06 第26讲　函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数模型的应用 【答案】作业高考数学练习

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2.C [解析] 由π2+2kπ≤x-π6≤3π2+2kπ,k∈Z,得2π3+2kπ≤x≤5π3+2kπ,k∈Z.当k=-1时,f(x)在区间-4π3,-π3上单调递减;当k=0时,f(x)在区间2π3,5π3上单调递减;当k=1时,f(x)在区间8π3,11π3上单调递减.故f(x)在0,π2,π2,π,3π2,2π上不单调递减,在π,3π2上单调递减,故选C.
3.B [解析] 由题得fπ6=±1,故π3+φ=kπ+π2(k∈Z),又0<φ<π,所以φ=π6.故选B.
4.D [解析] 依题意得,T2=π2,所以T=π,所以2πω=π,解得ω=2,所以f(x)=sin2x+π6.把f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到曲线y=sinx+π6,再把曲线y=sinx+π6向右平移5π3个单位长度,得到曲线y=sinx-5π3+π6,即曲线y=cs x,故g(x)=cs x.故选D.
5.C [解析] 由题图可知,A=2,T4=π,所以T=4π=2πω,解得ω=12,故f(x)=2sin12x+φ.因为f(x)的图象过点C(0,1),所以1=2sin φ,即sin φ=12,又|φ|<π2,所以φ=π6,故f(x)=2sin12x+π6.故选C.
6.π 12 [解析] 由题表知,fπ12=1,f7π12=-1,所以T2=7π12-π12=π2,即T=π.因为T=2π|ω|=π,ω>0,所以ω=2,又2×π12+φ=π2+2kπ,k∈Z,所以φ=π3+2kπ,k∈Z,又|φ|<π2,所以φ=π3,则f(x)=sin2x+π3,所以a=fπ4=sin2×π4+π3=sin5π6=12.
7.C [解析] 设f(x)的最小正周期为T,根据f(x0)=-fx0+π3及函数图象的对称性知,T2=x0+π3-x0,所以T=2π3=2πω,解得ω=3.由f(0)=1,得sin(3×0+φ)=12,因为|φ|<π2,所以φ=π6,故f(x)=2sin3x+π6.故选C.
8.B [解析] 因为f(x)的图象的相邻两个对称中心之间的距离为2π,所以T2=2π,则T=4π,所以ω=2πT=12.因为f(x)为奇函数,且0<φ<π,所以φ=π2,则f(x)=2sin12x,所以g(x)=2sin12x-π3=2sin12x-π6.令12x-π6=kπ(k∈Z),得g(x)的图象的对称中心的横坐标为x=2kπ+π3(k∈Z),故A错误,B正确;令12x-π6=π2+kπ(k∈Z),得g(x)的图象的对称轴方程为x=2kπ+4π3(k∈Z),故C,D错误.故选B.
9.D [解析] 根据图象可知A=1,f(0)=sin φ=32,因为|φ|<π2,所以φ=π3,所以f(x)=sinωx+π3.因为f7π12=sinω·7π12+π3=-1,所以ω·7π12+π3=2mπ+3π2,m∈Z,可得ω=247m+2,m∈Z.根据f(x)的图象可知3T4>7π12,即T>7π9,即2πω>7π9,可得ω<187,因为ω>0,所以ω=2,则f(x)=sin2x+π3.对于A选项,根据f(x)的图象可知,f(x)的图象关于直线x=7π12对称,所以将f(x)的图象向左平移7π12个单位长度后,所得图象关于y轴对称,故A中说法正确.对于B选项,将f(x)的图象向右平移π6个单位长度后,得到y=sin2x-π6+π3=sin 2x的图象,该图象关于原点对称,故B中说法正确.对于C选项,fπ3=sin2π3+π3=0,所以点π3,0是f(x)图象的一个对称中心,故C中说法正确.对于D选项,令2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2,k∈Z,得kπ+π12≤x≤kπ+7π12,k∈Z,所以f(x)的单调递减区间为kπ+π12,kπ+7π12,k∈Z,故D中说法错误.故选D.
10.AC [解析] 因为f512π=cs2×5π12+π6=-1,所以f(x)的图象关于直线x=512π对称,故A正确.因为fπ3=cs2×π3+π6=-32≠0,所以f(x)的图象不关于点π3,0中心对称,故B错误.将y=cs 2x的图象向左平移π12个单位长度可以得到f(x)=cs 2x+π12=cs2x+π6的图象,故C正确.若把f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g(x)的图象,则g(x)=cs2x+2π3+π6=cs2x+5π6,而g(0)=cs5π6=-32≠0,所以g(x)不是奇函数,故D错误.故选AC.
11.ABC [解析] 以O为坐标原点,平行于水面的直线为x轴,垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系,如图,由题知,OC=2 m,则sin∠AOx=sin∠OAC=24=12,故∠AOx=∠OAC=π6.由筒车按逆时针方向每分钟转2圈,得筒车转1圈的时间为30 s,即2πω=30,解得ω=π15rad/s.因为π6+π2π15=10,所以当t=10 s时,盛水筒P第一次到达最高点,此时d=2+4=6(m),故B正确.同理可得,当t=25 s时,盛水筒P第一次到达最低点,此时d=-2 m,设d=Asinπ15t+φ+BA>0,|φ|<π2,则A+B=6,-A+B=-2,
解得A=4,B=2,故d=4sinπ15t+φ+2,又当t=0 s时,d=0 m,所以4sin φ+2=0,解得sin φ=-12,所以φ=-π6,故d=4sinπ15t-π6+2.对于A选项,当t=5 s时,d=4sinπ3-π6+2=4(m),即当筒车转动5 s时,盛水筒P距离水面4 m,故A正确.对于C选项,令4sinπ15t-π6+2=4,得sinπ15t-π6=12,当π15t-π6=5π6时,盛水筒P第二次距离水面4 m,解得t=15,故盛水筒P第二次距离水面4 m时用时15 s,故C正确.对于D选项,令4sinπ15t-π6+2≤0,则7π6+2kπ≤π15t-π6≤11π6+2kπ,k∈Z,解得20+30k≤t≤30+30k,k∈Z,故盛水筒P入水后需要10 s才能浮出水面,故D错误.故选ABC.
12.sin2x+5π6(答案不唯一) [解析] 由性质③可得ω=±2,不妨取ω=2.由性质①可得2×π3+φ=π2+kπ(k∈Z),则φ=-π6+kπ(k∈Z),再由性质②可知当x∈0,π3时,2x-π6+kπ∈-π6+kπ,π2+kπ(k∈Z),则-π6+kπ,π2+kπ⊆π2+2mπ,3π2+2mπ(k,m∈Z),k为奇数时成立,不妨令k=1,则φ=5π6,不妨取A=1,则满足条件的一个函数为f(x)=sin2x+5π6.
13.4π3 58 [解析] 由题得f(0)=sin φ=32,又0<φ<π2,所以φ=π3,f-π3=sinπ3-ωπ3=0,则π3-ωπ3=kπ,k∈Z,故ω=1-3k,k∈Z,由ω>0且2πω×14>π3,得ω=1,则f(x)=sinx+π3.令x+π3=mπ,m∈Z,则x=-π3+mπ,m∈Z,所以f(x)的图象在y轴右侧的第一个对称中心的坐标为2π3,0,由图知x1+x2=4π3.因为f(x1)=sinx1+π3=34,且x1+π3∈π2,π,所以sinx1-π6=sinx1+π3-π2=-csx1+π3=134,又x2=4π3-x1,所以cs(x2-x1)=cs4π3-2x1=-csπ3-2x1=-cs2x1-π3=2sin2x1-π6-1=58.
14.解:将函数f(x)=sin x的图象向右平移π4个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=sinx-π4,再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)(纵坐标不变),所得图象对应的函数解析式为g(x)=sinωx-π4.
(1)当ω=2时,g(x)=sin2x-π4.当-π4≤x≤π4时,-3π4≤2x-π4≤π4,则-1≤sin2x-π4≤22,所以y=g(x)在区间-π4,π4上的最大值为22.
(2)当π40,所以2k+52>0,4k+1≤2k+52,解得-54综上,ω的取值范围为0,12∪1,52.
15.解:(1)由图象可得f(x)的最小正周期T=4×7π12-π3=π,∴ω=2πT=2.
由2×7π12+φ=3π2+2kπ,k∈Z,解得φ=π3+2kπ,k∈Z,又∵|φ|<π2,∴φ=π3,∴f(x)=2sin2x+π3.由2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z,解得kπ-5π12≤x≤kπ+π12,k∈Z,∴函数f(x)的单调递增区间为kπ-5π12,kπ+π12,k∈Z.
(2)f(x)fx-π6=2sin2x+π3·2sin 2x=412sin2x+32cs2x·sin 2x=2sin22x+23sin 2xcs 2x=3sin 4x-cs 4x+1=2sin4x-π6+1.
由f(x)fx-π6-1≤1得2sin4x-π6≤1,∴-12≤sin4x-π6≤12.∵x∈t,π3,∴4t-π6≤4x-π6≤7π6,作出y=sin x的部分图象如图所示.
结合图象可知5π6≤4t-π6<7π6,解得π4≤t<π3,故实数t的取值范围为π4,π3.
16.ABD [解析] 由函数f(x)=sin(ωx+φ)在-π12,π12和7π4,25π12上单调递增,可知当最小正周期T最小时,有T2=25π12-7π4=π3,则T=2π3,所以ω=2πT=3,此时ω取得最大值,故选项A正确.当方程f(x)=lg2πx在[0,2π]上的根最多时,函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期最小,即ω=3,此时f(x)=sin3x+π4,画出f(x)=sin3x+π4与y=lg2πx的图象如图,易知f(2π)<1,故由图可知两函数图象在[0,2π]上有5个交点,故选项B正确.因为f(x)在-π12,π12上单调递增,所以不可能存在ω和φ使f(x)=sin(ωx+φ)为偶函数,故选项C错误.当ω=2且φ=0时,f(x)=sin 2x为奇函数,满足题意,故选项D正确.故选ABD.
17.π3 [解析] 将函数f(x)=cs 2x的图象向右平移π12个单位长度后得到g(x)=cs2x-π6的图象.因为x1∈-π3,π6,所以2x1∈-2π3,π3,所以f(x1)=cs 2x1∈-12,1.因为对于任意的x1∈-π3,π6,总存在x2∈[m,n],使得f(x1)=g(x2),所以g(x2)的取值范围应包含-12,1,根据余弦函数的性质,要
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(进群送往届全部资料)使|m-n|取最小值,只需函数g(x)在[m,n]上单调且取值范围为-12,1.不妨设函数g(x)在[m,n]上单调递增,由2kπ-2π3≤2x-π6≤2kπ(k∈Z)可得kπ-π4≤x≤kπ+π12(k∈Z),因此|m-n|的最小值为-π4-π12=π3.