2024-2025学年陕西省西安工业大学附中高二（上）第一次月考数学试卷

这是一份2024-2025学年陕西省西安工业大学附中高二（上）第一次月考数学试卷，共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）集合，则∁A（A∩B）＝（ ）
A．{1，4，9}B．{3，4，9}C．{1，2，3}D．{2，3，5}
2．（5分）已知函数为f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0]B．[﹣1，0]C．[﹣1，1]D．[0，+∞）
3．（5分）若向量，则在上的投影向量的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
4．（5分）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．1﹣
5．（5分）某人抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A＝“出现的点数为奇数”，B＝“出现的点数不大于3”，事件C＝“出现点数为3的倍数”，则下列说法正确的是（ ）
A．A与B互为对立事件B．P（A∪B）＝P（A）+P（B）
C．D．P（A）＝P（C）
6．（5分）一道试题，A，B，C三人可解出的概率分别为，则三人独立解答，仅有1人解出的概率为（ ）
A．B．C．D．1
7．（5分）下列说法不正确的是（ ）
A．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是
B．用抽签法从含有20个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则个体甲和乙被抽到的概率均为0.2
C．一组数据4，3，2，6，5，8的60%分位数为6
D．若样本数据x1，x2…x10的平均数为2，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…2x10﹣1的平均数为3
8．（5分）如图，在三棱柱ABC﹣A'B'C'中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB'C'F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1：V2为（ ）
A．3：2B．7：5C．8：5D．9：5
二、多项选择题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得满分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的项得0分。）
（多选）9．（5分）下列是基本事实的是（ ）
A．过三个点有且只有一个平面
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
（多选）10．（5分）已知函数，，则（ ）
A．f（x）与g（x）的图象有相同的对称中心
B．f（x）与g（x）的图象关于x轴对称
C．f（x）与g（x）的图象关于y轴对称
D．f（x）≥g（x）的解集为
（多选）11．（5分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P为△ABC内的一点，设，则下列说法正确的是（ ）
A．若P为△ABC的重心，则2x+y＝1
B．若P为△ABC的外心，则
C．若P为△ABC的垂心，则
D．若P为△ABC的内心，则
（多选）12．（5分）在菱形ABCD中，AB＝1，∠ABC＝120°，将△ABD沿对角线BD折起，使点A至点P（P在平面ABCD外）的位置，则（ ）
A．在折叠过程中，总有BD⊥PC
B．存在点P，使得PC＝2
C．当PC＝1时，三棱锥P﹣BCD的外接球的表面积为
D．当三棱锥P﹣BCD的体积最大时，
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）已知虚数z，其实部为1，且，则实数m为 ．
14．（5分）为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生30人，女生20人．按照分层抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：男生答对题目的平均数为10，方差为1；女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为 ．
15．（5分）已知锐角△ABC中，，则的取值范围 ．
16．（5分）设x，y∈R，满足，则x+y＝ ．
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．（10分）某地教育研究中心为了调查该地师生对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法，对该市区部分师生进行调查，先将调查结果统计如下：
（1）请将表格补充完整，若该地区共有教师30000人，以频率为概率，试估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数；
（2）按照分层抽样从“反对”的人中先抽取6人，再从中随机选出3人进行深入调研，求深入调研中恰有1名学生的概率．
18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若a＝2，，求△ABC周长．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，CD＝4，PA＝AB＝BC＝AD＝2，Q为棱PC上的一点，且PQ＝PC．
（Ⅰ）证明：平面QBD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线QD与平面PBC所成角的正弦值．
20．（12分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如表：
投资股市：
购买基金：
（1）当时，求q的值；
（2）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围．
21．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，A1A＝A1B1＝2，侧棱A1A⊥平面ABC，点D是棱CC1的中点．
（1）证明：BB1⊥平面AB1C；
（2）求平面BCD与平面ABD的夹角的余弦值．
22．（12分）已知函数f（x）＝（csx+sinx）（csx﹣sinx）﹣2asinx﹣2a的最大值为．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若向量，满足||＝|4f（x）|，||＝a，•＝|2f（x）+1|，设，的夹角为θ，求csθ的取值范围．
2024-2025学年陕西省西安工业大学附中高二（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
1．（5分）集合，则∁A（A∩B）＝（ ）
A．{1，4，9}B．{3，4，9}C．{1，2，3}D．{2，3，5}
【分析】由集合B的定义求出B，结合交集与补集运算即可求解．
【解答】解：因为，所以B＝{1，4，9，16，25，81}，
则A∩B＝{1，4，9}，∁A（A∩B）＝{2，3，5}．
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．
2．（5分）已知函数为f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0]B．[﹣1，0]C．[﹣1，1]D．[0，+∞）
【分析】利用函数的单调性，列出不等式组，转化求解即可．
【解答】解：函数为f（x）＝在R上单调递增，
可知：，
可得a∈[﹣1，0]．
故选：B．
【点评】本题考查分段函数的单调性的应用，考查计算能力，是中档题．
3．（5分）若向量，则在上的投影向量的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
【解答】解：，
则在上的投影向量为．
故选：B．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
4．（5分）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．1﹣
【分析】先求出tanα，再结合正切的两角和公式，即可求解．
【解答】解：，
则，所以，
故．
故选：B．
【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
5．（5分）某人抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A＝“出现的点数为奇数”，B＝“出现的点数不大于3”，事件C＝“出现点数为3的倍数”，则下列说法正确的是（ ）
A．A与B互为对立事件B．P（A∪B）＝P（A）+P（B）
C．D．P（A）＝P（C）
【分析】根据题意，列举所有基本事件，根据对立事件的定义可判定A，由古典概型概率公式，即可结合选项逐一求解BCD．
【解答】解：根据题意，抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数构成的样本空间为{（1），（2），（3），（4），（5），（6）}，
则A＝{（1），（3），（5）}，B＝{（1），（2），（3）}，C＝{（6），（3）}，
依次分析选项：
对于A，事件A，B可同时发生，故不是对立事件，A错误，
对于B，A∪B＝{（1），（2），（3），（5）}，，故B错误，
对于C，，C正确，
对于D，，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查对立事件、互斥事件的判断，涉及古典概型的计算，属于基础题．
6．（5分）一道试题，A，B，C三人可解出的概率分别为，则三人独立解答，仅有1人解出的概率为（ ）
A．B．C．D．1
【分析】根据题意，只有一人解出的试题的事件包含A解出而其余两人没有解出，B解出而其余两人没有解出，C解出而其余两人没有解出，三个互斥的事件，而三人解出答案是相互独立的，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，只有一人解出的试题的事件
包含A解出而其余两人没有解出，B解出而其余两人没有解出，C解出而其余两人没有解出，三个互斥的事件，而三人解出答案是相互独立的，
则P（只有一人解出试题）＝×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×＝，
故选：B．
【点评】本题考查相互独立事件的概率的乘法公式，注意先按互斥事件分类，再按相互独立事件的概率乘法公式进行计算．
7．（5分）下列说法不正确的是（ ）
A．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是
B．用抽签法从含有20个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则个体甲和乙被抽到的概率均为0.2
C．一组数据4，3，2，6，5，8的60%分位数为6
D．若样本数据x1，x2…x10的平均数为2，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…2x10﹣1的平均数为3
【分析】根据平均数的定义即可判断A，D；根据随机抽样的性质即可判断B；根据百分位数的求解公式即可判断C．
【解答】解：A：11个数据的平均数为，故A正确；
B：根据随机抽样的性质可得个体甲和乙被抽到的概率为，故B正确；
C：该组数据从小到大排列为：2，3，4，5，6，8，因为60%×6＝3.6，所以第60%分位数为5，故C错误；
D：由题意可得x1+...+x10＝2×10＝20，则2x1﹣1，…，2x10﹣1的平均数为＝3，故D正确．
故选：C．
【点评】本题考查了平均数的求解，涉及到百分位数以及随机抽样的性质，属于中档题．
8．（5分）如图，在三棱柱ABC﹣A'B'C'中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB'C'F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1：V2为（ ）
A．3：2B．7：5C．8：5D．9：5
【分析】由已知中平面EB'C'F将三棱柱分成一个棱台（体积为V1）和一个不规则几何体，（体积为V2），我们根据棱柱体积公式，和棱台的体积公式，结合组合体的体积求法，分别计算出V1，V2的表达式，即可得到答案．
【解答】解：设S△AEF＝x，则
S△ABC＝S△A1B1C1＝4x，
S▱EFBC＝3x
V1：V2＝（4x+2x+x）：4x﹣[（4x+2x+x）]＝7：5
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积，棱台的体积，组合体的体积，其中分析出面EB'C'F将三棱柱分成一个棱台（体积为V1）和一个不规则几何体，（体积为V2），是解答本题的关键．
二、多项选择题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得满分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的项得0分。）
（多选）9．（5分）下列是基本事实的是（ ）
A．过三个点有且只有一个平面
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
【分析】根据基本事实判断即可．
【解答】解：对于A，基本事实1是过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，故A错误；
对于B，“平行于同一条直线的两条直线平行”是基本事实4，故B正确；
对于C，“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”是基本事实2，故C正确；
对于D，“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”是基本事实3，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查平面的基本性质等基础知识，考查推理论证能力，是基础题．
（多选）10．（5分）已知函数，，则（ ）
A．f（x）与g（x）的图象有相同的对称中心
B．f（x）与g（x）的图象关于x轴对称
C．f（x）与g（x）的图象关于y轴对称
D．f（x）≥g（x）的解集为
【分析】分别求出f（x），g（x）的对称中心的坐标，判断出A的真假；将g（x）整理可得与f（x）关于x轴对称，判断出B，C的真假，
【解答】解：令，得，所以f（x）图象的对称中心为（k1∈Z）；
令2x+，得，所以g（x）图象的对称中心为，
所以f（x）与g（x）的图象有相同的对称中心，故A正确；
，所以f（x）与g（x）的图象关于x轴对称，故B正确；
g（x）≠f（﹣x），故C不正确；
由f（x）≥g（x），
即f（x）≥﹣f（x），
即f（x）≥0，即，
所以∈Z，
解得，即不等式的解集为[+kπ，+kπ]，k∈Z，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查三角函数的性质的应用，三角不等式 解集的求法，属于中档题．
（多选）11．（5分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P为△ABC内的一点，设，则下列说法正确的是（ ）
A．若P为△ABC的重心，则2x+y＝1
B．若P为△ABC的外心，则
C．若P为△ABC的垂心，则
D．若P为△ABC的内心，则
【分析】对于ACD：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用展开计算即可．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P为△ABC内的一点，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则A（0，4），B（﹣3，0），C（3，0），
对于选项A：若P为△ABC的重心，
则，，
则，
所以，
若，
由平面向量基本定理可得：，
解得，
所以2x+y＝1，
即选项A正确；
对于选项B：若P为△ABC的外心，其必在直线AO上，
所以，
即选项B错误；
对于选项C：若P为△ABC的垂心，其必在AO上，
设P（0，m），
则，
解得，
此时，
若，
由平面向量基本定理可得：，
解得，
所以，
即选项C正确；
对于选项D：若P为△ABC的内心，
设内切圆半径为r，
则，
得，
则，
此时，
若，
由平面向量基本定理可得：，
解得，
所以，
即选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量基本定理，属中档题．
（多选）12．（5分）在菱形ABCD中，AB＝1，∠ABC＝120°，将△ABD沿对角线BD折起，使点A至点P（P在平面ABCD外）的位置，则（ ）
A．在折叠过程中，总有BD⊥PC
B．存在点P，使得PC＝2
C．当PC＝1时，三棱锥P﹣BCD的外接球的表面积为
D．当三棱锥P﹣BCD的体积最大时，
【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A，由题可得PC的取值范围可判断B，利用正方体的性质可判断C，利用三棱锥的体积的公式结合条件可求PC判断D．
【解答】解：如图所示，取PC的中点E，连接BE，DE，则BE⊥PC，DE⊥PC，
因为BE∩DE＝E，BD，DE⊂平面BDE，
所以PC⊥平面BDE，又BD⊂平面BDE，
所以BD⊥PC，A项正确；
在菱形ABCD中，AB＝1，∠ABC＝120°，所以，
当△ABD沿对角线BD折起时，，所以不存在点P，使得PC＝2，B项错误；
当PC＝1时，将正四面体补成正方体，根据正方体的性质可知，
三棱锥P﹣BCD的外接球就是该正方体的外接球，
因为正方体的各面的对角线长为1．
所以正方体的棱长为，
设外接球的半径为R，则，
所以三棱锥P﹣BCD的外接球的表面积，C项正确；
当三棱锥P﹣BCD的体积最大时，平面PBD⊥平面BCD，
取BD的中点O，连接PO，OC，
易知PO⊥平面BCD，则PO⊥OC，
又，
所以，D项错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查锥体体积的计算，球与多面体的切接问题，立体几何中的翻折问题等知识，属于中等题．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）已知虚数z，其实部为1，且，则实数m为 2 ．
【分析】根据已知条件，结合复数的概念，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：虚数z，其实部为1，
则可设z＝1+bi（b≠0），
所以，因为m∈R，
所以，解得b＝±1，
所以．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查复数的概念，以及复数的四则运算，属于基础题．
14．（5分）为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生30人，女生20人．按照分层抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：男生答对题目的平均数为10，方差为1；女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为 6.8 ．
【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，平均数、方差的公式，即可求解．
【解答】解：该班男生30人，女生20人，
则男生占，女生占，
按照分层抽样的方法从该班共抽取10人，
则男生占6人，女生占4人，
男生答对题目的平均数为10，女生答对题目的平均数为15，
则10人答对题目的平均数为：，
故这10人答对题目的方差为：．
故答案为：6.8．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义，平均数、方差的公式，属于基础题．
15．（5分）已知锐角△ABC中，，则的取值范围 （1，） ．
【分析】利用正弦定理化，再利用三角恒等变换与三角形内角和定理得出A、B和C的关系，求出A、B的取值范围，再利用正弦定理和三角恒等变换即可求得的取值范围．
【解答】解：锐角△ABC中，＝2csC，
由正弦定理得sin2A﹣sin2B＝2sinC2csC＝sin2CsinC，
又因为sin2A﹣sin2B＝sin2A﹣sin2Asin2B﹣sin2B+sin2Asin2B
＝sin2A（1﹣sin2B）﹣sin2B（1﹣sin2A）
＝sin2Acs2B﹣sin2Bcs2A
＝（sinAcsB+csAsinB）（sinAcsB﹣csAsinB）
＝sin（A+B）sin（A﹣B）
＝sinCsin（A﹣B），
所以sin（A﹣B）＝sin2C，
当A﹣B＝2C时，因为A+B+C＝π，所以2A＝π+C，
因为△ABC是锐角三角形，所以A＜，2A＜π，
所以A﹣B＝2C不成立；
当2C+A﹣B＝π时，因为A+B+C＝π，所以C＝2B，
因为△ABC是锐角三角形，所以C＝2B＜，B+C＝3B＞，
所以＜B＜，所以C＝2B∈（，），
所以A∈（，），
由正弦定理得，＝•
＝•
＝•
＝•
＝•
＝•
＝（3﹣tan2B），
又因为tanB∈（，1），所以tan2B∈（，1），
所以3﹣tan2B∈（2，），
所以的取值范围是（1，）．
故答案为：（1，）．
【点评】本题考查了正弦定理以及三角恒等变换与三角形内角和的应用问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是难题．
16．（5分）设x，y∈R，满足，则x+y＝ 2 ．
【分析】由已知构造函数f（t）＝t5+2t+sint，利用函数的奇偶性与单调性即可求得x+y的值．
【解答】解：由，
得，
构造函数f（t）＝t5+2t+sint，该函数为奇函数，
且f′（t）＝5t4+2+cst＞0，则该函数为R上的增函数，
由f（x﹣1）＝1＝﹣（﹣1）＝﹣f（y﹣1）＝f（1﹣y），
可得x﹣1＝1﹣y，得x+y＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数的性质，构造函数是关键，是中档题．
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．（10分）某地教育研究中心为了调查该地师生对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法，对该市区部分师生进行调查，先将调查结果统计如下：
（1）请将表格补充完整，若该地区共有教师30000人，以频率为概率，试估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数；
（2）按照分层抽样从“反对”的人中先抽取6人，再从中随机选出3人进行深入调研，求深入调研中恰有1名学生的概率．
【分析】（1）表格补充完整，由此可以估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数．
（2）由分层抽样可知，所抽取的6人中的2名学生记为a，b，4名教师记为1，2，3，4，随机选出3人进行深入调研，利用列举法能求出深入调研中至少有1名学生的概率．
【解答】解：（1）表格补充如下：
故可以估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数为；
（2）由分层抽样可知，所抽取的6人中的2名学生记为a，b，
4名教师记为1，2，3，4，
随机选出3人进行深入调研，不同选法有：
（a，b，1），（a，b，2），（a，b，3），（a，b，4），（a，1，2），（a，1，3），（a，1，4），（a，2，3），（a，2，4），（a，3，4），
（b，1，2），（b，1，3），（b，1，4），（b，2，3），（b，2，4），（b，3，4），（1，2，3），（1，2，4），（1，3，4），（2，3，4），共20种，
恰有1名学生的选法有：
（a，1，2），（a，1，3），（a，1，4），（a，2，3），（a，2，4），（a，3，4），（b，1，2），（b，1，3），
（b，1，4），（b，2，3），（b，2，4），（b，3，4），共12种，
故深入调研中恰有1名学生的概率．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若a＝2，，求△ABC周长．
【分析】（1）由辅助角公式及角A的范围，可得角A的大小；
（2）由正弦定理可得csB的值，再由角B的范围，可得角B的大小，进而可得角C的大小，再由正弦定理可得b，c的值，进而求出△ABC的周长．
【解答】解：（1）因为，
所以2sin（A+）＝2，即sin（A+）＝1，
由A为三角形内角，得A+＝，
即A＝；
（2）因为，
，由正弦定理可得：，
可得，
又因为B∈（0，π），所以，，
在△ABC中，由正弦定理得，
所以，，
所以△ABC的周长为．
综上，△ABC的周长为．
【点评】本题考查正弦定理的应用，辅助角公式的应用，属于中档题．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，CD＝4，PA＝AB＝BC＝AD＝2，Q为棱PC上的一点，且PQ＝PC．
（Ⅰ）证明：平面QBD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线QD与平面PBC所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）连结AC，BD，交于点O，推导出QO∥PA，QO⊥平面ABCD，由此能证明平面QBD⊥平面ABCD．
（Ⅱ）过D作平面PBC的垂线，垂足为H，则∠DQH即为直线QD与平面PBC所成角，设为θ，设DH＝h，由VQ﹣BCD＝VD﹣BCQ，求出h＝，由此能求出直线QD与平面PBC所成角的正弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）连结AC，BD，交于点O，
则由△ABO∽△CDO，得AO＝，
∵PQ＝，∴QO∥PA，
∵PA⊥平面ABCD，∴QO⊥平面ABCD，
又QO⊂平面QBD，∴平面QBD⊥平面ABCD．
解：（Ⅱ）过D作平面PBC的垂线，垂足为H，
则∠DQH即为直线QD与平面PBC所成角，设为θ，
设DH＝h，∵VQ﹣BCD＝VD﹣BCQ，
∴，
即，
解得h＝，
∵QD2＝QO2+OD2•QD＝，
∴直线QD与平面PBC所成角的正弦值sinθ＝＝．
【点评】本题考查面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
20．（12分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如表：
投资股市：
购买基金：
（1）当时，求q的值；
（2）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围．
【分析】（1）由已知得p++q＝1，又因为p＝，由此能求出q＝．
（2）由他们中至少有一人获利的概率大于，求出p＞，由p++q＝1，q≥0，求出p≤，能求出p的取值范围．
【解答】解：（1）∵购买基金后，投资结果只有获利、不赔不赚、亏损三种，且三种投资结果相互独立，
∴p++q＝1，又因为p＝，所以q＝．
（2）解：记事件A为一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利，它的对立事件为都没盈利，
则p（A）＝1﹣（1﹣）（1﹣p）＞，∴p＞，
又∵p++q＝1，q≥0，∴p≤，
∴＜p≤．
【点评】本题考查概率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率公式的应用．
21．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，A1A＝A1B1＝2，侧棱A1A⊥平面ABC，点D是棱CC1的中点．
（1）证明：BB1⊥平面AB1C；
（2）求平面BCD与平面ABD的夹角的余弦值．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得AB1⊥BB1，根据线面垂直的性质定理以及判定定理，可得AC⊥BB1，再结合线面垂直判定定理，可得答案；
（2）建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，根据面面角与法向量夹角的关系，可得答案．
【解答】证明：（1）在平面ABB1A1内，过B1作B1E⊥AB，且B1E∩AB＝E，
则B1E＝AA1＝2，A1B1＝AE＝2，在△ABB1中，B1E＝AE＝BE＝2，B1E⊥AB，易知∠AB1B＝90°，即AB1⊥BB1，
∵AA1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AA1⊥AC，
∵AC⊥AB，且AA1∩AB＝A，AB，AA1⊂平面ABB1A1，∴AC⊥平面ABB1A1，
∵BB1⊂平面ABB1A1，∴AC⊥BB1，∵AC∩AB1＝A，AC，AB1⊂平面ACB1，
∴BB1⊥平面ACB1；
解：（2）以点A为原点，分别以AB，AC，AA1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（4，0，0），C（0，4，0），C1（0，2，2），由点D为CC1的中点，则D（0，3，1），
在平面BCD中，取，设该平面的法向量，
则，即，令x1＝1，解得y1＝1，z1＝1，
故平面BCD的一个法向量＝（1，1，1），
在平面ABD中，取，设该平面的法向量＝（x2，y2，z2），
则，即，今y2＝1，解得x2＝0，z2＝﹣3，
故平面ABD的一个法向量＝（0，1，﹣3），
则，由图得二面角为锐角，
故平面BCD与平面ABD的夹角的余弦值为．
【点评】本题考查了线面垂直的证明和二面角的计算，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝（csx+sinx）（csx﹣sinx）﹣2asinx﹣2a的最大值为．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若向量，满足||＝|4f（x）|，||＝a，•＝|2f（x）+1|，设，的夹角为θ，求csθ的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由三角恒等变换化简后结合二次函数的性质分类讨论求出f（x）的最大值，建立方程，求解即可；
（Ⅱ）由向量夹角的公式，结合f（x）的取值范围即可求得．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝（csx+sinx）（csx﹣sinx）﹣2asinx﹣2a
＝cs2x﹣sin2x﹣2asinx﹣2a＝﹣2sin2x﹣2asinx﹣2a+1＝，
令t＝sinx，t∈[﹣1，1]，则，
当，即a＞2时，，无解，
当，即﹣2≤a≤2时，，
解得a＝1或a＝3，因为﹣2≤a≤2，所以a＝1，
当，即a＜﹣2时，，解得（舍去），
综上a＝1；
（Ⅱ）由（1）知，，
因为＝，
因为，所以﹣20≤4f（x）≤﹣2，
所以，所以．
所以csθ的取值范围为．
【点评】本题考查平面向量的数量积与三角恒等变换，二次函数的最值，属于中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/26 18:41:29；用户：陈超；邮箱：13488358862；学号：39511961赞成
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