7 6立体几何中的向量方法　学案—— 高中数学一轮复习

这是一份7 6立体几何中的向量方法　学案—— 高中数学一轮复习，共11页。学案主要包含了必备知识，考试要求，例1-1，例1-2，例1-3，练习1-1，例2-1，练习2-1等内容，欢迎下载使用。

【必备知识】
1.两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
2.直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，
则sin θ＝ |＝ .
3.求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小
θ＝〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉．
(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足
|cs θ|＝ ，
二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．
4．利用空间向量求距离
(1)点到直线的距离
如图所示，
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，则点P到直线l的距离
PQ＝ ．
(2)点到平面的距离
如图所示，
已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离为BO＝ ．
【考试要求】
1．能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题．
2．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．
二、师生研学【研】
[考点分类突破]
考点一 异面直线所成的角
【例1-1】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是BB1，D1B1的中点，则EF与A1D所成角的大小为( )
A．60° B．90° C．45° D．75°
【例1-2】(2022·江西景德镇期末)如图，在四棱锥A­BCDE中，DE∥CB，BE⊥平面ABC，BE＝3，AB＝CB＝AC＝2DE＝2，则异面直线DC与AE所成角的余弦值为( )
A．eq \f(\r(130),13) B．eq \f(2\r(13),13) C．eq \f(\r(13),13) D．eq \f(\r(130),26)
【例1-3】如图所示，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是棱AD上一点，eq \(AF,\s\up8(→))＝λeq \(AD,\s\up8(→))．若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为eq \f(3\r(2),10)，则λ的值为 ．
归纳总结：利用向量法求异面直线所成角的问题，关键是建立空间直角坐标系写出相关点的坐标，并进一步求出相关的向量，利用向量的夹角公式求解．在求解过程中易出现因忽视异面直线所成角的范围而致错的情况.。
【练习1-1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为( )
A．eq \f(\r(30),10) B．eq \f(\r(30),15) C．eq \f(\r(30),30) D．eq \f(\r(15),15)
考点二 直线与平面所成的角
【例2-1】(2021·浙江卷)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝eq \r(15)，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD．
(1)证明：AB⊥PM；
(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值．
归纳总结：利用向量求线面角的2种方法：
(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线与平面所角。
【练习2-1】在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．
【练习2-2】(2020·新高考全国Ⅰ卷)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，QB＝eq \r(2)，
求PB与平面QCD所成角的正弦值．
考点三 求二面角
考向1 由向量法求二面角的三角函数值
【例3-1】 (2021·全国乙卷)如图，四棱锥P­ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，
PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM．
(1)求BC；
(2)求二面角A­PM­B的正弦值．
归纳总结：利用空间向量计算二面角大小的常用方法
(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．若要求的为两个平面的夹角，只需写出在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))范围的一个角即可。
(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
【练习3-1】(2021·新高考全国Ⅱ卷)在四棱锥Q­ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝eq \r(5)，QC＝3．
(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；
(2)求二面角B­QD­A的平面角的余弦值．
考向2 由二面角求几何值或参数值
【例3-2】 (2021·新高考全国Ⅰ卷)如图，在三棱锥A­BCD中，平面ABD⊥平面BCD，
AB＝AD，O为BD的中点．
(1)证明：OA⊥CD；
(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，
且二面角E­BC­D的大小为45°，求三棱锥A­BCD的体积．
归纳总结：
在已知二面角的条件下求几何量或参数的值时，注意用好二面角的定义，求出相关的量，或由此写出相关点的坐标，为用向量法求解问题做好必要的条件准备．
【练习3-2】如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直，已知AB＝2，EF＝1．
(1)求证：平面DAF⊥平面CBF；
(2)当AD的长为何值时，二面角D­FC­B的平面角的大小为60°？
考点四 求空间距离问题
【例4-1】 已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，则点B到直线A1C1的距离为________．
【例4-2】如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
①求点D到平面PEF的距离；
②求直线AC到平面PEF的距离．
归纳总结：
1．空间距离包括空间内任意两点之间的距离、点到平面的距离、直线与平面的距离以及两平行平面之间的距离，其中两点间的距离可以用向量的模长处理，其他三种距离的求解都可以转化为点到平面的距离．
2．用向量法求点面距的步骤：
(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．
(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．
(3)求向量：求出相关向量的坐标(eq \(AP,\s\up8(→))，α内两不共线向量，平面α的法向量n)．
(4)求距离d＝eq \f(|\(AP,\s\up8(→))·n|,|n|)．
三、提升训练【练】
1．(2021·福建师大附中期末)在空间直角坐标系Oxyz中，四面体ABCD的顶点坐标分别是A(0，0，2)，B(2，2，0)，C(1，2，1)，D(2，2，2)，则点B到平面ACD的距离是( )
A．eq \f(2\r(3),3) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(2\r(2),3) D．eq \f(\r(2),3)
2．若正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )
A．eq \r(2)a B．eq \r(3)a C．eq \f(\r(2),3)a D．eq \f(\r(3),3)a
作业布置（见作业纸）
四、师生总结【结】
1、空间三类夹角的向量求法：（1）需要求哪些向量？（2）要注意什么问题？
2、求空间点线距需要先求哪些向量？
3、空间点面距、线面距、面面距都要转化为点面距？
4、要熟练记住各类夹角和距离的计算公式，并准确无误地进行运算；
5、要灵活选用各类夹角和距离的几何解法与向量解法。
。
7-6 立体几何中的向量方法作业题
一、选择题
1．在三棱锥A­BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2．若〈n1，n2〉＝eq \f(π,3)，则二面角A­BD­C的大小为( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(2π,3) C．eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) D．eq \f(π,6)或eq \f(π,3)
2．如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐标轴上，eq \(OC,\s\up8(→))＝(0，0，2)，平面ABC的法向量为n＝(2， 1， 2)，设二面角C­AB­O的大小为θ，则cs θ等于( )
A．eq \f(4,3) B．eq \f(\r(5),3) C．eq \f(2,3) D．－eq \f(2,3)
3．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝eq \f(1,3)AB，则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为( )
A．eq \f(3\r(35),35) B． eq \f(2\r(7),7) C．eq \f(\r(3),3) D．eq \f(\r(2),4)
4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(2,3) C．eq \f(\r(3),3) D．eq \f(\r(2),2)
5．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝2，二面角B­AA1­C1的大小为60°，点B到平面ACC1A1的距离为eq \r(3)，点C到平面ABB1A1的距离为2eq \r(3)，则直线BC1与直线AB1所成角的正切值为( )
A．eq \r(7) B．eq \r(6) C．eq \r(5) D．2
6．(多选题)设三棱锥V­ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P­AC­B的平面角为γ，则α，β，γ大小关系正确的是( )
A．α＞β B．α＝β C．γ＞β D．γβ
二、填空题
7．如图，在正方形ABCD中，EF∥AB．若沿EF将正方形折成一个二面角后，AE∶ED∶AD＝1∶1∶eq \r(2)，则AF与CE所成角的余弦值为________．
→
8．正四棱锥P­ABCD，底面四边形ABCD是边长为2的正方形，PA＝eq \r(5)，其内切球为球G，平面α过AD与棱PB，PC分别交于点M，N，且与平面ABCD所成二面角为30°，则平面α截球G所得的图形的面积为________．
三、解答题
9．(2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC ­A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1．
(1)证明：BF⊥DE；
(2)当B1D为何值时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小？
l1与l2所成的角θ
a与b的夹角β
范围
求法
题号
1
2
3
4
5
6
答案