03 第31讲　平面向量的数量积 【正文】听课高考数学练习

这是一份03 第31讲　平面向量的数量积 【正文】听课高考数学练习，共8页。试卷主要包含了能用坐标表示平面向量垂直的条件等内容，欢迎下载使用。


1.平面向量的数量积
(1)向量的夹角
①定义:已知两个非零向量a,b(如图),O是平面上的任意一点,作OA=a,OB=b,则
∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫作向量a与b的夹角.
②性质:当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向.
③向量垂直:如果a与b的夹角是π2,我们说a与b垂直,记作a⊥b.
(2)数量积概念
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量 叫作向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b= .
规定:零向量与任一向量的数量积为 ,即0·a=0.
(3)投影向量
如图,在平面内任取一点O,作OM=a,ON=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则
就是向量a在向量b上的投影向量,且OM1=|a|cs θ e(θ为OM与ON的夹角,e为与b方向相同的单位向量).
2.平面向量数量积的性质
设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则
①e·a=a·e= .
②a⊥b⇔ .
③当a与b同向时,a·b= ;当a与b反向时,a·b= .
特别地,a·a= 或|a|= .
④|a·b| |a||b|.
3.平面向量数量积的运算律
已知向量a,b,c和实数λ.
①交换律: ;
②数乘结合律:(λa)·b= = (λ∈R);
③分配律:(a+b)·c= .
4.平面向量数量积的有关结论
已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),为a与b的夹角.
常用结论
1.①(a+b)·(a-b)=a2-b2;②(a+b)2=a2+2a·b+b2;③(a-b)2=a2-2a·b+b2.
2.S△ABC=12|AB||AC|sin A=12|AB|2·|AC|2-(AB·AC)2.
3.若AP=λAB|AB|+AC|AC|(λ≠0),则AP所在直线为∠BAC的平分线.
4.已知非零向量a,b.
(1)若a与b的夹角为锐角,则a·b>0;若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0;
(2)若a与b的夹角为钝角,则a·b<0;若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或π.
题组一 常识题
1.[教材改编] 若向量a=(1,2),b=(-3,4),则a·b的值等于 ;a与b夹角的余弦值等于 .
2.[教材改编] 已知|a|=6,|b|=8,a·b=-24,则向量a与b的夹角是 .
3.[教材改编] 在△ABC中,C=90°,CA=CB=1,则AC·AB= .
4.[教材改编] 已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为π3,则|a+b|= .
题组二 常错题
◆索引:向量的模与数量积之间的关系掌握不牢致误;不理解向量的数量积的几何意义致误;向量的数量积的有关性质应用不熟练致误.
5.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,则a·b= .
6.已知|a|=6,e为单位向量,向量a与e的夹角为135°,则向量a在向量e上的投影向量是 .
7.若平面四边形ABCD满足AB+CD=0,(AB-AD)·AC=0,则该四边形一定是 .
平面向量的数量积的运算
例1 (1)[2023·全国乙卷] 正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则EC·ED=( )
A.5B.3
C.25D.5
(2)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,则a·b+b·c+c·a= .
总结反思
解决向量数量积的运算问题的三种方法:
(1)当已知向量的长度和夹角时,可利用定义法求解;
(2)当已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐标时,可利用坐标法求解;
(3)利用向量数量积的几何意义求解.
变式题 (1)[2023·杭州质检] 已知平面向量a=(1,3),|b|=2,且|a-b|=10,则(2a+b)·(a-b)=( )
A.1B.14
C.14D.10
(2)[2023·江苏无锡期末] 在平行四边形ABCD中,已知DE=12EC,BF=12FC,|AE|=2,|AF|=23,则AC·BD=( )
A.-9B.-6
C.6D.9
(3)[2022·北京卷] 在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则PA·PB的取值范围是( )
A.[-5,3]B.[-3,5]
C.[-6,4]D.[-4,6]
平面向量数量积的应用
微点1 平面向量的模
例2 (1)已知非零向量a,b满足a⊥(4b-a),且|b|=4,则|a-2b|=( )
A.8B.3
C.2D.2
(2)[2023·新课标Ⅱ卷] 已知向量a,b满足|a-b|=3,|a+b|=|2a-b|,则|b|= .
总结反思
求平面向量的模的两种方法:
(1)公式法:①a2=a·a=|a|2或|a|=a·a;
②|a±b|=(a±b)2=a2±2a·b+b2;
③若a=(x,y),则|a|=x2+y2.
(2)几何法:利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.
微点2 平面向量的夹角
例3 (1)[2023·辽宁葫芦岛一模] 已知a,b为平面向量,且a=(4,3),2a+b=(3,18),则a与b的夹角的余弦值为( )
A.865B.-865
C.1665D.-1665
(2)(多选题)[2023·山东聊城三模] 已知向量a,b满足|a+b|=6,|a-b|=2,则a与b的夹角可以为( )
A.π6B.2π7C.3π8D.5π9
总结反思
求平面向量的夹角的方法:
(1)定义法:利用向量数量积的定义得,cs=a·b|a||b|,其中两向量的夹角的取值范围为[0,π].
(2)坐标法:若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cs=x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22.
微点3 平面向量的垂直
例4 (1)[2023·新课标Ⅰ卷] 已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则( )
A.λ+μ=1B.λ+μ=-1
C.λμ=1D.λμ=-1
(2)[2023·山西三晋名校联盟联考] 已知向量a,b的夹角为π3,b与a-32b垂直,|b|=2,则|a|= .
总结反思
当向量a与b是坐标形式,即a=(x1,y1),b=(x2,y2)时,若要证明a⊥b,则只需证明a·b=0,即证明x1x2+y1y2=0.
1.【微点1、微点3】已知向量a=(-2,1),b=(m,2),|a+b|=|a-b|,则实数m的值为( )
A.-1B.-12
C.12D.1
2.【微点2】[2023·扬州高邮中学月考] 已知向量a,b满足|a|=2|b|=2,(a-b)·(2a+b)=8,则a与b的夹角为( )
A.π6B.π3
C.2π3D.5π6
3.【微点3】[2023·福建三明三模] 若向量a,b满足a=(2,1),a与a+b垂直,则b在a上的投影向量为( )
A.(-2,-1)B.(2,1)
C.(-25,-5)D.(25,5)
4.【微点1】[2023·宁德一模] 已知向量a,b的夹角为60°,且|b|=2|a|=2,则|ta+b|(t∈R)的最小值是( )
A.3B.2
C.3D.2
5.【微点2】[2023·全国甲卷] 已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,则cs=( )
A.-45B.-25
C.25D.45
6.【微点2、微点3】若向量a,b满足a=(1,1),|b|=1,且(a+b)·b=0,则a与b的夹角为 .
平面向量数量积的综合应用
例5 已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C所对的边,向量m=(sin C+sin B,sin B-sin A),n=(c-b,a),且m⊥n.
(1)求角C的大小;
(2)若a=2,△ABC的面积为23,点D在边AB上,且AD=2DB,求线段CD的长.
向量表示
坐标表示
向量a的长度
|a|=a2
|a|=
a,b的数量积
a·b=|a||b|cs
a·b=
a与b垂直
a⊥b⇔a·b=0
a⊥b⇔
a与b的夹角
cs=a·b|a||b|
cs=
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
(当且仅当a∥b
时等号成立)
|x1x2+y1y2|≤
x12+y12x22+y22
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总结反思
利用向量运算进行转化,化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法.以向量为载体考查三角形问题时,要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.
变式题 (1)[2023·武汉六模] 如图,已知AOB是半径为2,圆心角为π2的扇形,点E,F分别在OA,OB上,且OA=3OE,OB=3OF,点P是圆弧AB上的动点(包括端点),则PE·PF的最小值为( )
A.4-423B.4+423
C.83D.163
(2)(多选题)已知O为坐标原点,A(cs α,sin α),B(cs β,sin β),Ccsα+β2,sinα+β2,则下列说法中正确的有( )
A.|OA|=|OB|
B.|AC|=|BC|
C.OA·OC=csα-β2
D.OA·OB=2OA·OC