05 第38讲　数列的综合问题 【正文】听课高考数学练习

这是一份05 第38讲　数列的综合问题 【正文】听课高考数学练习，共8页。


1.数列的综合应用
(1)等差数列和等比数列的综合
等差数列与等比数列相结合的综合问题主要是应用等差、等比数列的通项公式、前n项和公式,建立关于两个基本量,即首项a1和公差d或公比q的方程组,以及解决等差中项、等比中项等问题.
(2)数列和函数
数列是特殊的函数,等差数列的通项公式和前n项和公式分别是关于n的一次函数和二次函数,等比数列的通项公式和前n项和公式在公比不等于1的情况下是公比q的指数型函数,可以根据函数的性质解决一些数列问题.
(3)数列和不等式
以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题,体现了在知识交汇点上命题的特点.一般通过数列求通项公式以及求和去解决一个不等式问题,这里的不等式通常是关于正整数的不等式,可以通过比较法、基本不等式法、导数法和数学归纳法解决.
2.数列应用题常见模型
题组一 常识题
1.[教材改编] 已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,若a1,a2,a4成等比数列,则S8= .
2.[教材改编] 已知等比数列{an}的各项均为正数,公比q大于1,前n项积为Tn,且a2a4=a3,则使得Tn>1成立的n的最小值为 .
3.[教材改编] 假设某银行的活期存款年利率为0.35%,某人存入10万元后,既不加进存款也不取款,每年到期利息连同本金自动转存.如果不考虑利息税及利率的变化,经过n年到期时的存款余额为an万元,那么an= .
题组二 常错题
◆索引:数列实际问题的易错点为项数.
4.某商场为了满足广大数码爱好者的需求,开展商品分期付款活动.已知某商品一次性付款的金额为a元,计划以分期付款的形式等额分成n期付清,每期期末所付款是x元,每期利率为r,则x= .
5.假设每次用相同体积的清水清洗一件衣服,且每次能洗去污垢的34,那么至少要清洗
次才能使存留的污垢在1%以下.
等差、等比数列的综合问题
例1 [2023·泰安模拟] 已知{an}为等差数列,{bn}是公比为正数的等比数列,a1=b1=2,a2=2b1-1,b3=2a2+2.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)设{cn}满足c1=2,cn=an,2k

总结反思
解决由等差数列、等比数列组成的综合问题,首先要根据两数列的概念,设出相应的基本量,然后充分使用通项公式、求和公式、数列的性质等确定基本量.解综合问题的关键在于审清题目,弄懂来龙去脉,揭示问题的内在联系和隐含条件.
变式题 [2023·辽宁教研联盟二调] 已知数列{an}的通项公式为an=2n+1,等比数列{bn}满足b2=a1-1,b3=a2-1.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)记{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,求满足Tn=Sm(4

数列与函数、不等式的综合问题
角度1 数列与不等式的综合
例2 [2023·宁波二模] 已知等比数列{an}的前n项和Sn满足an+1=Sn+1(n∈N*).
(1)求首项a1的值及{an}的通项公式;
(2)设bn=lg2a2n+1a2·a22·a23·…·a2n(n∈N*),求满足an-bn<2023的最大正整数n的值.


总结反思
1.数列与不等式的综合问题及求解策略
(1)判断数列问题的一些不等关系,可以利用数列的增减性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小.
(2)以数列为载体,考查不等式恒成立的问题可转化为函数的最值问题.
(3)与数列有关的不等式证明问题,一般采用放缩法进行证明,有时也可通过构造函数进行证明.
2.放缩法的注意事项以及常见放缩技巧
(1)对于“和式”数列不等式,若能够直接求和,则考虑先求和,再放缩证明不等式;若不能求和,则可考虑先放缩后求和证明不等式.放缩的最主要目的是通过放缩,把原数列变为可求和的数列.
(2)放缩的项数:不一定对所有项进行放缩,可从第一项开始,也可从第二项、第三项等开始.
(3)常见的放缩技巧有:
①1k2<1k2-1=121k-1-1k+1(k>1);
②1k-1k+1<1k2<1k-1-1k(k>1);
③2(n+1-n)<1n<2(n-n-1);
④12n+1<12n+1<12n,13n<13n-1≤12·3n-1.
变式题1 [2024·辽宁锦州模拟] 记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=2,an+1=Sn+n.
(1)求{an}的通项公式.
(2)设递增的等差数列{bn}满足b1=2,且a1+b1,a2+b2,a3+12b3成等比数列.
(i)求{bn}的通项公式;
(ii)设Tn=1b12+1b22+…+1bn2,证明:Tn<34.


变式题2 [2023·浙江温州三模] 图中的数阵满足:每一行从左到右成等差数列,每一列从上到下成等比数列,且公比均为实数q,a1,1>0,a1,3=5,a2,2=-6,a4,22=a7,5.
a1,1a1,2a1,3…a1,n…a2,1a2,2a2,3…a2,n…a3,1a3,2a3,3…a3,n…………………an,1an,2an,3…an,n…………………
(1)设bn=an,n,求数列{bn}的通项公式.
(2)设Sn=a1,1+a2,1+…+an,1,是否存在实数λ,使an,1<λSn恒成立?若存在,求出λ的所有值;若不存在,请说明理由.


角度2 数列与函数的综合
例3 [2023·武汉华中师大附中质检] 在数列{an}中给定a1,若函数f(x)=13x3-an+1sin x+(an+2)x+1的导函数有唯一零点,函数g(x)=12x+32sin πx-12cs πx,且g(a1)+g(a2)+…+g(a9)=18,则a5=( )
A.14B.13C.16D.19
总结反思
数列与函数的综合问题主要有以下两类:①已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图象来解决;②已知数列条件,解决函数问题,此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法等对所给条件化简变形.
变式题 (多选题)[2023·山东济南三模] f'(x)为函数f(x)的导函数,若数列{xn}满足xn+1=xn-f(xn)f'(xn),则称{xn}为“牛顿数列”.已知函数f(x)=x2-1,数列{xn}为“牛顿数列”,其中x1=3,则( )
A.xn+1=xn2-12xn(n∈N*)
B.数列{xn}是递减数列
C.1D.关于n的不等式|xn-1|<122023的解有无限个
数列在实际中的应用
例4 [2023·重庆缙云教育联盟二模] 王先生向银行申请个人住房贷款120万元购买住房,月利率为0.3%,并从贷款后的次月开始还贷,分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式:①等额本金:在还款期内把本金总额等分,每月偿还同等数额的本金和剩余本金与月利率的乘积;②等额本息:在还款期内,每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息).
(1)若王先生采取等额本金的还贷方式,已知第一个还贷月应还13 600元,最后一个还贷月应还10 030元,试计算王先生该笔贷款的总利息;
(2)若王先生采取等额本息的还贷方式,银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半,已知王先生家庭月收入为25 000元,试判断王先生该笔贷款能否获批(不考虑其他因素).
参考数据:1.003119≈1.428,1.003120≈1.433,1.003121≈1.437.


总结反思
解决与数列有关的实际问题的一般步骤:首先要认真阅读,学会翻译(数学化),其次考虑用熟悉的数列知识建立数学模型,然后求出问题的解,最后还需验证求得的解是否符合实际.
等差数
列模型
如果增加(或减少)的量是一个固定量,那么该模型是等差数列模型,增加(或减少)的量就是公差
等比数
列模型
如果后一个量与前一个量的比值是一个固定的数,那么该模型是等比数列模型,这个固定的数就是公比
递推数
列模型
如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,即随着项的变化而变化,那么应考虑an与an-1(n≥2)的递推关系,或前n项和Sn与Sn-1(n≥2)之间的递推关系
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(进群送往届全部资料)变式题 (1)某牧场2022年年初牛的存栏数为1200头,计划以后每年存栏数的增长率为20%,且在每年年底卖出100头牛,按照该计划预计 年年初牛的存栏量首次超过8900头.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
(2)某企业2023年年初有资金500万元,资金的年平均增长率可达到20%.每年年底扣除下一年必需的消费资金后,剩余资金全部投入再生产,为了实现经过5年投入再生产的资金达到800万元的目标,每年应扣除的消费资金至多为 万元.(结果取整数,参考数据:1.24≈2.07,1.25≈2.49)