湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

这是一份湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题，共17页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知非空集合A=x|m-1≤x≤2m,B={x|x2-3x-4≤0}，且A⊆B，则实数m的取值范围是（ ）
A．-1,0B．-1,2 C．0,2 D．1,2
2．已知函数fx=xlnx-ax2-12x2，则“fx有两个极值”的一个必要不充分条件是（ ）
A．-13．已知定义在R上的偶函数fx满足fx+3=-fx，若f-1=2，则f100=（ ）
A．-1B．1C．-2D．2
4．已知向量a，b满足a=2，b=3，a⋅b=0，则2a-b=（ ）
A．13B．5C．5D．4
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2-b2=5bc，A=2π3，则sinCsinB=（ ）
A．2B．4C．6D．8
6．已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,a1=1,lgan+lgan+1=lg2n,n∈N*，则S10=（ ）
A．511B．93C．72D．41
7．已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，直线y=a与双曲线C交于M，N两点，直线y=-b与双曲线C交于P，Q两点，若MN=2PQ，则双曲线C的离心率等于（ ）
A．3B．5C．233D．53
8．已知函数fx=2x,x≤0lnx,x>0，gx=xx-2，若方程fgx+gx-a=0的所有实根之和为4，则实数a的取值范围是（ ）.
A．1,+∞B．1,+∞
C．-∞,1D．-∞,1
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．在区间(0,1)上，已知f'x>1，下列图像中不能表示函数y=fx的是（ ）．
A．B．
C．D．
10．已知数列bn满足b1=2，bn-bnbn+1=1，记数列bn的前n项积为Sn，前n项和为Tn，则（ ）
A．b2025=-1B．T6n+1-T6n=-1
C．SnSn-3=1n≥4D．T2025S2025=-20252
11．如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱AD，DD1，CD的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．直线A1G与直线C1E为异面直线
B．直线A1G与平面ADD1A1所成角的正弦值为13
C．二面角D1-AC-B1的平面角余弦值为13
D．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为92
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱CC1的中点，记过点B1与AM垂直的平面为α，平面α将正方体分成两部分，体积较大的记为V大，另一部分的体积为VA，则VVA= .
13．设函数f(x)=(x-a)ln(x+b)，若f(x)≥0，且ab>0，则1ab+ba的最小值为 .
14．已知多项式(x+2)3(x-1)4=a1(x+1)7+a2(x+1)6+⋯+a7x+1+a8，则a7+a8= .
四、解答题（本题共6小题，共70分）
15．（13分）数列an满足a1=1，an+1=3an+4，n∈N*.
(1)an的通项公式；
(2)bn=(a2n+2)lg3(an+2)，求数列bn的前n项和Tn.
16．（15分）已知fx=sinxcsx-3cs2x+32.
(1)求fx在0,π2上的单调递增区间；
(2)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边长分别是a，b，c，若fC=0，c=2，求△ABC的面积的最大值.
17．（15分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC,E,F分别为棱A1C1,BC的中点.
(1)求证：C1F//平面ABE
(2)求证：平面ABE⊥平面BCC1B1
(3)若AB=BC=AA1=2，求二面角E-AB-C 的余弦值.
18．（17分）2023 年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.下图是该地 120 家中小 微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图 ：

(1)确定a 的值，并估计这 120 家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数） ；
(2)按专项贷款金额进行分层抽样，从这 120 家中小微企业中随机抽取 20 家，记专项贷款金额在[200,300] 内应抽取的中小微企业数为m.
①求m的值 ；
②从这m家中小微企业中随机抽取 3 家，求这 3 家中小微企业的专项贷款金额都在[200,250)内的概率.
19．（17分）已知椭圆C: x2a2+y2b2=1（其中a>b>0）的离心率为22，左右焦点分别为F1-1,0，F21,0．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F1作斜率为k的直线与椭圆C交于不同的A,B两点，过原点作AB的垂线，垂足为D．若点D恰好是F1与A的中点，求k的值．
数学答案
1．【答案】C
【解析】
解：B={x|x2-3x-4≤0}=x|-1≤x≤4
因为非空集合A=x|m-1≤x≤2m，A⊆B，
所以m-1≤2mm-1≥-12m≤4，所以m≥-1m≥0m≤2，
所以m的取值范围为：0,2．
故选：C．
2．【答案】A
【解析】fx的定义域为(0,+∞)，则f'x=lnx+1-2ax-x，
因为fx有两个极值，所以f'(x)=0有两个不等的实数解，
由f'x=lnx+1-2ax-x=0，得a=lnx+1-x2x，
令g(x)=lnx+1-x2x，y=a，
则g'(x)=2x(1x-1)-2(lnx+1-x)(2x)2=-lnx2x2，
当00，当x>1时，g'(x)<0，
所以g(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，
因为g(x)=lnx+1-x2x=lnx2x+12x-12，g(1)=0，
所以当x→0时，g(x)→-∞，当x→+∞时，g(x)→-12，
所以g(x)的图象如图所示，

由图可知当-12因为a-12所以“fx有两个极值”的一个必要不充分条件是-1故选：A
3．【答案】C
【解析】由fx+3=-fx⇒fx+6=-fx+3=fx，所以T=6是函数的一个周期，
所以f100=16×6+4=f4，
又fx是偶函数且fx+3=-fx，所以f4=-f1=-f-1=-2.
故选：C
4．【答案】C
【解析】因为a=2，b=3，a⋅b=0，所以2a-b2=4a2-4a⋅b+b2=25，所以2a-b=5.
故选：C.
5．【答案】B
【解析】因为a2-b2=c2-2bccsA=c2+bc=5bc，
所以c=4b，所以sinCsinB=4.
故选：B
6．【答案】B
【解析】∵lgan+lgan+1=lg2n，
∴lganan+1=lg2n
∴anan+1=2n，
所以a2=2,a3=2,a4=4,a5=4,a6=a7=8,a8=a9=16,a10=32，
则S10=1+22+4+8+16+32=93，
故选：B．
7．【答案】C
【解析】由y=ax2a2-y2b2=1，得y=ax=-acb，或y=ax=acb，所以MN=2acb，
由y=-bx2a2-y2b2=1，得y=-bx=-2a，或y=-bx=2a，所以PQ=22a，
因为MN=2PQ，所以2acb=2×22a，
整理得c=2b=2c2-a2，得c2a2=43，所以e=233.
故选：C.
8．【答案】C
【解析】令gx=t，y=gx的对称轴为x=1，
则ft+t-a=0实根的个数即为函数y=ft与函数y=a-t图象交点个数，
如下图，
当a>1时，
函数y=ft与函数y=a-t的图象有1个交点，且交点横坐标大于1，
即gx=t>1，函数y=gx与函数y=tt>1有2个交点，
且2个交点关于x=1对称，
则方程fgx+gx-a=0有两根，且两根和为2，不符合题意；
当a=1时，函数y=ft与函数y=a-t的图象有2个交点，t1=0,t2=1，
t1=0时gx=0，可得x=0，或x=2，
t1=1时gx=1，xx-2=1，可得x=1，x=1+2，x=1-2，
即函数y=gx与函数y=t的图象有5个交点，
则方程fgx+gx-a=0有5个根，且5个根的和为5，不符合题意；
当a<1时，函数y=ft与函数y=a-t的图象有2个交点，
即函数y=gx与函数y=t的图象有2个交点，分别为t3<0,0即gx=t3<0，或gx=t4，0当t3<0时，函数y=gx与函数y=t3无交点，不符合题意；
当0所以4个交点横坐标之和为4，
则方程fgx+gx-a=0有4个根，且4个根之和为4，符合题意，
综上，实数a的取值范围是a<1.
故选：C.

9．【答案】BCD
【解析】由题设，在区间(0,1)上，由f'x>1，得函数图象上每一点处切线的斜率均应大于1，
对于A：曲线越来越“陡峭”，区间(0,1)上各点处的切线斜率始终到大于1，故可表示函数y=fx；
对于B：曲线由“陡峭”到“平缓”，区间(0,1)上右半段存在切线斜率小于1的点，故不可表示函数y=fx；
对于C：曲线由“平缓”到“陡峭”，区间(0,1)上左半段存在切线斜率小于1的点，故不可表示函数y=fx；
对于D：曲线越来越“平缓”，区间(0,1)上点处的切线斜率始终到小于1，故不可表示函数y=fx．
故选：BCD
10．【答案】AD
【解析】已知数列bn满足b1=2,bn-bnbn+1=1，则b2=1-1b1=12,b3=1-1b2=-1,b4=1-1b3=2=b1，所以数列bn是以3为一个周期的周期数列．
对于A项，b2025=b3=-1，A项正确；
对于B项，T6n+1-T6n=b6n+1=b1=2，B项错误；
对于C项，任意相邻三项均在一个周期内，则bn-2bn-1bn=2×12×-1=-1，C项错误；
对于D项，T2025=20253×2+12-1=20252,S2025=2×12×-120253=-1，所以T2025S2025=-20252，D项正确．
故选：AD．
11．．【答案】BCD
【解析】对于A，连接A1C1,AC，则ACC1A1为矩形，则A1C1//AC，
而点E，G分别是棱AD，CD的中点，故EG//AC,∴EG//A1C1，
则A1,E,G,C1四点共面，故直线A1G，C1E不是异面直线，故A错误；
对于B，由于GD⊥平面ADD1A1，故∠GA1D即为直线A1G与平面ADD1A1所成角，
而DG=1,A1D=22，则DG=1,A1G=222+12=3，
故sin∠GA1D=DGA1G=13，故B正确；
对于C，连接BD交AC于点O，连接D1O,B1O，
DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD，故AC⊥DD1，
又AC⊥BD,DD1∩BD=D,DD1,BD⊂平面D1OB1，故AC⊥平面D1OB1，
即∠D1OB1为二面角D1-AC-B1的平面角，
又D1B1=22,D1O=B1O=22+(2)2=6，
故cs∠D1OB1=D1O2+B1O2-(D1B1)22D1O⋅B1O=12-82×6=13，故C正确；
对于D，连接AD1，则EF//AD1,AD1//BC1,∴EF//BC1,EF=12BC1，
则梯形EFC1B即为过点B，E，F的平面截正方体的截面，
而EB=FC1=5,EF=2,C1B=22，
故等腰梯形EFC1B的高为(5)2-(22-22)2=322，
故等腰梯形EFC1B的面积为12×2+22×322=92，
即过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为92，故D正确，
故选：BCD.
12．【答案】177/237
【解析】分别取BC,CD的中点E,F，连接B1E,EF,D1F，则EF∥BD，
且BB1∥DD1，BB1=DD1，可知BB1D1D为平行四边形，则BD∥B1D1，
可得EF∥B1D1，即E,F,B1,D1四点共面，
因为AB⊥平面BCC1B1，B1E⊂平面BCC1B1，则AB⊥B1E，
又因为tan∠B1EB=B1BBE=2,tan∠MBC=CMBC=12，
即tan∠B1EB⋅tan∠MBC=1，可知∠B1EB+∠MBC=π2，可得BM⊥B1E，
且AB∩BM=B，AB,BM⊂平面ABM，
可得B1E⊥平面ABM，由AM⊂平面ABM，可得B1E⊥AM，
连接AC,BD,A1C1,B1D1，
因为A1B1C1D1为正方形，则A1C1⊥B1D1，
又因为AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，则AA1⊥B1D1，
且A1C1∩AA1=A1，A1C1,AA1⊂平面AA1C1C，
可得B1D1⊥平面AA1C1C，由AM⊂平面AA1C1C，可得B1D1⊥AM，
且B1E∩B1D1=B1，B1E,B1D1⊂平面B1EFD1，
可得AM⊥平面B1EFD1，可知平面α即为平面B1EFD1，
设正方体的棱长为2，
则正方体的体积为2×2×2=8，三棱台B1C1D1-ECF的体积为1312+2+12×2×2=73<12×8，
可知VA=73，V=8-73=173，所以VVA=17373=177.
故答案为：177.
13．【答案】22+2
【解析】由题意可知：f(x)的定义域为(-b,+∞)，
令x-a=0，解得x=a；令ln(x+b)=0，解得x=1-b；
则当x∈(-b,1-b)时，ln(x+b)<0，故x-a≤0，所以1-b-a≤0；
当x∈(1-b,+∞)时，ln(x+b)>0，故x-a≥0，所以1-b-a≥0；
故1-b-a=0，即a+b=1.
当ab>0时，则1ab+ba=(a+b)2ab+ba=a2+2ab+b2ab+ba=ab+2ba+2≥22+2，
当且仅当a=2-2，b=2-1时，等号成立，
所以1ab+ba的最小值为22+2.
故答案为：22+2
14．【答案】32
【解析】设t=x+1，则(t+1)3(t-2)4=a1t7+a2t6+⋯+a7t+a8，
令t=0，则(0+1)3⋅(0-2)4=16=a8，
(t+1)3的展开式中一次项为C32t=3t，常数项为C33t0=1，
(t-2)4的展开式中一次项为C43-23t=-32t，常数项为C44-24t0=16，
所以a7=3×16-32=16，
所以a7+a8=16+16=32.
故答案为：32.
15．【答案】(1)an=3n-2；(2)Tn=n⋅9n+18-9n+1-964
【解析】（1）数列 an 满足 a1=1,an+1=3an+4 ，
整理得 an+1+2=3an+2,n∈N* ，又a1+2=3，
即 an+1+2an+2=3 (常数)，
所以数列 an+2 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列.
故 an+2=3⋅3n-1=3n ，
整理得 an=3n-2 .
（2）由于 an=3n-2 ，所以 bn=a2n+2lg3an+2=n⋅9n ，
所以 Tn=1⋅9+2⋅92+⋯+n⋅9n ①，
9Tn=1⋅92+2⋅93+⋯+n⋅9n+1 ②，
① - ②得： -8Tn=91+92+⋯+9n-n⋅9n+1=99n-19-1-n⋅9n+1 ，
所以 Tn=n⋅9n+18-9n+1-964 .
16．【答案】(1)0,5π12；(2)2+3
【解析】（1）由题意得fx=12sin2x-32cs2x=sin2x-π3，
又-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ（k∈Z），得kπ-π12≤x≤5π12+kπ（k∈Z），
令k=0，得-π12≤x≤5π12，令k=1，得11π12≤x≤17π12，
所以fx在0,π2上的单调递增区间是0,5π12.
（2）因为fC=sin2C-π3=0，
所以2C-π3=kπ（k∈Z），得C=π6+kπ2，
又C是锐角，所以C=π6.
由余弦定理c2=a2+b2-2abcsC，得4+3ab=a2+b2≥2ab，
所以ab≤42+3，当且仅当a=b时，等号成立.
所以S△ABC=12absinC=14ab≤2+3，
故△ABC的面积的最大值为2+3.
17．【解析】（1）证明：取AB的中点M，
因为F为棱BC的中点，
所以MF//AC，MF=12AC，
又AC//A1C1，AC=A1C1，E为A1C1的中点，
所以MF//EC1，MF=EC1，
所以四边形MFC1E是平行四边形，
所以ME//C1F，
又C1F⊂平面ABE，ME⊂平面ABE，
所以C1F//平面ABE．
（2）证明：因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，
所以BB1⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以BB1⊥AB，
又AB⊥BC，BB1∩BC=B，BB1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，
所以AB⊥平面BCC1B1，
又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面BCC1B1，
（3）取AC的中点G，连接EG，
因为M为AB的中点，所以MG//BC，
又AB⊥BC，所以MG⊥AB，
又直三棱柱的几何特征可得EG⊥面ABC，又AB⊂面ABC，所以EG⊥AB，
又MG∩EG=G，MG⊂平面EMG，EG⊂平面EMG，
所以AB⊥平面EMG，又EM⊂平面EMG，所以AB⊥EM，
所以二面角E-AB-C的平面角为∠EMG，
因为AB=BC=AA1=2，
所以MG=1，EG=2，
在Rt△EGM中，ME=EG2+MG2=12+22=5，
所以cs∠EMG=15=55，
所以二面角E-AB-C的余弦值为55．
18．【答案】(1)a=0.004，中位数158；(2)①5，②25.
【解析】（1）根据频率分布直方图所有小矩形面积之和为1得
(0.002+0.003+a+0.006+a+0.001)×50=1，
解得a=0.004.
设中位数为t，则专项贷款金额在[0,150)内的评率为0.45，
在[0,200)内的评率为0.75，
所以t在[150,200)内，
则(t-150)×0.006=0.5-0.45，解得t≈158，
所以估计120家中小微企业的专项贷款金额的中位数为158万元.
（2）①由题意，抽样比为20120=16，
专项贷款金额在[200,250)内的中小微企业共有120×50×(0.004+0.001)=30家，
所以应该抽取30×16=5家，即m=5.
②专项贷款金额在[200,250)内和在[250,300)内的频率之比为4:1，
故在抽取的5家中小微企业中，
专项贷款金额在[200,250)内的有5×45=4家，分别记为A,B,C,D,
专项贷款金额在[250,300)内的有5×15=1家，记为E,
从这5家中小微企业中随机抽取3家的可能情况为
ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE共10种，
其中这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200,250)内的情况有
ABC,ABD,ACD,BCD共4种，
所以所求概率为P=410=25.
19．【答案】(1)x22+y2=1；(2)±1
【解析】（1）由题意可得c=1，又e=ca=22，可得a=2，
所以b2=a2-c2=2-1=1，
所以椭圆C的方程为：x22+y2=1.
（2）连接AF2，由O为F1F2的中点，而D为AF1的中点，所以OD为中位线，即OD//AF2，
即AF1⊥AF2，设AF2=r，可得AF1=2a-r=22-r，
在Rt△AF1F2中，F1F2=2c=2，所以22-r2+r2=22，
整理可得r-22=0，可得AF1=AF2=2，
所以可得A为上顶点或下顶点，
所以直线AB斜率为bc或-bc，即k=1或-1．
所以k的值为±1．