04 第37讲　数列求和 【正文】听课高考数学练习

这是一份04 第37讲　数列求和 【正文】听课高考数学练习，共6页。试卷主要包含了裂项相消法，错位相减法等内容，欢迎下载使用。

1.分组求和法
一个数列的通项是由 的数列的通项组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加、减.
2.倒序相加法与并项求和法
(1)倒序相加法
如果一个数列{an}中,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于 ,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法.
(2)并项求和法
数列{an}满足彼此相邻的若干项的和为特殊数列时,运用 求其前n项和.如通项公式形如an=(-1)nf(n)的数列.
3.裂项相消法
把数列的通项拆成 ,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.
4.错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项之 构成的,那么求这个数列的前n项和时即可用错位相减法.
常用结论
1.一些常见的前n项和公式
(1)1+2+3+4+…+n=n(n+1)2.
(2)1+3+5+7+…+(2n-1)=n2.
(3)2+4+6+8+…+2n=n2+n.
2.常用的裂项公式
①1n2+n=1n(n+1)=1n-1n+1.
②1n(n+k)=1k1n-1n+k.
③14n2-1=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1.
④1n+k+n=1k(n+k-n).
⑤2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-1.
题组一 常识题
1.[教材改编] 若数列{an}的通项公式为an=12n+2n-1,则数列{an}的前n项和Sn= .
2.[教材改编] 若数列{an}满足an=2n(n+1),则{an}的前n项和为 .
3.[教材改编] 12+24+38+…+n2n= .
题组二 常错题
◆索引:利用分组(或并项)求和法求和时不能准确分组或不分奇数项与偶数项致错;利用错位相减法求和时出现符号错误或不能准确“错项对齐”致错.
4.已知数列{an}的通项公式为an=(-1)n·(2n-2),则数列{an}的前n项和Sn= .
5.若数列{an}满足an=(-1)n-1·1n+1n+1,则{an}的前2024项和为 .
6.3×31+5×32+…+(2n+1)·3n= .
分组转化法求和
例1 [2023·新课标Ⅱ卷] 已知{an}为等差数列,bn=an-6,n为奇数,2an,n为偶数.记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,S4=32,T3=16.
(1)求{an}的通项公式;
(2)证明:当n>5时,Tn>Sn.


总结反思
(1)若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn,且{an},{bn}为等差数列或等比数列或可求和的数列,则可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
(2)若数列{cn}的通项公式为cn=an,n为奇数,bn,n为偶数,其中数列{an},{bn}是等比数列或等差数列或可求和的数列,则可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
变式题1 [2023·山东枣庄二模] 已知数列{an}的首项a1=3,且满足an+1+2an=2n+2.
(1)证明:{an-2n}为等比数列;
(2)已知bn=an,n为奇数,lg2an,n为偶数,Tn为{bn}的前n项和,求T10.


变式题2 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,2Sn+1=Sn+2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=an+1an,求数列{bn}的前n项和Tn.


错位相减法求和
例2 [2023·全国甲卷] 记Sn为数列{an}的前n项和,已知a2=1,2Sn=nan.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列an+12n的前n项和Tn.


总结反思
(1)若数列{cn}的通项公式为cn=anbn,且数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,则可采用错位相减法求数列{cn}的前n项和.
(2)用错位相减法求和时,应注意两点:一是两边先同时乘等比数列的公比再错位相减,错位相减后化简归纳为一个等比数列求和;二是在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应将两式“错项对齐”,即将两式中指数相同的两项对齐,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.
变式题 已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=158,且a1,3a3,a2成等差数列.
(1)证明:数列{Sn-2}是等比数列;
(2)若bn=an(lg2an-1),求数列{bn}的前n项和Tn.


裂项相消法求和
角度1 形如an=1n+n+k
例3 [2024·湖南师大附中月考] 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,an>0,an+1·(Sn+1+Sn)=2.
(1)求Sn;
(2)求1S1+S2+1S2+S3+…+1Sn+Sn+1.


总结反思
当数列{an}的通项公式形如an=1n+n+k时,可转化为an=1k(n+k-n),此类数列适合使用裂项相消法求和.
变式题 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,且d=2,S9=99.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=1an+1+an(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.


角度2 形如an=1n(n+k)
例4 [2022·新高考全国Ⅰ卷] 记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,Snan是公差为13的等差数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)证明:1a1+1a2+…+1an