04 第24讲　简单的三角恒等变换 【正文】听课高考数学练习

这是一份04 第24讲　简单的三角恒等变换 【正文】听课高考数学练习，共7页。试卷主要包含了半角公式，常用的部分三角公式，三角恒等变换的基本技巧等内容，欢迎下载使用。

1.半角公式
(1)公式Sα2:sin α2=±1-csα2;
(2)公式Cα2:cs α2=±1+csα2;
(3)公式Tα2:tan α2=±1-csα1+csα(符号由角的范围确定).
2.常用的部分三角公式
(1)1-cs α= ,1+cs α= .(升幂公式)
(2)1±sin α= .(升幂公式)
(3)sin α=2tan α21+tan2α2,cs α= ,tan α= .(万能公式)
(4)asin α+bcs α= ,其中sin φ=ba2+b2,cs φ=aa2+b2.(辅助角公式)
3.三角恒等变换的基本技巧
(1)变换函数名称:使用诱导公式.
(2)升幂、降幂:使用倍角公式.
(3)常数代换:如1=sin2α+cs2α=tan π4.
(4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式.
题组一 常识题
1.[教材改编] cs 75°-3sin 75°的值是 .
2.[教材改编] 已知f(x)=sin2x-12(x∈R),则f(x)的最小正周期是 .
3.[教材改编] 若cs α=23,α∈(0,π),则csα2的值为 .
题组二 常错题
◆索引:公式的结构套用错误;已知三角函数值求角时范围不清致误;asin α+bcs α
=a2+b2sin(α+φ)中φ的值确定错误.
4.62(cs 15°+sin 15°)的值为 .
5.已知α,β均为锐角,且tan α=7,tan β=43,则α+β= .
6.3sin x-cs x=2sin(x-φ)中的φ= .
三角函数式的化简
例1 (1)[2023·重庆巴蜀中学模拟] 化简1-cs160°2+1-sin160°的结果是( )
A.cs 10°
B.sin 10°
C.2sin 10°+cs 10°
D.2cs 10°-sin 10°
(2)[2023·河北邯郸一中模拟] 化简tanπ4+α·cs2α2cs2π4-α的值为( )
A.-2 B.2
C.-1 D.1
总结反思
1.三角函数式的化简要遵循的“三看”原则:
①一看“角”;②二看“函数名称”;③三看“结构特征”.
2. 三角函数式化简的方法:弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.
变式题 (1)已知α∈(0,π),化简:
(1+sinα+csα)·csα2-sinα22+2csα= .
(2)化简:2cs4x-2cs2x+122tanπ4-xsin2π4+x= .
三角函数式的求值
角度1 给值求值
例2 (1)[2023·新课标Ⅰ卷] 已知sin(α-β)=13,cs αsin β=16,则cs(2α+2β)=( )
A.79B.19
C.-19D.-79
(2)[2023·江苏南通一调] 已知sinα-π6+cs α=35,则cs2α+π3=( )
A.-725B.725C.-2425D.2425
总结反思
给值求值是指已知某个角的三角函数值(或三角函数式的值)求与该角相关的其他三角函数值(或三角函数式的值)的问题,解题关键是“变角”,使角相同或具有某种关系.
变式题 [2023·辽宁鞍山一模] 已知sinα+π3=13,则cs2α-π3=( )
A.-79B.79C.-29D.29
(2)设α为锐角,若csα+π6=45,则sinα+π6的值为 ,sin2α+π3的值为 .
角度2 给角求值
例3 (1)[2023·重庆渝中区六调] 2sin18°(3cs29°-sin29°-1)cs6°+3sin6°的化简结果为( )
A.12B.1C.2sin 9°D.2
(2)sin10°1-3tan10°=( )
A.1B.14C.12D.32
总结反思
该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值.
变式题 (1)计算:cs20°cs35°1-sin20°=( )
A.1B.2C.2D.3
(2)计算:cs 20°cs 40°cs 100°= .
角度3 给值求角
例4 已知csα+π3=3314,α∈0,π2.
(1)求cs α的值;
(2)若tan(α+β)=5311,β∈0,π2,求β的值.


总结反思
通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时有以下原则:
(1)已知正切函数值,则选正切函数.
(2)已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数.若角的范围是0,π2,则选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),则选余弦函数较好;若角的范围为-π2,π2,则选正弦函数较好.
变式题 (1)已知α,β∈(0,π),tan α与tan β是方程x2+33x+4=0的两个根,则α+β=( )
A.π3B.2π3
C.4π3D.π3或4π3
(2)已知 sin α=210,cs β=31010,且α,β为锐角,则α+2β= .
三角恒等变换的综合应用
例5 已知向量m=-12,32,n=(2cs α,2sin α),0