05 第38讲　数列的综合问题 【正文】作业高考数学练习

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1.[2023·浙江嘉兴二模] 已知{an}是公差不为0的等差数列,a1=2,若a1,a3,a7成等比数列,则a2023=( )
A.2023B.2024
C.4046D.4048
2.为了参加冬季运动会5000 m长跑比赛,某同学给自己制订了7天的训练计划:第1天跑5000 m,以后每天比前1天多跑200 m,则这个同学7天一共跑的路程为( )
A.39 200 mB.39 300 m
C.39 400 mD.39 500 m
3.[2023·重庆七校三诊] 已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,若a2+a4+a6=4π,b2b4b6=33,则tana1+a71+b2b6=( )
A.-3B.-33C.33D.3
4.某汽车集团第一年全年生产新能源汽车1万辆,在后续的几年中,后一年新能源汽车的产量都为前一年的150%,那么第8年全年新能源汽车的产量为( )
A.2×(1.58-1)万辆
B.(1.58-1)万辆
万辆
万辆
5.[2023·北京西城区一模] 已知数列{an}的通项公式为an=2n-1,{bn}的通项公式为bn=1-2n.记数列{an+bn}的前n项和为Sn,则S4= ,Sn的最小值为 .
6.已知公差不为0的等差数列{an}的部分项ak1,ak2,ak3,…构成等比数列{akn},且k1=1,k2=2,k3=5,则kn= .
7.[2023·山东淄博三模] 如图,阴影正方形的边长为1,以其对角线长为边长,各边均经过阴影正方形的顶点,作第2个正方形;然后再以第2个正方形的对角线长为边长,各边均经过第2个正方形的顶点,作第3个正方形……依此方法一直继续下去.若视阴影正方形为第1个正方形,第n个正方形的面积为an,则∑n=12023[(lg2an)·cs nπ]=( )
A.1011B.-1011
C.1012D.-1012
8.[2023·重庆南开中学质检] 已知点A1,A2,A3,…,An,…与数列{an},{bn}满足AnAn+1=cs2nπ3,sin2nπ3(n∈N*),anAnAn+1+an+1An+1An+2=(0,bn),若a1=1,Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,则S60+2T60=( )
A.-20B.243
C.483-20D.0
9.[2023·江苏盐城模拟] 已知数列an=n-1+82n-1,bn=3n-72n-1,若对任意的n∈N*,(λ-an)(λ-bn)<0恒成立,则实数λ的取值范围是( )
A.12,185B.58,185
C.12,113D.58,113
10.(多选题)[2024·湖北部分学校联考] 在公比q为整数的等比数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,若a1·a4=32,a2+a3=12,则下列说法正确的是( )
A.数列S2,S4,S6,…是等比数列
B.q=2
C.S6=126
D.数列{lg(Sn+2)}是等差数列
11.(多选题)定义:若an>0,且存在正实数M使an≤M对任意n∈N*恒成立,则称数列{an}为有界正数列.已知数列{an}满足an=ln(n2+1)n+1,Sn为数列{an}的前n项和,则( )
A.数列{an}为递增数列
B.数列{Sn}为递增数列
C.数列{an}为有界正数列
D.数列{Sn}为有界正数列
12.如果一个数列由有限个连续的正整数按从小到大的顺序组成(数列的项数大于2),且所有项之和为N,那么称该数列为“N型标准数列”.例如,数列3,4,5,6,7为“25型标准数列”,则“5336型标准数列”的个数为 .
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14.[2024·河北唐山模拟] 已知{an}和{bn}是公差相等的等差数列,且公差d>0,{an}的首项a1=1,记Sn为数列{an}的前n项和,anbn=2Sn.
(1)求an和bn;
(2)若cn=1an2+bn2,{cn}的前n项和为Tn,求证:Tn15. 甲、乙在同一时间分别入职A,B公司,两家公司的基础工资标准分别为:A公司第一年月基础工资为3700元,以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元;B公司第一年月基础工资为4000元,以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍.
(1)分别求甲、乙两人工作满10年时的基础工资收入总量(精确到1元);
(2)设甲、乙两人入职第n年的月基础工资分别为an元,bn元,记cn=an-bn,讨论数列{cn}的增减性,指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资,并说明理由.
16.[2023·湖北黄冈三模] 设各项均为正数的数列{an}满足a1=1,an=2an+11-an+12,n∈N*.数列{xn}满足an=tan xn,其中xn∈0,π2,n∈N*.已知如下结论:当x∈0,π2时,sin x(1)求{xn}的通项公式;
(2)证明:n-π212<1a12+1+1a22+1+…+1an2+1