06 第39讲　双数列问题 【正文】作业高考数学练习

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1.[2023·云南保山二模] 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表,即杨辉三角,这是数学史上的一个伟大成就,杨辉三角也可以看作是二项式系数在三角形中的一种几何排列.若去除所有为1的项,其余各项依次构成数列{an}:2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…,则此数列的第56项为( )
A.11B.12
C.13D.14
2.已知等差数列{an}的前30项中奇数项的和为A,偶数项的和为B,且B-A=45,2A=B+615,则an=( )
A.3n-2B.3n-1
C.3n+1D.3n+2
3.已知数列{an}满足an=n,在an,an+1之间插入n个1,构成数列{bn}:a1,1,a2,1,1,a3,1,1,1,a4,…,则数列{bn}的前100项的和S100=( )
A.178B.191
C.206D.216
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,2Sn=an+1an,则S20=( )
A.200B.210
C.400D.410
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.设bn=aan,则1b1b2+1b2b3+1b3b4+…+1b9b10=( )
A.937B.1837C.919D.938
6.[2023·安徽蚌埠二检] 已知数列{an}中,a1=2,an+1=an-1,n为奇数,2an+2,n为偶数,则{an}的前8项和为 .
7.[2023·浙江温州三模] 已知数列{an}的各项均为正数,数列{bn}满足an2=bnbn+1,an+an+1=2bn+1,则( )
A.{bn}是等差数列
B.{bn}是等比数列
C.{bn}是等差数列
D.{bn}是等比数列
8.已知数列{an}的通项公式为an=2n-1,保持数列{an}中各项顺序不变,对任意的k∈N+,在数列{an}的ak与ak+1项之间,都插入k(k∈N+)个相同的数(-1)kk,组成数列{bn},记数列{bn}的前n项和为Tn,则T100=( )
A.4056B.4096
C.8152D.8192
9.已知Sn是数列{an}的前n项和,且a1=a2=1,an=2an-1+3an-2(n≥3),则下列结论正确的是( )
A.数列{an-an+1}为等比数列
B.数列{an+1+2an}为等比数列
C.S40=14(320-1)
D.an=3n-1+(-1)n-12
10.(多选题)在数学课堂上,为提高学生探究分析问题的能力,教师引导学生构造新数列.现有一个每项都为1的常数列,在此数列的第n(n∈N*)项与第n+1项之间插入首项为2,公比为2的等比数列的前n项,从而形成新的数列{an},数列{an}的前n项和为Sn,则( )
A.a2023=27
B.a2023=28
C.S2023=3×263+59
D.S2023=264+189
11.(多选题)[2023·重庆九龙坡区二模] 已知数列{an}满足a1=2,an+1=an+(2)n+1,n为奇数,2an,n为偶数,设bn=a2n,记数列{an}的前2n项和为S2n,数列{bn}的前n项和为Tn,则下列结论正确的是( )
A.a5=24
B.bn=n·2n
C.Tn=n·2n+1
D.S2n=2n+1(2n-1)+2
12.[2023·湖南邵阳二中模拟] 数列{2n-1}和数列{3n-2}的公共项从小到大构成一个新数列{an},数列{bn}满足bn=an2n,则数列{bn}的最大项等于 .
13.[2023·浙江宁波二模] 任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈“1→4→2→1”.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).如取正整数m=6,根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1,共需经过8个步骤变成1(简称为8步“雹程”).若递推关系式为an+1=an2,an为偶数,3an+1,an为奇数的数列{an}满足a1=m(m为正整数),且a6=2,则m所有可能取值的集合为 .
14.已知数列{an}满足a1=-2,an+1=an+2,n为奇数,2an+2,n为偶数.
(1)求{a2n}的通项公式;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn>250,求n的最小值.
15.[2023·长春模拟] 已知数列{an},{bn}满足an+1=12an+12bn,1bn+1=12·1an+12·1bn,a1>0,b1>0.
(1)求证:{an·bn}是常数列;
(2)设a1=4,b1=1,求{an}的最大项.
16.[2023·河北衡水中学模拟] 已知{an}是首项为1的等差数列,公差d>0,{bn}是首项为2的等比数列,a4=b2,a8=b3.
(1)求{an},{bn}的通项公式;
(2)若数列{bn}的第m项bm满足 ,k∈N*,则将其去掉,数列{bn}剩余的各项按原顺序组成一个新的数列{cn},求{cn}的前20项和S20.
①lg4bm=ak;②bm=3ak+1.
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