2022北京西城外国语学校高二（上）期中数学试卷（教师版）

这是一份2022北京西城外国语学校高二（上）期中数学试卷（教师版），共17页。试卷主要包含了 选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
班级___________学号___________姓名___________成绩___________
本试卷共4页，考试时长120分钟，满分150分.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.
一、 选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）
1. 已知点，直线的斜率为2，则a的值为（ ）
A. B. 7C. D. 5
2. 圆的方程为，则圆心坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 如果向量，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知点，，则线段AB的垂直平分线方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在正方体中，对角线与平面所成角的正弦值为
A. B.
C. D.
6. 已知直线和直线互相平行，则a的值是（ ）
A. 0B. 2C. D.
7. 已知圆与圆的位置关系是（ ）
A. 内切B. 外切C. 相交D. 相离
8. “”是“直线与直线垂直”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要
9. 已知直线和圆交于两点，则（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别为棱的中点，G为面对角线上的一个动点，则下列选项中不正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 线段上存在点G，使平面EFG
C. 线段上存在点G，使平面平面
D. 设直线FG与平面所成角为，则的最大值为
二、 填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）
11. 以点，为直径的两个端点的圆的标准方程是___．
12. 已知平面的一个法向量，点在平面内，若点在平面内，则___________
13. 已知点，，则过点Q且与OP（O是坐标原点）平行的直线方程是______．
14. 已知点(x，y)在直线2x＋y＋5＝0上运动，则的最小值是________.
15. 在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”，有下列命题，其中为真命题的是___________.（填序号）
①若，则；
②到原点的“折线距离”不大于的点构成的区域面积为；
③原点与直线上任意一点M之间的折线距离的最小值为；
④原点与圆上任意一点M之间的折线距离的最大值为.
三、解答题（本大题共6小题，共85分）
16. 已知三角形的顶点为.
（1）求边上的中线所在直线方程.
（2）求边上的高线所在直线方程.
17. 已知圆点
（1）试判断点P与圆C的位置关系，并说明理由：
（2）若过点P的直线l与圆C相切，求直线l的方程.
18. 如图，在直三棱柱中，，，，，点是的中点．
（1）求异面直线与所成的角；
（2）求证：平面．
19. 已知圆C的圆心在直线上，且与y轴相切于点
（1）求圆C的方程：
（2）若圆C与直线交于A，B两点，，求m的值
20. 已知平面上的直线，且l与x轴和y轴分别相交于点.
（1）当时，求面积的最小值.
（2）若的面积为，求k的值.
21. 在三棱柱中，，平面平面，平面平面.
（1）证明：平面；
（2）在①；②与平面所成的角为；③异面直线与所成角的余弦值为这三个条件中任选两个，求二面角的余弦值.
参考答案
一、 选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）
1. 【答案】D
【分析】利用两点的斜率公式即可求解
【详解】因为点，直线的斜率为2，
所以，解得，
故选：D
2. 【答案】D
【分析】根据圆的一般方程可求出结果.
【详解】由可知，，
所以，，
所以圆心为.
故选：D.
3. 【答案】D
【分析】利用向量求模的坐标公式即可求解
【详解】由可得，
所以，
故选：D
4. 【答案】B
【分析】应用两点式求线段AB的斜率，进而可得垂直平分线的斜率，结合中点坐标及点斜式写出垂直平分线方程.
【详解】由题设，，故线段AB的垂直平分线的斜率为2，又中点为，
所以线段AB的垂直平分线方程为，整理得：.
故选：B
5. 【答案】D
【分析】连接，可得为与平面所成角，在中，即可求解.
【详解】连接，则为与平面所成角，
设正方体的边长为，则
在中，
故选：D
【点睛】本题考查了线面角，解题的关键是作出线面角，属于基础题.
6. 【答案】B
【分析】由两直线平行直接列方程求解即可.
【详解】由题意可知，
因为直线和直线互相平行，
所以，解得，
故选：B
7. 【答案】C
【分析】求出两圆圆心坐标与半径，再求出圆心距与半径之和比较，即可判断
【详解】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
又，即，
所以两圆相交，
故选：C
8. 【答案】A
【详解】(1)a=1时，直线x+y+1=0的斜率为−1，3x−3y−2=0的斜率为1；∴这两直线垂直；
(2)若直线ax+y+1=0与(a+2)x−3y−2=0垂直,则：；∴解得a=1，或−3；
∴“直线与直线垂直”不一定得到“”；
∴综上得“a=1“是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x−3y−2=0垂直”的充分不必要条件．
故选:A.
9. 【答案】C
【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，利用可求得结果.
【详解】由圆的方程可知其圆心，半径，
圆心到直线距离，.
故选：C.
10. 【答案】C
【分析】对于A选项，利用等体积法判断；对于B、C、D三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解
【详解】对于A，易得平面平面，所以到平面的距离为定值，又为定值，所以三棱锥即三棱锥的体积为定值，故A正确．
对于B,如图所示,以为坐标原点, 为轴, 为轴, 为轴, 建立空间直角坐标系,则，,，，，
所以，，，，
设（），则，
所以，，
若平面，所以即，
解得，
所以当为线段上靠近的四等分点时，平面，故B正确；
对于C，设平面的法向量，
则，取，则，则，
设平面的法向量,
则，取,则，则,
若平面平面，则，
设,即,解得，，不合题意，
线段上不存在点,使平面/平面，故C错误；
对于D，平面的法向量为，则，
因为，
所以，
所以的最大值为，故D正确
故选：C
二、 填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）
11. 【答案】.
【分析】求出中点坐标为圆心，求出线段长的一半即为半径，进而可得圆的方程.
【详解】由点，可得中点坐标为，
，
所以所求圆的圆心坐标为，半径为，
所以所求圆的标准方程为：，
故答案为：.
12. 【答案】
【分析】利用向量垂直列方程，化简求得
【详解】根据题意可得，
因为平面的一个法向量，
所以，解得，
故答案为：
13. 【答案】
【分析】先求得OP的直线斜率，根据斜率及点，求得直线方程.
【详解】由题知，，则与OP平行的直线斜率为，
又改直线过点，则直线方程为
故答案为：
14. 【答案】
【分析】x2+y2的最小值可看成直线2x+y+5＝0上的点与原点连线长度的平方最小值，由点到直线的距离公式可得．
【详解】x2+y2的最小值可看成直线2x+y+5＝0上的点与原点连线长度的平方最小值，
即为原点到该直线的距离平方d2，
可看成直线2x+y+5＝0上的点与原点连线的长度，由点到直线的距离公式易得d．
∴的最小值为，
故答案为.
【点睛】本题考查点到直线的距离公式，转化是解决问题的关键，属基础题．
15. 【答案】①③④
【分析】根据定义直接计算①，设点到原点的“折线距离”不大于，即可得到，画出图象，求出面积即可判断②，设即可表示再根据分段函数的性质计算可得③，依题意设，则，再利用点到直线的距离求出的范围，即可判断④；
【详解】解：对于①若则，故①正确；
对于②，设点到原点的“折线距离”不大于，则，即，则点在下图所示的平面区域内，则所围成的区域的面积为，故②错误；
对于③，设，则，函数图象如下所示：则，故③正确；
对于④，因为圆表示以为圆心，为半径的圆，
设，则，令，则
所以，解得，即，故④正确；
故答案为：①③④
三、解答题（本大题共6小题，共85分）
16. 【答案】（1）；
（2）
【分析】（1）求得BC的中点坐标，结合A点坐标，求得中线方程；
（2）求得BC的斜率，从而求得其上的高的斜率，且过，求得高的方程
【小问1详解】
BC的中点坐标为，
故中线的斜率，
则边BC上的中线所在直线的方程为即；
【小问2详解】
边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过，
则边BC上的高所在直线的方程为即
17. 【答案】（1）点在圆外，理由见解析；
（2）或
【分析】（1）根据可得结果；
（2）分类讨论斜率是否存在，利用圆心到直线的距离等于其半径求出切线方程
【小问1详解】
点在圆外,理由如下：
由已知得圆的圆心为，半径，
因为，所以
因为，所以点在圆外；
【小问2详解】
①当直线的斜率不存在，方程为，圆心到直线的距离为2，
所以直线是圆的切线；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由题意有，解得，
所以直线的方程为，即，
综上所述，过点与圆相切的直线方程为或
18. 【答案】（1）（2）证明见解析
【分析】
（1）因为，，，利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，．因为三棱柱为直三棱柱，可得平面，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出．
（2）建立空间直角坐标系，利用直线方向向量、平面的法向量关系即可得出．
【详解】解：（1）因为，，，
所以，所以是直角三角形，
所以，所以
因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，
所以，
以为原点，分别以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，4，，，0，
所以直线的方向向量为，直线的方向向量为，
设异面直线与所成的角为，
因为，
所以，
所以异面直线与所成的角为．
（2）由（1）可知，，4，，则，
设平面的法向量为，则，所以
令，则，，所以
直线的方向向量为，
因为，平面， 所以平面．
【点睛】本题考查了空间位置关系、线面面面平行与垂直的判定性质定理、三角形中位线定理、法向量的应用、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19. 【答案】（1）；
（2）
【分析】（1）设圆心坐标为，半径为r，依题意可得，，即可求出圆的半径，从而求出圆的标准方程；
（2）根据垂径定理分析得圆心到直线的距离为1，结合点到直线的距离公式运算求解
【小问1详解】
设圆心坐标为，半径为r，由圆C的圆心在直线上，知：，
又∵圆C与y轴相切于点，∴，，则，
∴圆C的圆心坐标为，则圆C的标准方程为；
【小问2详解】
因为圆C与直线交于A，B两点，，
所以圆心C到直线的距离，
则，解得
20. 【答案】（1）4； （2）或或
【分析】（1）求出点，的坐标，利用表示的面积为，利用基本不等式求最值，
（2）由（1）可得的面积并化简，即可得到关于的方程，分和即可求解
【小问1详解】
直线：，
令可得；令，可得，
所以，，
因为，
所以的面积，
当且仅当即时等号成立，的最小值为，
【小问2详解】
由（1）可得的面积，
所以，整理可得，
易得，当时，方程可转化得，解得或；
当时，方程可转化得，解得，
综上所述，或或
21. 【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.
【分析】(1)利用面面垂直的性质证得和即可得证；
(2)选择条件①②或①③，结合已知求出AA1，选择条件②③，探求出AB，AC，AA1的关系，无论选择哪两个条件都以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即得.
【详解】（1）证明：因为，平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以，同理：，
又因为，所以平面；
（2）选择①②：
由（1）知，平面，所以三棱柱是直三棱柱.
因为，，所以.
在直三棱柱中，平面，BA1是BC1在平面内射影，
所以为与平面所成的角，即，
在中，，，，
在中，，则，
以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，
所以，，，.
设平面的法向量为，
由得，令得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
由得，令得平面的一个法向量为.
所以，所以二面角的余弦值；
选择①③：
因为，，所以，由（1）知，平面，故，
在三棱柱中，，则异面直线与所成角为，
所以，
在中，因为，，，，所则；
以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，
所以，，，.
设平面的法向量为，
由得，令得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
由得，令得平面的一个法向量为.
所以，所以二面角的余弦值；
选择②③；
由（1）知，平面，所以三棱柱是直三棱柱，平面，BA1是BC1在平面内射影，
所以为与平面所成的角，即，
又，则异面直线与所成角为，所以，
在中，设，则，所以，
在中，因为，，所以，，
以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，
所以，，，.
设平面的法向量为，
由得，令得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
由得，令得平面的一个法向量为.
所以，所以二面角的余弦值.
【点睛】方法点睛：直线垂直平面的证明方法：(1)直线与平面的垂直判定定理；(2)平面与平面垂直的性质定理；(3)两条平行直线中一条直线垂直一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.