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安徽省合肥市第一中学滨湖校区2024-2025学年高二上学期素质拓展训练（一）数学试卷（Word版附解析）
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考试用时：90分钟 满分：120分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解.
【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.
故选：C.
2. 已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量基底的概念，空间的一组基底，必须是不共面的三个向量求解判断.
【详解】对于A，设，即，解得，
所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误；
对于B，设，无解，
所以不共面，能构成空间的一组基底，故B正确；
对于C，设，解得，
所以共面，不能构成空间的一个基底，故C错误；
对于D，设，解得，
所以共面，不能构成空间的一个基底，故D错误.
故选：B.
3. 空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合图形和题设条件，利用向量的加减数乘运算即得.
【详解】
如图，连结，因，点为的中点，则，
于是，.
故选：B.
4. 若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】借助待定系数法设，结合所给定义及其在基底下的斜坐标计算即可得.
【详解】由题意可得，
设，
即有，
即可得，解得，即，
即向量在基底下的斜坐标为.
故选：A.
5. 已知，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用向量的夹角运算及数量积运算求解投影向量.
【详解】因为，则向量在向量上的投影为，
所以向量在向量上的投影向量是.
故选:C．
6. 设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线上运动，当取最小值时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，从而可得,的坐标，再利用空间向量的数量积运算求解的最小值，即可得的值．
【详解】，，，点在直线上运动，
可设，
，，
，
当时，取得最小值，
.
故选：B．
7. 如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行六面体的结构特征及向量对应线段位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义,将、，用基底表示出来，在应用向量数量积的运算律即可.
【详解】在平行六面体中,
四边形是平行四边形,侧面是正方形,
又是的交点,
所以是中点,
因为,,,
所以，
所以
，
所以
又，
所以
，
可得,，
所以异面直线与的夹角的余弦值为.
故选：A.
8. 边长为1的正方体中，，分别是，中点，是靠近的四等分点，在正方体内部或表面，，则的最大值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设，从而求得，再根据向量模长公式结合即可求解.
【详解】
如图，建立空间直角坐标系，设，
则，
所以，则，
因为，又，
所以，即，
所以，
又，所以，当且仅当，此时时，等号成立，
所以的最大值是.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 若，则向量，的夹角是锐角
B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C. 若对空间中任意一点O，有，则四点共面
D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面
【答案】BC
【解析】
【分析】举反例判断A，利用空间向量共面定理判断B，利用空间向量的线性运算判断C，利用空间向量的平移性质判断D即可.
【详解】对于A，当，的夹角为时，，故A错误，
对于B，由空间向量共面定理得，对于空间中的三个向量，
若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确，
对于C，因为，
所以，
所以四点共面，故C正确，
对于D，由向量平移性质可得，空间中任意两个向量一定共面，故D错误.
故选：BC
10. 已知三棱锥如图所示，G为重心，点M，F为中点，点D，E分别在上，，（），以下说法正确的是（ ）
A 若，则平面∥平面
B.
C.
D. 若M，D，E，F四点共面，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，由中位线得，结合线面平行、面面平行的判定定理即可得证；对于BC，直接由图形的性质分解向量即可；对于D由B中结论变形为，由四点共面的充要条件即可判断.
【详解】对于A，若，即分别为的中点，又点为的中点，
所以，
又面，面，
所以面，同理可证面，
又面，
所以平面∥平面，故A正确；
对于BCD，如图所示：
设中点为，连接，因为点G为重心，
所以点在线段上面，
所以
，故B正确；
对于C，
，故C正确；
因为，
所以，
若M，D，E，F四点共面，则，解得，故D错误.
故选：ABC.
11. 在平行六面体中，记，设，下列结论中正确的是（ ）.
A. 若点P在直线上，则
B. 若点P在直线上，则
C. 若点P在平面内，则
D. 若点P在平面内，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据空间向量的基本定理可判断A，B；结合四点共面的结论可判断C，D.
【详解】对于A，若点P在直线上，则，则，
由于三点共线，故，A错误；
对于B，若点P在直线上，则，而，
结合，得，B正确；
对于C，若点P在平面内，即四点共面，
则由，可知，C正确，
对于D，若点P在平面内，则，
则，
又，则，D正确，
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知空间两点，，向量满足，则实数_________.
【答案】0
【解析】
【分析】根据向量共线列方程，解方程即可.
【详解】由题意得,
因为，所以，
则，解得.
故答案为：0.
13. 在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，点F满足，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，，利用计算可得结论.
【详解】因为平面，平面，所以，，
所以，，
因为，所以，
因为，所以，
因为，
．
故答案为：.
14. 已知异面直线所成的角为在直线上，在直线上，，，，，，则间的距离为_________.
【答案】或4
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理，以向量为基底表示向量，利用向量计算空间两点间距离．
【详解】以向量，，为基底，由题知：
，，，，，或，
，
当 时，，
，
当时，，
．
故答案为：或4
四、解答题：第15题和第16题各15分，第17题17分，共47分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在直三棱柱中，，，棱，N为的中点.
（1）求；
（2）求直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）-1 （2）
【解析】
【分析】（1）根据线性运算得到，，然后根据数量积的运算律计算即可；
（2）利用数量积的运算律得到，然后求夹角的余弦值即可.
【小问1详解】
因为，，所以，
.
【小问2详解】
，
因为直棱柱，所以，，
所以，，
设直线与直线所成角为，
所则.
16. 已知空间四点，，，.
（1）若向量与互相垂直，求实数的值：
（2）求以，为邻边的平行四边形的面积：
（3）若D点在平面上，求实数n的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用空间向量垂直的坐标表示建立方程，求解参数即可.
（2）利用空间向量结合同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形面积公式并结合题意求解即可.
（3）将点共面问题转化为向量共面问题，利用向量共面的充要条件建立方程，求解即可.
【小问1详解】
因为，，，，
所以，，，
所以，，
因为向量与互相垂直，所以，
化简得，解得，
【小问2详解】
因为，，且设夹角为，
所以，而恒成立，
所以，而，，
所以平行四边形的面积为，
【小问3详解】
因为D点在平面上，所以四点共面，
所以共面，而由题意得，，，
故存在，使得，所以，，
，解得，故实数n的值为.
17. 若，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，定义：
①数乘运算：；
②加法运算：；
③数量积运算：；
④向量的模：，
对于中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关，
（1）对于，判断下列各组向量是否线性相关：
①；
②；
（2）已知线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由；
（3）证明：对于中的任意两个元素，均有，
【答案】（1）①线性相关，②线性相关
（2）线性无关，理由见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）（2）利用维空间向量线性相关的定义进行列式判断即可得解；
（3）利用维空间向量的数量积与模的公式，结合完全平方公式即可得证.
【小问1详解】
对于①，假设与线性相关，
则存在不全为零的实数使得，
则，即，
可取，所以线性相关，
对于②，假设线性相关，
则存在不全为零的实数使得，
则，得，
可取，所以线性相关.
【小问2详解】
假设线性相关，
则存在不全为零的实数，
使得，
则，
因为线性无关，
所以，得，矛盾，
所以向量线性无关.
【小问3详解】
设，
则，
所以，
又，
所以
，
当且仅当同时成立时，等号成立，
所以
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用类比法，类比平面向量到维空间向量，利用平面向量的性质与结论列式推理，从而得解.
考试用时：90分钟 满分：120分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解.
【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.
故选：C.
2. 已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量基底的概念，空间的一组基底，必须是不共面的三个向量求解判断.
【详解】对于A，设，即，解得，
所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误；
对于B，设，无解，
所以不共面，能构成空间的一组基底，故B正确；
对于C，设，解得，
所以共面，不能构成空间的一个基底，故C错误；
对于D，设，解得，
所以共面，不能构成空间的一个基底，故D错误.
故选：B.
3. 空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合图形和题设条件，利用向量的加减数乘运算即得.
【详解】
如图，连结，因，点为的中点，则，
于是，.
故选：B.
4. 若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】借助待定系数法设，结合所给定义及其在基底下的斜坐标计算即可得.
【详解】由题意可得，
设，
即有，
即可得，解得，即，
即向量在基底下的斜坐标为.
故选：A.
5. 已知，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用向量的夹角运算及数量积运算求解投影向量.
【详解】因为，则向量在向量上的投影为，
所以向量在向量上的投影向量是.
故选:C．
6. 设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线上运动，当取最小值时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，从而可得,的坐标，再利用空间向量的数量积运算求解的最小值，即可得的值．
【详解】，，，点在直线上运动，
可设，
，，
，
当时，取得最小值，
.
故选：B．
7. 如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行六面体的结构特征及向量对应线段位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义,将、，用基底表示出来，在应用向量数量积的运算律即可.
【详解】在平行六面体中,
四边形是平行四边形,侧面是正方形,
又是的交点,
所以是中点,
因为,,,
所以，
所以
，
所以
又，
所以
，
可得,，
所以异面直线与的夹角的余弦值为.
故选：A.
8. 边长为1的正方体中，，分别是，中点，是靠近的四等分点，在正方体内部或表面，，则的最大值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设，从而求得，再根据向量模长公式结合即可求解.
【详解】
如图，建立空间直角坐标系，设，
则，
所以，则，
因为，又，
所以，即，
所以，
又，所以，当且仅当，此时时，等号成立，
所以的最大值是.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 若，则向量，的夹角是锐角
B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C. 若对空间中任意一点O，有，则四点共面
D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面
【答案】BC
【解析】
【分析】举反例判断A，利用空间向量共面定理判断B，利用空间向量的线性运算判断C，利用空间向量的平移性质判断D即可.
【详解】对于A，当，的夹角为时，，故A错误，
对于B，由空间向量共面定理得，对于空间中的三个向量，
若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确，
对于C，因为，
所以，
所以四点共面，故C正确，
对于D，由向量平移性质可得，空间中任意两个向量一定共面，故D错误.
故选：BC
10. 已知三棱锥如图所示，G为重心，点M，F为中点，点D，E分别在上，，（），以下说法正确的是（ ）
A 若，则平面∥平面
B.
C.
D. 若M，D，E，F四点共面，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，由中位线得，结合线面平行、面面平行的判定定理即可得证；对于BC，直接由图形的性质分解向量即可；对于D由B中结论变形为，由四点共面的充要条件即可判断.
【详解】对于A，若，即分别为的中点，又点为的中点，
所以，
又面，面，
所以面，同理可证面，
又面，
所以平面∥平面，故A正确；
对于BCD，如图所示：
设中点为，连接，因为点G为重心，
所以点在线段上面，
所以
，故B正确；
对于C，
，故C正确；
因为，
所以，
若M，D，E，F四点共面，则，解得，故D错误.
故选：ABC.
11. 在平行六面体中，记，设，下列结论中正确的是（ ）.
A. 若点P在直线上，则
B. 若点P在直线上，则
C. 若点P在平面内，则
D. 若点P在平面内，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据空间向量的基本定理可判断A，B；结合四点共面的结论可判断C，D.
【详解】对于A，若点P在直线上，则，则，
由于三点共线，故，A错误；
对于B，若点P在直线上，则，而，
结合，得，B正确；
对于C，若点P在平面内，即四点共面，
则由，可知，C正确，
对于D，若点P在平面内，则，
则，
又，则，D正确，
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知空间两点，，向量满足，则实数_________.
【答案】0
【解析】
【分析】根据向量共线列方程，解方程即可.
【详解】由题意得,
因为，所以，
则，解得.
故答案为：0.
13. 在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，点F满足，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，，利用计算可得结论.
【详解】因为平面，平面，所以，，
所以，，
因为，所以，
因为，所以，
因为，
．
故答案为：.
14. 已知异面直线所成的角为在直线上，在直线上，，，，，，则间的距离为_________.
【答案】或4
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理，以向量为基底表示向量，利用向量计算空间两点间距离．
【详解】以向量，，为基底，由题知：
，，，，，或，
，
当 时，，
，
当时，，
．
故答案为：或4
四、解答题：第15题和第16题各15分，第17题17分，共47分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在直三棱柱中，，，棱，N为的中点.
（1）求；
（2）求直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）-1 （2）
【解析】
【分析】（1）根据线性运算得到，，然后根据数量积的运算律计算即可；
（2）利用数量积的运算律得到，然后求夹角的余弦值即可.
【小问1详解】
因为，，所以，
.
【小问2详解】
，
因为直棱柱，所以，，
所以，，
设直线与直线所成角为，
所则.
16. 已知空间四点，，，.
（1）若向量与互相垂直，求实数的值：
（2）求以，为邻边的平行四边形的面积：
（3）若D点在平面上，求实数n的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用空间向量垂直的坐标表示建立方程，求解参数即可.
（2）利用空间向量结合同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形面积公式并结合题意求解即可.
（3）将点共面问题转化为向量共面问题，利用向量共面的充要条件建立方程，求解即可.
【小问1详解】
因为，，，，
所以，，，
所以，，
因为向量与互相垂直，所以，
化简得，解得，
【小问2详解】
因为，，且设夹角为，
所以，而恒成立，
所以，而，，
所以平行四边形的面积为，
【小问3详解】
因为D点在平面上，所以四点共面，
所以共面，而由题意得，，，
故存在，使得，所以，，
，解得，故实数n的值为.
17. 若，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，定义：
①数乘运算：；
②加法运算：；
③数量积运算：；
④向量的模：，
对于中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关，
（1）对于，判断下列各组向量是否线性相关：
①；
②；
（2）已知线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由；
（3）证明：对于中的任意两个元素，均有，
【答案】（1）①线性相关，②线性相关
（2）线性无关，理由见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）（2）利用维空间向量线性相关的定义进行列式判断即可得解；
（3）利用维空间向量的数量积与模的公式，结合完全平方公式即可得证.
【小问1详解】
对于①，假设与线性相关，
则存在不全为零的实数使得，
则，即，
可取，所以线性相关，
对于②，假设线性相关，
则存在不全为零的实数使得，
则，得，
可取，所以线性相关.
【小问2详解】
假设线性相关，
则存在不全为零的实数，
使得，
则，
因为线性无关，
所以，得，矛盾，
所以向量线性无关.
【小问3详解】
设，
则，
所以，
又，
所以
，
当且仅当同时成立时，等号成立，
所以
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用类比法，类比平面向量到维空间向量，利用平面向量的性质与结论列式推理，从而得解.
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