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- 专题13.5 等腰三角形（专项练习）（基础练）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版） 试卷 0 次下载
初中数学人教版（2024）八年级上册13.1.1 轴对称优秀练习
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这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册13.1.1 轴对称优秀练习，文件包含专题1312轴对称全章知识梳理与考点分类讲解人教版原卷版docx、专题1312轴对称全章知识梳理与考点分类讲解人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
【知识点一】轴对称
1.轴对称图形和轴对称
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：
①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
2.线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
【知识点二】作轴对称图形
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；
（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
【知识点三】等腰三角形
1.等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
2.等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
3.直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用轴对称的性质求值
【例1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点P在四边形的内部，且点P与点M关于对称，交于点G，点P与点N关于对称，交于点H，分别交于点．
（1）连接，若求的周长；
（2）若，求的度数．
【答案】(1)12cm (2)134°
【分析】本题主经考查了轴对称与多边形综合．熟练掌握轴对称性质，多边形内角和公式，是解决问题的关键．n边形内角和公式．
（1）根据轴对称性质得到，， ，得到的周长等于线段的长度，为．
（2）根据轴对称性质得到，，，，，根据四边形内角和为与，得到，根据五边形内角和为，得到．
解：（1）如图，∵点P与点M关于对称，
∴，
∵点P与点N关于对称，
∴，
∵，
∴的周长为．
（2）解：∵点P与点M 关于对称，
∴，
即，
∵点P 与点N 关于 对称，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【变式1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，四边形中，，将沿着折叠，使点恰好落在上的点处，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
连接，，过作于，依据，，即可得出，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到．
解：如图，连接，过作于，
点关于的对称点恰好落在上，
垂直平分，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
故选：D．
【变式2】（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，与关于直线对称，，延长交于点F，当 时，．
【答案】36
【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，证明，利用三角形内角和定理构建方程求解即可．
解：与关于直线对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：36．
【题型2】利用折叠的特征求值
【例2】（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，在长方形纸片中，点E在边上，点F在边上，四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上；将沿折叠得到且点恰好落在边上．
（1）若则 ．
（2）若，求的度数．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查了折叠的性质，熟练用折叠的性质进行角度的转换是解题的关键．
（1）根据折叠的性质可得，设，则可得，根据列方程，即可解答；
（2）根据可求得，再求出和，利用折叠的性质即可得到，即可解答．
解：（1）四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上，
，
设，则可得，
根据可得，
解得，
故答案为：；
（2）解：在中，
∵，，
，
∵点恰好落在边 BC上，
．
，
，
，
由折叠的性质，知
．
【变式1】（23-24九年级上·山东枣庄·开学考试）如图，四边形为一矩形纸带，点分别在边上，将纸带沿折叠，点的对应点分别为，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了邻补角的性质，折叠的性质及平行线的性质，由可得，再利用折叠的性质求得的度数，然后利用平行线性质即可求得答案，掌握折叠的性质是解题的关键．
解：∵，
∴，
由折叠性质可得，，
∵，
∴，
故选：．
【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在和中，相交于点E，．将沿折叠，点D落在点处，若，则的大小为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质等知识点，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
证明，得，然后由翻折的性质和三角形内角和定理即可解决问题．
解：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由翻折可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型3】线段垂直平分线的性质与判定求值
【例3】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高．
（1）试说明垂直平分；
（2）若，求的长．
【答案】(1)详见解析 (2)4
【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键．
（1）利用角平分线的性质证明，证明，则，即可证明结论；
（2）根据列式计算即可．
解：（1）证明：∵是的角平分线，分别是和的高．
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
【变式1】（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（ ）
A．12B．14C．19D．26
【答案】C
【分析】由作图可知，是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可得，通过等量代换即可求解，本题考查了垂直平分线的判定和性质，解题的关键是：从作图方法中识别出垂直平分线的作法．
解：由题意可得，是线段的垂直平分线，
，
，
故选：．
【变式2】（23-24九年级上·重庆·期末）如图在中，D为中点，，，交于F，，， 则的长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理等；连接，过点E作交的延长线于点G，由线段垂直平分线的性质得 ，由角平分线的性质得，由得由全等三角形的性质得，同理可得，即可求解；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键．
解：如图，连接，过点E作交的延长线于点G，
为中点，，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
（），
，
同理可得：，
，
，
，
解得：，
，
故答案：．
【题型4】利用等腰三角形的性质与判定求值或证明
【例4】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，．
（1）求证：；
（2）试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析； (2)等边三角形，见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得出，，，进而根据，得出，根据等角对等边即可得证；
（2）根据是的垂直平分线，得出，根据等边对等角得出，进而得出，可得是等边三角形.
（1）证明：∵，，是边上的中线，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）结论：是等边三角形．
∵垂直平分线段，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，是边上的中线，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【变式1】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）在中，，，则是（ ）
A．钝角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】本题考查三角形的内角和，等腰三角形的判定，根据三角形的内角和求出即可判断．
解：在中，，，
∴，
∴是等腰三角形，
故选：B．
【变式2】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，，于点E，若，的周长为10，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据已知可得，从而可得，然后利用等腰三角形三线合一性质计算解答．
解：，且的周长为10，
，
，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：3．
【题型5】利用等边三角形的性质与判定求值或证明
【例5】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知中，，于D，的平分线分别交，于E、F．
（1）试说明是等腰三角形．
（2）若点E恰好在线段的垂直平分线上，试说明线段与线段之间的数量关系．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）首先根据条件，，可证出，，再根据同角的补角相等可得到，再利用三角形的外角性质可得到，最后利用等角对等边即可得出答案；
（2）由线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，由是的平分线，得到，根据直角三角形的性质即可得到结论．
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵点E恰好在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点拨】此题主要考查了直角三角形综合，熟练掌握直角三角形性质，角平分线性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，是解题的关键．
【变式1】（23-24八年级上·福建福州·期末）如果为三角形的三边长，且满足，那么该三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．无法确定
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形和等边三角形的判定，掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法是解题关键．
根据得到或或或，从而可以判定该三角形的形状．
解：∵，
∴或或或，
解得或或或，
∴该三角形的形状为等腰三角形或等边三角形，
故选：D．
【变式2】（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图1，和是等边三角形，连接，交于点F．
（1）的值为 ；
（2）的度数为 .
【答案】 1 60
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质．
（1）根据等边三角形的性质得出，，，再由，得出，利用可证得，从而可得出结论；
（2）由，可得，再根据，结合三角形内角和即可求解．
解：（1）∵和是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，则，
故答案为：1；
（2）由，可得，
∵，，
∴，
∴，
故答案为： 60．
【题型6】利用30度所对的直角边等于斜边一半求值或证明
【例6】（2024八年级上·江苏·专题练习）在中，，是边的中点，于点，平分．
（1）求证：平分；
（2）过点作的垂线交的延长线于点，求证：；
（3）是什么三角形？证明你的猜想．
【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等腰直角三角形，证明见解析
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由等腰三角形的性质得到，由余角的性质得到，等量代换得到，根据角平分线的性质得到，即可得到结论；
（2）根据，，得到，由平行线的性质得到，由于，于是得到，即可得到结论；
（3）根据，，于是得到，由，推出是等腰直角三角形．
（1）证明：中，，
是边的中点，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
即，
平分；
（2）证明：，，
，
，
，
，
；
（3）解：是等腰直角三角形，
，，
，
，
是等腰直角三角形．
【点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．
【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，中，，于点D，若，则的长度为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练运用“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键．
由含角的直角三角形的性质可分别求得和的长，进而求得的长．
解：∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴在中，，
∴．
故选：C．
【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，垂直平分，若，则 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、所对的直角边是斜边的一半，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得，在中，根据直角三角形的性质可求得，则可得出的长．
解：垂直平分，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川巴中·中考真题）如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法错误的是（ ）
A．的垂直平分线一定与相交于点
B．
C．当为中点时，是等边三角形
D．当为中点时，
【答案】D
【分析】连接，根据，点是的中点得，则，进而得点在线段的垂直平分线上，由此可对选项Ａ进行判断；设，根据得，的，再根据得，则，由此可对选项Ｂ进行判断；当为中点时，则，是线段的垂直平分线，由此得，然后根据，，得，由此可对选项Ｃ进行判断；连接并延长交于，根据是等边三角形得，则，进而得，，由此得，，由此可对选项Ｄ进行判断，综上所述即可得出答案．
解：连接，如图1所示：
，点是的中点，
为斜边上的中线，
，
，
，
点在线段的垂直平分线上，
即线段的垂直平分线一定与相交于点，故选项A正确，不符合题意；
设，
，
，
，
，
，
，
即，故选B正确，不符合题意；
当为中点时，则，
，
是线段的垂直平分线，
，
，，，
，
，
是等边三角形，故选C正确，不符合题意；
连接，并延长交于，如图2所示：
当为中点时，
点为的中点，
根据三角形三条中线交于一点得：点为的中点，
当为中点时，是等边三角形，
，，平分，平分，
，
，
在中，，
，
，
，，
，故选项D不正确，符合题意．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【例2】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ．
【答案】/10度
【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出平分，然后利用三角形内角和定理求解即可．
解：因为，
所以，
根据题意得：平分，
所以，
因为AD为高，
所以，
所以,
所以，
故答案为：．
2、拓展延伸
【例】（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）在等腰中，，，将一块足够大的直角三角尺（、）按如图所示放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点，并且与的夹角，斜边交于点．
（1）当运动到中点时，__________度；
（2）当时，请写出图中所有的等腰三角形（除外）__________．
（3）在点的滑动过程中，当的形状是以为底的等腰三角形时，请在指定位置画出此时形成的图形，并指出此时图中的所有直角三角形（除外）．不用说明理由．
【答案】(1)60； (2)和；(3)此时图中的所有直角三角形是和．
【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，外角性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和定理得到，求得，根据等腰三角形的判定定理得到是等腰三角形，求得，根据等腰三角形的判定定理得到是等腰三角形
（3）当时，以为底的等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到，即，推出是直角三角形，根据三角形的内角和定理得到，求得，于是得到是直角三角形．
解：（1），点为中点，
，
，
，
，
故答案为：60；
（2），，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
是等腰三角形，
故答案为：和；
（3）如图，
，
，
当时，以为底的等腰三角形，
，即，
；
是直角三角形，
，
，
，
是直角三角形，
综上所述，此时图中的所有直角三角形是和．
【知识点一】轴对称
1.轴对称图形和轴对称
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：
①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
2.线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
【知识点二】作轴对称图形
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；
（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
【知识点三】等腰三角形
1.等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
2.等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
3.直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用轴对称的性质求值
【例1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点P在四边形的内部，且点P与点M关于对称，交于点G，点P与点N关于对称，交于点H，分别交于点．
（1）连接，若求的周长；
（2）若，求的度数．
【答案】(1)12cm (2)134°
【分析】本题主经考查了轴对称与多边形综合．熟练掌握轴对称性质，多边形内角和公式，是解决问题的关键．n边形内角和公式．
（1）根据轴对称性质得到，， ，得到的周长等于线段的长度，为．
（2）根据轴对称性质得到，，，，，根据四边形内角和为与，得到，根据五边形内角和为，得到．
解：（1）如图，∵点P与点M关于对称，
∴，
∵点P与点N关于对称，
∴，
∵，
∴的周长为．
（2）解：∵点P与点M 关于对称，
∴，
即，
∵点P 与点N 关于 对称，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【变式1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，四边形中，，将沿着折叠，使点恰好落在上的点处，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
连接，，过作于，依据，，即可得出，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到．
解：如图，连接，过作于，
点关于的对称点恰好落在上，
垂直平分，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
故选：D．
【变式2】（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，与关于直线对称，，延长交于点F，当 时，．
【答案】36
【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，证明，利用三角形内角和定理构建方程求解即可．
解：与关于直线对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：36．
【题型2】利用折叠的特征求值
【例2】（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，在长方形纸片中，点E在边上，点F在边上，四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上；将沿折叠得到且点恰好落在边上．
（1）若则 ．
（2）若，求的度数．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查了折叠的性质，熟练用折叠的性质进行角度的转换是解题的关键．
（1）根据折叠的性质可得，设，则可得，根据列方程，即可解答；
（2）根据可求得，再求出和，利用折叠的性质即可得到，即可解答．
解：（1）四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上，
，
设，则可得，
根据可得，
解得，
故答案为：；
（2）解：在中，
∵，，
，
∵点恰好落在边 BC上，
．
，
，
，
由折叠的性质，知
．
【变式1】（23-24九年级上·山东枣庄·开学考试）如图，四边形为一矩形纸带，点分别在边上，将纸带沿折叠，点的对应点分别为，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了邻补角的性质，折叠的性质及平行线的性质，由可得，再利用折叠的性质求得的度数，然后利用平行线性质即可求得答案，掌握折叠的性质是解题的关键．
解：∵，
∴，
由折叠性质可得，，
∵，
∴，
故选：．
【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在和中，相交于点E，．将沿折叠，点D落在点处，若，则的大小为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质等知识点，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
证明，得，然后由翻折的性质和三角形内角和定理即可解决问题．
解：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由翻折可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型3】线段垂直平分线的性质与判定求值
【例3】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高．
（1）试说明垂直平分；
（2）若，求的长．
【答案】(1)详见解析 (2)4
【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键．
（1）利用角平分线的性质证明，证明，则，即可证明结论；
（2）根据列式计算即可．
解：（1）证明：∵是的角平分线，分别是和的高．
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
【变式1】（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（ ）
A．12B．14C．19D．26
【答案】C
【分析】由作图可知，是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可得，通过等量代换即可求解，本题考查了垂直平分线的判定和性质，解题的关键是：从作图方法中识别出垂直平分线的作法．
解：由题意可得，是线段的垂直平分线，
，
，
故选：．
【变式2】（23-24九年级上·重庆·期末）如图在中，D为中点，，，交于F，，， 则的长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理等；连接，过点E作交的延长线于点G，由线段垂直平分线的性质得 ，由角平分线的性质得，由得由全等三角形的性质得，同理可得，即可求解；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键．
解：如图，连接，过点E作交的延长线于点G，
为中点，，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
（），
，
同理可得：，
，
，
，
解得：，
，
故答案：．
【题型4】利用等腰三角形的性质与判定求值或证明
【例4】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，．
（1）求证：；
（2）试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析； (2)等边三角形，见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得出，，，进而根据，得出，根据等角对等边即可得证；
（2）根据是的垂直平分线，得出，根据等边对等角得出，进而得出，可得是等边三角形.
（1）证明：∵，，是边上的中线，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）结论：是等边三角形．
∵垂直平分线段，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，是边上的中线，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【变式1】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）在中，，，则是（ ）
A．钝角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】本题考查三角形的内角和，等腰三角形的判定，根据三角形的内角和求出即可判断．
解：在中，，，
∴，
∴是等腰三角形，
故选：B．
【变式2】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，，于点E，若，的周长为10，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据已知可得，从而可得，然后利用等腰三角形三线合一性质计算解答．
解：，且的周长为10，
，
，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：3．
【题型5】利用等边三角形的性质与判定求值或证明
【例5】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知中，，于D，的平分线分别交，于E、F．
（1）试说明是等腰三角形．
（2）若点E恰好在线段的垂直平分线上，试说明线段与线段之间的数量关系．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）首先根据条件，，可证出，，再根据同角的补角相等可得到，再利用三角形的外角性质可得到，最后利用等角对等边即可得出答案；
（2）由线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，由是的平分线，得到，根据直角三角形的性质即可得到结论．
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵点E恰好在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点拨】此题主要考查了直角三角形综合，熟练掌握直角三角形性质，角平分线性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，是解题的关键．
【变式1】（23-24八年级上·福建福州·期末）如果为三角形的三边长，且满足，那么该三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．无法确定
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形和等边三角形的判定，掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法是解题关键．
根据得到或或或，从而可以判定该三角形的形状．
解：∵，
∴或或或，
解得或或或，
∴该三角形的形状为等腰三角形或等边三角形，
故选：D．
【变式2】（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图1，和是等边三角形，连接，交于点F．
（1）的值为 ；
（2）的度数为 .
【答案】 1 60
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质．
（1）根据等边三角形的性质得出，，，再由，得出，利用可证得，从而可得出结论；
（2）由，可得，再根据，结合三角形内角和即可求解．
解：（1）∵和是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，则，
故答案为：1；
（2）由，可得，
∵，，
∴，
∴，
故答案为： 60．
【题型6】利用30度所对的直角边等于斜边一半求值或证明
【例6】（2024八年级上·江苏·专题练习）在中，，是边的中点，于点，平分．
（1）求证：平分；
（2）过点作的垂线交的延长线于点，求证：；
（3）是什么三角形？证明你的猜想．
【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等腰直角三角形，证明见解析
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由等腰三角形的性质得到，由余角的性质得到，等量代换得到，根据角平分线的性质得到，即可得到结论；
（2）根据，，得到，由平行线的性质得到，由于，于是得到，即可得到结论；
（3）根据，，于是得到，由，推出是等腰直角三角形．
（1）证明：中，，
是边的中点，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
即，
平分；
（2）证明：，，
，
，
，
，
；
（3）解：是等腰直角三角形，
，，
，
，
是等腰直角三角形．
【点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．
【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，中，，于点D，若，则的长度为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练运用“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键．
由含角的直角三角形的性质可分别求得和的长，进而求得的长．
解：∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴在中，，
∴．
故选：C．
【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，垂直平分，若，则 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、所对的直角边是斜边的一半，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得，在中，根据直角三角形的性质可求得，则可得出的长．
解：垂直平分，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川巴中·中考真题）如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法错误的是（ ）
A．的垂直平分线一定与相交于点
B．
C．当为中点时，是等边三角形
D．当为中点时，
【答案】D
【分析】连接，根据，点是的中点得，则，进而得点在线段的垂直平分线上，由此可对选项Ａ进行判断；设，根据得，的，再根据得，则，由此可对选项Ｂ进行判断；当为中点时，则，是线段的垂直平分线，由此得，然后根据，，得，由此可对选项Ｃ进行判断；连接并延长交于，根据是等边三角形得，则，进而得，，由此得，，由此可对选项Ｄ进行判断，综上所述即可得出答案．
解：连接，如图1所示：
，点是的中点，
为斜边上的中线，
，
，
，
点在线段的垂直平分线上，
即线段的垂直平分线一定与相交于点，故选项A正确，不符合题意；
设，
，
，
，
，
，
，
即，故选B正确，不符合题意；
当为中点时，则，
，
是线段的垂直平分线，
，
，，，
，
，
是等边三角形，故选C正确，不符合题意；
连接，并延长交于，如图2所示：
当为中点时，
点为的中点，
根据三角形三条中线交于一点得：点为的中点，
当为中点时，是等边三角形，
，，平分，平分，
，
，
在中，，
，
，
，，
，故选项D不正确，符合题意．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【例2】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ．
【答案】/10度
【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出平分，然后利用三角形内角和定理求解即可．
解：因为，
所以，
根据题意得：平分，
所以，
因为AD为高，
所以，
所以,
所以，
故答案为：．
2、拓展延伸
【例】（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）在等腰中，，，将一块足够大的直角三角尺（、）按如图所示放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点，并且与的夹角，斜边交于点．
（1）当运动到中点时，__________度；
（2）当时，请写出图中所有的等腰三角形（除外）__________．
（3）在点的滑动过程中，当的形状是以为底的等腰三角形时，请在指定位置画出此时形成的图形，并指出此时图中的所有直角三角形（除外）．不用说明理由．
【答案】(1)60； (2)和；(3)此时图中的所有直角三角形是和．
【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，外角性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和定理得到，求得，根据等腰三角形的判定定理得到是等腰三角形，求得，根据等腰三角形的判定定理得到是等腰三角形
（3）当时，以为底的等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到，即，推出是直角三角形，根据三角形的内角和定理得到，求得，于是得到是直角三角形．
解：（1），点为中点，
，
，
，
，
故答案为：60；
（2），，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
是等腰三角形，
故答案为：和；
（3）如图，
，
，
当时，以为底的等腰三角形，
，即，
；
是直角三角形，
，
，
，
是直角三角形，
综上所述，此时图中的所有直角三角形是和．
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