第2讲【圆锥曲线】计算技巧系列10讲——不联立，不韦达的设点法如何用？高考数学复习练习

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【知识精讲】
1．两点式方程
若，是直线上两定点，则过这两点的直线方程为：.
为使其更具有一般性，若将其化简为①.
①式的特征是右端出现了这两点的交叉轮换式，即二阶行列式，若①式表示过定点的直线，
则只需证明恒成立即可.
这样的话，在处理斜率问题时的关键就是构造出上述的轮换关系，单纯的斜率定义：不重合的两点，则是难以直接构造的，所以我们需要利用斜率的点差法来构造，下面会在【典例精讲】中通过具体例子说明如何利用点差法构造轮换式
2 . 一般性结论
设为椭圆上的定点，是椭圆上一条动弦，直线的斜率分别为；
若，则有，
（2）若，则直线过定点，
（3）若，则有，
（4）若，则直线过定点.
【证明】此处用点代法证明结论（3），其余的类似证明 .
已知椭圆在第一象限内有一点，过点作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆于另一点，则有.
设，其中.
所以
依题意得，所以，（关注微信公众号：Hi数学派）
从而
同理，有
两式相减，得所以，证毕.
【典例精讲】
例1.（2022新高考1卷）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．
（1）求的斜率；
（2）若，求的面积．
【解析】
设，由点都在双曲线上，
得，，
所以，结合斜率公式，相减后变形，可得：，.
因为直线的斜率之和为，即，
所以，由得. ②
由得. ③
由②-③，得，从而，即的斜率为.
不妨设直线PA,PB的倾斜角为α,βα<β，因为kAP+kBP=0，所以α+β=π，
因为tan∠PAQ=22，所以tanβ-α=22，即tan2α=-22，
即2tan2α-tanα-2=0，解得tanα=2，
于是，直线PA:y=2x-2+1，直线PB:y=-2x-2+1，
联立y=2x-2+1x22-y2=1可得，32x2+21-22x+10-42=0，
因为方程有一个根为2，所以xP=10-423，yP= 42-53，
同理可得，xQ=10+423，yQ= -42-53．
所以PQ:x+y-53=0，PQ=163，
点A到直线PQ的距离d=2+1-532=223，
故△PAQ的面积为12×163×223=1629．
例2.（2020山东卷）已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
【解析】
由题意可得：，解得：，
故椭圆方程为：.
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因为，
所以，
整理得
同理得
相减可得
即直线恒过定点.（关注微信公众号：Hi数学派）
又，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q．
经检验，直线垂直于x轴时也成立．
故存在，使得．