最大值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式以及一元二次不等式求解.
【详解】因为，所以,
所以，
即
所以，解得，
当且仅当
，解得 或时等号成立，
所以当时有最大值为9.
故选:D.
4. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】，构造函数，
利用作差法比较函数的大小确定函数值的大小.
【详解】
构造函数，
令，，
则所以在单增，
所以，所以，所以，所以.
令,，，
所以在为减函数，所以，
所以，所以，所以，
所以.
故选：D.
【点睛】方法点睛：比较几个数值的大小可以将这些数值看作几个函数的函数值，通过比较函数在某个区间内的大小确定函数值的大小.函数比较大小可以用导数研究单调性来确定，还可以借助于函数不等式、切线不等式放缩等手段比大小.
5. 已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
二、多选题：（每题5分，共15分）
6. 已知a，，则使“”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，举例如结合充分条件和必要条件定义即可判断；对于B，举例如结合充分定义即可得a+b>1是的不充分条件，接着由和a+b2≥a+b2>1得a+b>1是的必要条件；对于C，举例如得是的不充分条件，接着由结合基本不等式和指数运算法则得是的必要条件；对于D，举例如结合充分条件和必要条件定义即可判断.
【详解】对于A，当时，满足，但不满足，
所以是的不充分条件，是的不必要条件，故A错误；
对于B，当时，满足a+b>1，但不满足，
所以a+b>1是的不充分条件；
当时，a+b2=a2+b2+2ab>1，
所以a+b2=a2+b2+2ab≥a2+b2+2ab>1，所以a+b>1，
所以是a+b>1的充分条件，a+b>1是的必要条件，故B正确；
对于C，当时，满足，但不满足，
所以是的不充分条件；
当时，，所以，
所以是的充分条件，是的必要条件，故C正确；
对于D，当时，满足时，但即不满足，
所以是的不充分条件，是的不必要条件，故D错误；
故选：BC.
7. 若，其中为自然对数的底数，则下列命题正确的是（ ）
A. 在上单调递增B. 在上单调递减
C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于点中心对称
【答案】BC
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性判断A、B，根据奇偶性的定义判断函数为偶函数，即可判断C、D.
【详解】因为在上单调递减，在上单调递增，在定义域上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，故A错误，B正确；
又，所以为偶函数，函数图象关于轴对称，即关于直线对称，故C正确，D错误；
故选：BC
8. 若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数的定义域为，求导得，
因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，
因此方程有两个不等的正根，
于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.
故选：BCD
三、填空题.（每题5分，共20分）
9. 不等式的解集为________.
【答案】
【解析】
【分析】将移项变形为，转化为一元二次不等式，即可求得答案.
【详解】原不等式可化为，
即，
即，即，
解得，
∴原不等式的解集为，
故答案为：
10. 已知函数的图象在处的切线与直线x＋ay－1＝0垂直，则实数a＝______．
【答案】1
【解析】
【分析】求导，得切线的斜率，根据两直线垂直满足斜率相乘为-1即可求解.
【详解】由得，所以，由于在处的切线与直线x＋ay－1＝0垂直，
所以，
故答案为：1
11. 函数的最小值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】由解析式知定义域为(0,+∞)，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
【详解】由题设知：定义域为(0,+∞)，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
12. 已知函数，函数，若对任意，存在，使得，则实数m的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题可得，利用导数求函数的最值问题即得.
【详解】由题意得
由题可得，时，
故上单调递增，，
由题可得，时，时，
故在上单调递增，在上单调递减，，
，即，
解得
故答案为：.
四、解答题：（每题10分，共40分）
13. 已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）是否存在实数a，使函数的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为
（2）存在，实数
【解析】
【分析】（1）利用求得，结合复合函数单调性同增异减求得的单调区间.
（2）根据的最小值为列方程，从而求得的值.
【小问1详解】
∵，∴，即，
，由，
解得，∴函数的定义域为，
∵函数在上单调递增，在上单调递减，
又∵在上为增函数，
∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
【小问2详解】
设存在实数a，使函数的最小值为0，，
∵函数的最小值为0，∴函数的最小值为1，所以①，且②，
联立①②解得：，
∴存在实数，使函数的最小值为0.
14. 近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.
（1）求出2020年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；
（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；
（2）2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.
【解析】
【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答.
（2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答.
【小问1详解】
依题意，销售收入万元，固定成本250万元，另投入成本万元，
因此，
所以2020年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式是.
【小问2详解】
由（1）知，当时，，当且仅当时取等号，
当时，，当且仅当，即时取等号，
而，因此当时，，
所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.
15. 已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若方程＝0有两个不相等实数根，求实数的取值范围.
【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）
【解析】
【分析】（1）首先求出函数的导函数，再解不等式即可得到函数的单调区间；
（2）由得， 将此方程的根看作函数与的图象交点的横坐标，结合（1）中相关性质得到函数的图象，数形结合即可得到参数的取值范围；
详解】解：（1）∵
所以
∴当时，，当时，；
即的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）由得，
将此方程的根看作函数与的图象交点的横坐标，
由（1）知函数在时有极大值，作出其大致图象，

∴实数取值范围是.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的零点问题，属于基础题.
16. 已知函数．
（1）当时，若在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）设为的两个不同零点，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分离参数求解参数的取值范围，构造函数，利用导数求解函数的最大值即可；
（2），将证明不等式转化为证明和，根据（1）的结果可证，代入零点，得，，两式相减，化简得，令，即证明，通过构造函数，利用导数求解函数在区间上的最值，即可证明.
【小问1详解】
解：当时，，
因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，即在上恒成立，则，
令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减.
故，
所以实数的取值范围是．
【小问2详解】
证明：要证明，
即证，
只需证和．
由（1）知，当，时，，即，
所以．
要证，即证．
因为为的两个不同零点，不妨设，
所以，，
则，
两边同时乘以，可得，
即．
令，则．
即证，即证，
即证．
令函数，，则，
所以在上单调递增，所以．
所以．故．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
（4）考查数形结合思想的应用．