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05 第38讲 数列的综合问题 【答案】作业高考数学练习
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2.A [解析] 依题意可知,这个同学第1天、第2天、…、第7天跑的路程依次构成首项为5000,公差为200的等差数列,则这个同学7天一共跑的路程为5000×7+7×62×200=39 200(m).故选A.
3.A [解析] 因为{an}是等差数列,a2+a4+a6=4π,所以3a4=4π,故a4=4π3,则a1+a7=2a4=8π3.因为{bn}是等比数列,b2b4b6=33,所以b43=33,故b4=3,则b2b6=b42=3.所以tana1+a71+b2b6=tan2π3=-3.故选A.
4.C [解析] 由题意知,年生产新能源汽车数量是首项为1,公比为1.5的等比数列,所以第8年全年新能源汽车的产量为1×1.57=1.57(万辆).故选C.
5.-1 -2 [解析] 由题可知an+bn=2n-1+1-2n,所以S4=1+(-1)+2+(-3)+22+(-5)+23+(-7)=1-241-2-4×(1+7)2=-1.Sn=1+(-1)+2+(-3)+…+2n-1+(1-2n)=1-2n1-2-n(1+2n-1)2=2n-1-n2,因为当n≥2时,Sn-Sn-1=2n-1-2n+1,所以当n≥4时,Sn-Sn-1>0,则S36.3n-1+12 [解析] 设等差数列{an}的公差为d,则d≠0,由题意知ak22=ak1·ak3,所以a22=a1·a5,即(a1+d)2=a1·(a1+4d),得2a1=d,于是在等比数列ak1,ak2,ak3,…中,公比q=ak2ak1=a2a1=a1+da1=a1+2a1a1=3.由akn为数列{akn}的第n项,知akn=ak1·3n-1=a1×3n-1,由akn为数列{an}的第kn项,知akn=a1+(kn-1)d=a1(2kn-1),所以a1×3n-1=a1(2kn-1),故kn=3n-1+12.
7.B [解析] 第一个正方形的边长为b1=1,面积为a1=b12=1,第二个正方形的边长为b2=2b1,面积为a2=b22=(2b1)2=2b12=2a1,第三个正方形的边长为b3=2b2,面积为a3=b32=(2b2)2=2b22=2a2……进而可知{an}是公比为2,首项为1的等比数列,所以an=2n-1,则lg2an=lg22n-1=n-1.因为cs nπ=1,n为偶数,-1,n为奇数,所以∑n=12023[(lg2an)·cs nπ]=∑n=12023[(n-1)cs nπ]=0+1-2+3-4+5-6+…+2021-2022=0+(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(2021-2022)=-1×2023-12=-1011,故选B.
8.D [解析] 由题意可得,当k∈N*时,A3k-2A3k-1=-12,32,A3k-1A3k=-12,-32,A3kA3k+1=(1,0),则a1-12,32+a2-12,-32=-12a1-12a2,32a1-32a2=(0,b1),因为a1=1,所以a2=-1,b1=3.由a2-12,-32+a3(1,0)=-12a2+a3,-32a2=(0,b2),得a3=-12,b2=32.同理a4=-1,b3=-32;a5=1,b4=-3;a6=12,b5=-32;a7=1,b6=32;a8=-1,b7=3;a9=-12,b8=32……则数列{an},{bn}均是周期为6的数列,可得a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,b1+b2+b3+b4+b5+b6=0,所以S60+2T60=0,故选D.
9.B [解析] 当an>an+1时,有n-1+82n-1>n+82n+1,由n∈N*,可得n≤2,则a1>a2>a3;当anbn+1时,有3n-72n-1>3n-42n,由n∈N*,可得n≥4,则b4>b5>b6>…;当bnbn恒成立,所以由(λ-an)(λ-bn)<0,解得bn<λ10.BCD [解析] 因为数列{an}为等比数列,所以a2a3=a1a4=32,由a2a3=32,a2+a3=12,解得a2=4,a3=8或a2=8,a3=4,则q=a3a2=2或12,又q为整数,所以q=2,且a2=4,a3=8,所以B选项正确;又a1=a2q=2,所以Sn=2(1-2n)1-2=2n+1-2,则S2=23-2=6,S4=25-2=30,S6=27-2=126,所以C选项正确;因为S4S2≠S6S4,所以S2,S4,S6,…不是等比数列,所以A选项错误;因为lg(Sn+1+2)-lg(Sn+2)=lg 2n+2-lg 2n+1=(n+2-n-1)lg 2=lg 2,所以数列{lg(Sn+2)}是公差为lg 2的等差数列,所以D选项正确.故选BCD.
11.BC [解析] 对于A,设f(x)=ln(x2+1)x+1,则f'(x)=2x2+2xx2+1-ln(x2+1)(x+1)2,当x≥1时,2x2+2x≤2x2+x2+1<3x2+3,则f'(x)<3x2+3x2+1-ln(x2+1)(x+1)2=3-ln(x2+1)(x+1)2,当x≥6时,x2+1≥37>27>e3,则当x≥6时,f'(x)<3-ln(x2+1)(x+1)2<0,所以当n≥6时,an=ln(n2+1)n+1递减,A错误;对于B,因为an>0,所以数列{Sn}为递增数列,B正确;对于C,由A的分析可知,当正实数M为前6项中的最大项时,满足an≤M对任意n∈N*恒成立,所以数列{an}为有界正数列,C正确;对于D,令g(x)=ln(1+x)-x,x≥0,则g'(x)=11+x-1=-x1+x,所以当x≥0时,g'(x)≤0,即g(x)在[0,+∞)上单调递减,所以g(x)≤g(0)=0,即ln(1+x)≤x,当且仅当x=0时等号成立,因为an=ln(n2+1)n+1≥ln2n+1>ln 2·ln1+1n+1=ln 2·lnn+2n+1=ln 2[ln(n+2)-ln(n+1)],所以Sn>ln 2[ln(n+2)-ln 2],即数列{Sn}不是有界正数列,D错误.故选BC.
12.3 [解析] 设所求数列的首项为a1,公差为d,项数为n,则由题意知d=1,na1+n(n-1)2d=5336,∴n(2a1+n-1)=10 672=24×23×29,∵213.880 [解析] 设每期应付款x元,则第1期付款后欠款为10 000×(1+0.008)-x,第2期付款后欠款为(10 000×1.008-x)×1.008-x=10 000×1.0082-1.008x-x,…,第12期付款后欠款为10 000×1.00812-(1.00811+1.00810+…+1)x,因为第12期付款后欠款为0,所以10 000×1.00812-(1.00811+1.00810+…+1)x=0,解得x=10 000×≈880,即每期应付款约880元.
14.解:(1)由已知得a1b1=2S1,a2b2=2S2,即a1b1=2a1,(a1+d)(b1+d)=2(2a1+d),
因为a1=1,所以b1=2,(1+d)(b1+d)=2(2+d),可得b1=2,d=1,
故an=n,bn=n+1.
(2)证明:由(1)得cn=12n2+2n+1<12n(n+1)=121n-1n+1,则Tn=c1+c2+…+cn<121-12+12-13+…+1n-1-1n+1n-1n+1=121-1n+1=n2(n+1)=an2bn,得证.
15.解:(1)甲的基础工资收入总量S1=3700×10+12×10×9×300×12=606 000(元),乙的基础工资收入总量S2=4000×(1.0510-1)1.05-1×12≈603 739(元).
(2)由题意知an=3700+300(n-1),bn=4000×1.05n-1,则cn=3400+300n-4000×1.05n-1,cn+1=3400+300(n+1)-4000×1.05n,令cn+1-cn=300-200×1.05n-1>0,即1.05n-1<1.5,可得1≤n≤9,所以当1≤n≤9时,{cn}是递增的,当n≥10时,{cn}是递减的.由cn>0,即3400+300n>4000×1.05n-1,可得5≤n≤14,所以从第5年到第14年相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资.
16.解:(1)因为an=tan xn,所以an+1=tan xn+1,又an=2an+11-an+12,所以tan xn=2tan xn+11-tan2xn+1=tan 2xn+1,
因为xn∈0,π2,所以xn=2xn+1,即xn+1xn=12,
由a1=1可知x1=π4,所以{xn}是首项为π4,公比为12的等比数列,所以xn=π4·12n-1=π2n+1.
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(进群送往届全部资料)(2)证明:因为an2>0,所以1a12+1+1a22+1+…+1an2+1<1+1+…+1n个=n.由an=tan xn,可得1an2+1=1tan2xn+1=cs2xn=1-sin2xn.
因为当x∈0,π2时,sin x1-xn2,则1an2+1>1-xn2=1-π24n+1,
所以1a12+1+1a22+1+…+1an2+1>∑k=1n1-π24k+1=n-π2·1161-14n1-14=n-π2121-14n>n-π212.
综上,n-π212<1a12+1+1a22+1+…+1an2+1
2.A [解析] 依题意可知,这个同学第1天、第2天、…、第7天跑的路程依次构成首项为5000,公差为200的等差数列,则这个同学7天一共跑的路程为5000×7+7×62×200=39 200(m).故选A.
3.A [解析] 因为{an}是等差数列,a2+a4+a6=4π,所以3a4=4π,故a4=4π3,则a1+a7=2a4=8π3.因为{bn}是等比数列,b2b4b6=33,所以b43=33,故b4=3,则b2b6=b42=3.所以tana1+a71+b2b6=tan2π3=-3.故选A.
4.C [解析] 由题意知,年生产新能源汽车数量是首项为1,公比为1.5的等比数列,所以第8年全年新能源汽车的产量为1×1.57=1.57(万辆).故选C.
5.-1 -2 [解析] 由题可知an+bn=2n-1+1-2n,所以S4=1+(-1)+2+(-3)+22+(-5)+23+(-7)=1-241-2-4×(1+7)2=-1.Sn=1+(-1)+2+(-3)+…+2n-1+(1-2n)=1-2n1-2-n(1+2n-1)2=2n-1-n2,因为当n≥2时,Sn-Sn-1=2n-1-2n+1,所以当n≥4时,Sn-Sn-1>0,则S3
7.B [解析] 第一个正方形的边长为b1=1,面积为a1=b12=1,第二个正方形的边长为b2=2b1,面积为a2=b22=(2b1)2=2b12=2a1,第三个正方形的边长为b3=2b2,面积为a3=b32=(2b2)2=2b22=2a2……进而可知{an}是公比为2,首项为1的等比数列,所以an=2n-1,则lg2an=lg22n-1=n-1.因为cs nπ=1,n为偶数,-1,n为奇数,所以∑n=12023[(lg2an)·cs nπ]=∑n=12023[(n-1)cs nπ]=0+1-2+3-4+5-6+…+2021-2022=0+(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(2021-2022)=-1×2023-12=-1011,故选B.
8.D [解析] 由题意可得,当k∈N*时,A3k-2A3k-1=-12,32,A3k-1A3k=-12,-32,A3kA3k+1=(1,0),则a1-12,32+a2-12,-32=-12a1-12a2,32a1-32a2=(0,b1),因为a1=1,所以a2=-1,b1=3.由a2-12,-32+a3(1,0)=-12a2+a3,-32a2=(0,b2),得a3=-12,b2=32.同理a4=-1,b3=-32;a5=1,b4=-3;a6=12,b5=-32;a7=1,b6=32;a8=-1,b7=3;a9=-12,b8=32……则数列{an},{bn}均是周期为6的数列,可得a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,b1+b2+b3+b4+b5+b6=0,所以S60+2T60=0,故选D.
9.B [解析] 当an>an+1时,有n-1+82n-1>n+82n+1,由n∈N*,可得n≤2,则a1>a2>a3;当an
11.BC [解析] 对于A,设f(x)=ln(x2+1)x+1,则f'(x)=2x2+2xx2+1-ln(x2+1)(x+1)2,当x≥1时,2x2+2x≤2x2+x2+1<3x2+3,则f'(x)<3x2+3x2+1-ln(x2+1)(x+1)2=3-ln(x2+1)(x+1)2,当x≥6时,x2+1≥37>27>e3,则当x≥6时,f'(x)<3-ln(x2+1)(x+1)2<0,所以当n≥6时,an=ln(n2+1)n+1递减,A错误;对于B,因为an>0,所以数列{Sn}为递增数列,B正确;对于C,由A的分析可知,当正实数M为前6项中的最大项时,满足an≤M对任意n∈N*恒成立,所以数列{an}为有界正数列,C正确;对于D,令g(x)=ln(1+x)-x,x≥0,则g'(x)=11+x-1=-x1+x,所以当x≥0时,g'(x)≤0,即g(x)在[0,+∞)上单调递减,所以g(x)≤g(0)=0,即ln(1+x)≤x,当且仅当x=0时等号成立,因为an=ln(n2+1)n+1≥ln2n+1>ln 2·ln1+1n+1=ln 2·lnn+2n+1=ln 2[ln(n+2)-ln(n+1)],所以Sn>ln 2[ln(n+2)-ln 2],即数列{Sn}不是有界正数列,D错误.故选BC.
12.3 [解析] 设所求数列的首项为a1,公差为d,项数为n,则由题意知d=1,na1+n(n-1)2d=5336,∴n(2a1+n-1)=10 672=24×23×29,∵2
14.解:(1)由已知得a1b1=2S1,a2b2=2S2,即a1b1=2a1,(a1+d)(b1+d)=2(2a1+d),
因为a1=1,所以b1=2,(1+d)(b1+d)=2(2+d),可得b1=2,d=1,
故an=n,bn=n+1.
(2)证明:由(1)得cn=12n2+2n+1<12n(n+1)=121n-1n+1,则Tn=c1+c2+…+cn<121-12+12-13+…+1n-1-1n+1n-1n+1=121-1n+1=n2(n+1)=an2bn,得证.
15.解:(1)甲的基础工资收入总量S1=3700×10+12×10×9×300×12=606 000(元),乙的基础工资收入总量S2=4000×(1.0510-1)1.05-1×12≈603 739(元).
(2)由题意知an=3700+300(n-1),bn=4000×1.05n-1,则cn=3400+300n-4000×1.05n-1,cn+1=3400+300(n+1)-4000×1.05n,令cn+1-cn=300-200×1.05n-1>0,即1.05n-1<1.5,可得1≤n≤9,所以当1≤n≤9时,{cn}是递增的,当n≥10时,{cn}是递减的.由cn>0,即3400+300n>4000×1.05n-1,可得5≤n≤14,所以从第5年到第14年相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资.
16.解:(1)因为an=tan xn,所以an+1=tan xn+1,又an=2an+11-an+12,所以tan xn=2tan xn+11-tan2xn+1=tan 2xn+1,
因为xn∈0,π2,所以xn=2xn+1,即xn+1xn=12,
由a1=1可知x1=π4,所以{xn}是首项为π4,公比为12的等比数列,所以xn=π4·12n-1=π2n+1.
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因为当x∈0,π2时,sin x
所以1a12+1+1a22+1+…+1an2+1>∑k=1n1-π24k+1=n-π2·1161-14n1-14=n-π2121-14n>n-π212.
综上,n-π212<1a12+1+1a22+1+…+1an2+1
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