7 4 直线、平面垂直的判定及性质　学案—— 高中数学一轮复习

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这是一份7 4 直线、平面垂直的判定及性质　学案—— 高中数学一轮复习，共10页。学案主要包含了必备知识，考试要求，例1-1，练习1-1，练习1-2，例2-1，例2-2，练习2-1等内容，欢迎下载使用。

【必备知识】
1.直线与平面垂直
(1)定义：如果直线l与平面α内的直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
(2)判定定理与性质定理
2.直线和平面所成的角
(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的．
平面的一条斜线和所成的，叫做这条直线和这个平面所成的角．
(2)直线与平面所成的角α的范围是 .
3.平面与平面垂直
(1)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．
(2)平面和平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直．
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
【考试要求】
1、能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。
2、能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形中垂直关系的简单命题。
二、师生研学【研】
[考点分类突破]
考点一、线线垂直与线面垂直
【例1-1】如图，在三棱维中，，平面平面.
(1)求证：； (2)求证：平面.
归纳总结：证明线面垂直的四种方法
(1)线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α
(2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β
(3)性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α，②α∥β，a⊥β⇒a⊥α
(4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ．(客观题可用)
【练习1-1】如图所示，在直四棱柱中，，，且，，，M是的中点．
(1)证明； (2)求点B到平面的距离．
【练习1-2】如图，已知垂直于圆O所在的平面，是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的任意一点，过点A作，垂足为E．
(1)求证：平面； (2)求证：平面．
考点二面面垂直
【例2-1】如图，直三棱柱中，E是侧棱的中点，，，．求证：平面平面；
【例2-2】如图，四棱锥中，平面，PB与底面所成的角为45°，底面直角梯形，，．
(1)求证：平面平面；
(2)若E为PD的中点，求三棱锥的体积．
归纳总结：1．证明平面和平面垂直的方法：
（1）面面垂直的定义
（2）绵绵垂直的判定定理
【练习2-1】如图，四棱锥中，平面，，，，为的中点．
证明：平面平面；
考点三平行与垂直的综合问题
【例3-1】如图，正方形ABED的边长为1，AC＝BC，平面ABED⊥平面ABC，直线CE与平面ABC所成角的正切值为．
(1)若G，F分别是EC，BD的中点，求证：平面ABC；
(2)求证：平面BCD⊥平面ACD．
、
归纳总结：
已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。
【练习3-1】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，分别为，的中点，侧面底面，且．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求三棱锥的体积．
考点四空间角及其应用
【例4-1】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为( )
A．8 B．6eq \r(2) C．8eq \r(2) D．8eq \r(3)
【例4-2】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝AD＝2eq \r(3)，
CC1＝eq \r(2)，则二面角C1-BD-C的大小为________．
求线面角、二面角的常用方法
(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线、找垂足，把线面角转化到一个三角形中求解．
(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有定义法和垂面法．注意利用等腰三角形和等边三角形的性质．
【练习4-1】(2022·甘肃张掖三模)已知正方体ABCDA1B1C1D1的体积为16eq \r(2)，点P在平面A1B1C1D1上，且A1，C到P的距离分别为2，2eq \r(3)，则直线CP 与平面BDD1B1所成角的正弦值为( )
A．eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,3)
【练习4-2】在四棱锥VABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为eq \r(5)的等腰三角形，则二面角VABC的大小为________．
三、提升训练【练】
1、【2022年全国甲卷】在长方体ABCD−A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则（）
A．AB=2ADB．AB与平面AB1C1D所成的角为30°
C．AC=CB1D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°
2．【2022年全国乙卷】在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为AB,BC的中点，则（）
A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF//平面A1ACD．平面B1EF//平面A1C1D
3．【2018年新课标1卷文科】在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（）
A．B．C．D．
4．【2019年新课标1卷文科】已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________
5．【2022年全国乙卷】如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F−ABC的体积．
【作业布置】见作业纸
四、师生总结【结】
1、线线垂直、线面垂直、面面垂直分别有哪些判定方法？
2、如何求线面角、二面角的大小？
3、线面垂直、面面垂直的性质定理有什么作用？
7-4 直线、平面垂直的判定及性质作业题
一、选择题
1．在正方体的六个面中，与垂直的平面有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，下列结论成立的是（）
A．若，则 B．若，则 C．若∥，则∥，D．若∥，则∥
3．如图，平面，则图中直角三角形有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，已知几何体是正方体，则下列结论错误的是（）
A．在直线上存在点E，使∥平面 B．平面
C．异面直线与所成的角为60°
D．从正方体的八个顶点中任取四个组成的三棱锥的外接球的体积相等
5．【多选题】如图，正方体中，是线段上的动点，则（）
A．平面 B．
C．与所成角的余弦值为 D．三棱锥的体积为定值
二、填空题
6．已知四边形是菱形，平面，则与平面的位置关系是_____．
7．如图，在棱长为1的正方体中，为棱上的动点且不与重合，为线段的中点.给出下列四个结论：
①三棱锥体积的最大值为； ②
③三角形的面积不变； ④四棱锥是正四棱锥.
其中，所有正确结论的序号为___________.
直线、平面垂直的判定及性质答题卷
三、解答题
8．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，平面平面，且，为的中点，证明：平面平面.
9．如图，在四棱锥中，，，，AB＝AC＝2，AE＝ED＝1．
(1)若F为AC中点，G为AB中点，，求证：平面BCD；
(2)若平面平面ABC，求三棱锥的体积．
10．在多面体中，平面平面ABCD，EDCF是面积为的矩形，，，AB＝2.
(1)证明：.(2)求点D到平面ABFE的距离.
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理

性质定理

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判定定理

性质定理

题号
1
2
3
4
5
6
7
答案