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- 第13章 轴对称（单元测试·培优卷）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版） 试卷 0 次下载
- 第13章 轴对称（单元测试·基础卷）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版） 试卷 0 次下载
- 专题13.2 轴对称（精选精练）（专项练习）（基础练）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版） 试卷 0 次下载
- 专题13.3 轴对称（精选精练）（专项练习）（培优练）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版） 试卷 0 次下载
- 专题13.12 轴对称（全章知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版） 试卷 0 次下载
数学八年级上册13.1.1 轴对称精品同步测试题
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这是一份数学八年级上册13.1.1 轴对称精品同步测试题，文件包含专题131轴对称知识梳理与考点分类讲解人教版原卷版docx、专题131轴对称知识梳理与考点分类讲解人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
【知识点一】轴对称图形
轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
【要点提示】轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
【知识点二】轴对称
1.轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点
【要点提示】轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.
2.轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
【知识点三】轴对称与轴对称图形的性质
1.轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
2.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【知识点四】线段的垂直平分线
定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
性质：
性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
【要点提示】线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】轴对称图形的识别
【例1】（23-24八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在四边形中，，点分别在，上，．
（1）判断该图形是否是轴对称图形 （填“是”或“否”）； （2）求证：．
【变式1】下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·全国·假期作业）在线段、角、圆、等腰三角形、直角梯形和正方形中，不是轴对称图形的是 ．
【题型2】成轴对称的两个图形的识别与判断
【例2】（23-24八年级上·吉林·期中）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上．
（1）图中点的对应点是点______，的对应边是______；
（2）若，，求的度数．
【变式1】（2024·广西·中考真题）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（21-22八年级上·江苏盐城·期中）如图，△ABD和△ACD关于直线AD对称，若S△ABC＝10，则图中阴影部分的面积为 ．
【题型3】由轴对称的性质特征求值
【例3】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，O为内部一点，，P、R为O分别以直线、为对称轴的对称点．
（1）请指出当是什么角度时，会使得的长度等于7？并完整说明的长度为何在此时等于7的理由．
（2）承（1）小题，请判断当不是你指出的角度时，的长度小于7还是大于7？并完整说明你判断的理由．
【变式1】（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，点是边上一点，点关于直线的对称点为，当时，则的度数为 ．
【题型4】利用轴对称的性质求最值
【例4】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知点P在内．
（1）如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接．
①若，则是什么特殊三角形？为什么？
②若，试判断与的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值．
【变式1】（23-24八年级上·山东日照·期中）已知，点P是内部任意一点，点M，N分别在上，当的周长取得最小值时，，则与的关系是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，，是的角平分线，若分别是和边上的动点，则的最小值是 ．
【题型5】折叠问题
【例5】（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图1，点M，N分别在长方形纸条的边和上，将长方形纸条沿折叠得到图2，点A，B的对应点分别为点，，折叠后与相交于点E．
（1）若，求的度数；
（2）设，．
①请用含α的代数式表示β；
②当α的值为_________时，是等边三角形；当α的值为______时，是直角三角形．
【变式1】（2024·山东东营·模拟预测）如图，在四边形纸片中，，，将纸片折叠，使点C，D落在边上的点，处，折痕为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家们甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间把一张长方形纸片沿折叠，，则 °．
【题型6】线段垂直平分线的性质
【例6】（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，的平分线交于点，垂直平分，垂足为点．
（1）请说明：；
（2）若的面积为4， 求的面积．
【变式1】（2024·吉林·三模）如图，在中，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论不一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是 ．
【题型7】线段垂直平分线的判定
【例7】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．
（1）求证：点P在线段的垂直平分线上；
（2）已知，求的度数．
【变式1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”如图，四边形是一个筝形，其中，，点O为对角线、的交点，在探究筝形性质时，我们得到以下结论：①图中有三对全等三角形．②互相平分．③．其中错误的结论有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式2】（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·辽宁·中考真题）如图，四边形中，，，，．以点为圆心，以长为半径作图，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为 （用含的代数式表示）．
【例2】（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．
（1）求证：．
（2）若，求证：
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿、折叠至点N，M，P，K处，若，则的度数为 ．
【例2】（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论：
①；
②；
③；
④；
⑤若，则．
其中，一定正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【知识点一】轴对称图形
轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
【要点提示】轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
【知识点二】轴对称
1.轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点
【要点提示】轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.
2.轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
【知识点三】轴对称与轴对称图形的性质
1.轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
2.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【知识点四】线段的垂直平分线
定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
性质：
性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
【要点提示】线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】轴对称图形的识别
【例1】（23-24八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在四边形中，，点分别在，上，．
（1）判断该图形是否是轴对称图形 （填“是”或“否”）； （2）求证：．
【变式1】下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·全国·假期作业）在线段、角、圆、等腰三角形、直角梯形和正方形中，不是轴对称图形的是 ．
【题型2】成轴对称的两个图形的识别与判断
【例2】（23-24八年级上·吉林·期中）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上．
（1）图中点的对应点是点______，的对应边是______；
（2）若，，求的度数．
【变式1】（2024·广西·中考真题）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（21-22八年级上·江苏盐城·期中）如图，△ABD和△ACD关于直线AD对称，若S△ABC＝10，则图中阴影部分的面积为 ．
【题型3】由轴对称的性质特征求值
【例3】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，O为内部一点，，P、R为O分别以直线、为对称轴的对称点．
（1）请指出当是什么角度时，会使得的长度等于7？并完整说明的长度为何在此时等于7的理由．
（2）承（1）小题，请判断当不是你指出的角度时，的长度小于7还是大于7？并完整说明你判断的理由．
【变式1】（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，点是边上一点，点关于直线的对称点为，当时，则的度数为 ．
【题型4】利用轴对称的性质求最值
【例4】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知点P在内．
（1）如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接．
①若，则是什么特殊三角形？为什么？
②若，试判断与的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值．
【变式1】（23-24八年级上·山东日照·期中）已知，点P是内部任意一点，点M，N分别在上，当的周长取得最小值时，，则与的关系是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，，是的角平分线，若分别是和边上的动点，则的最小值是 ．
【题型5】折叠问题
【例5】（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图1，点M，N分别在长方形纸条的边和上，将长方形纸条沿折叠得到图2，点A，B的对应点分别为点，，折叠后与相交于点E．
（1）若，求的度数；
（2）设，．
①请用含α的代数式表示β；
②当α的值为_________时，是等边三角形；当α的值为______时，是直角三角形．
【变式1】（2024·山东东营·模拟预测）如图，在四边形纸片中，，，将纸片折叠，使点C，D落在边上的点，处，折痕为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家们甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间把一张长方形纸片沿折叠，，则 °．
【题型6】线段垂直平分线的性质
【例6】（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，的平分线交于点，垂直平分，垂足为点．
（1）请说明：；
（2）若的面积为4， 求的面积．
【变式1】（2024·吉林·三模）如图，在中，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论不一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是 ．
【题型7】线段垂直平分线的判定
【例7】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．
（1）求证：点P在线段的垂直平分线上；
（2）已知，求的度数．
【变式1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”如图，四边形是一个筝形，其中，，点O为对角线、的交点，在探究筝形性质时，我们得到以下结论：①图中有三对全等三角形．②互相平分．③．其中错误的结论有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式2】（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·辽宁·中考真题）如图，四边形中，，，，．以点为圆心，以长为半径作图，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为 （用含的代数式表示）．
【例2】（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．
（1）求证：．
（2）若，求证：
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿、折叠至点N，M，P，K处，若，则的度数为 ．
【例2】（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论：
①；
②；
③；
④；
⑤若，则．
其中，一定正确的有（ ）
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