云南省大理市大理白族自治州民族中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题

这是一份云南省大理市大理白族自治州民族中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．集合的另一种表示法是（ ）
A．B．C．D．
4．设集合，，，则集合的真子集的个数为（ ）
A．3B．4C．15D．16
5．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知实数，满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．下列命题中，正确的是（ ）
A．的最小值是4B．的最小值是2
C．如果，，那么D．如果，那么
8．设，，，则，，的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则B．若，则
C．若，则D．若且，则
10．已知关于的不等式的解集是，则（ ）
A．B．
C．D．不等式的解集是
11．“”的充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合，集合，若，则实数______．
13．已知，，且，则的最小值是______．
14．对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题（本大题共5小题，第15题13分，第16．17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．已知集合，，求：
（1），；
（2），
16．（1）解不等式；
（2）解不等式．
17．已知集合，集合．
（1）当时，求和；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18．设函数．
（1）若不等式的解集为，求，的值；
（2）当时，，，，求的最小值．
19．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48平方米，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
答案和解析
1．【答案】B
【解析】【分析】
本题考查元素与集合的关系及特殊集合的表示方法，利用和的定义，逐一分析求解即可．
【解答】
解：对于①，为实数，而表示实数集，所以，即①正确；
对于②，2为整数，而表示整数集合，所以，即②正确；
对于③，为正自然数，而表示正自然数集，所以，所以③错误；
对于④，因为为无理数，表示有理数集，所以，即④错误．故选B．
2．【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查存在量词命题的否定，属于基础题．
根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得到结论．
【解答】
解：命题：，的否定是：，．故选D．
3．【答案】D
【解析】【分析】
本题考查集合的表示方法，属于基础题．
集合是用描述法来表示的，用另一种方法来表示就是用列举法，看出描述法所表示的数字在集合中列举出元素．
【解答】
解：集合是用描述法来表示的，
用另一种方法来表示就是用列举法，
即
故选D．
4．【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了集合中元素的性质以及集合的真子集个数的问题，属于一般题．
结合集合中元素的性质以及集合的真子集个数的求法进行求解即可．
【解答】
解：由题意可知，集合，集合中有4个元素，
则集合的真子集有个，
故选C．
5．【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由，得或，
则“”是“”的充分不必要条件，故选A．
6．【答案】B
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质，属于基础题．
由，，可得的取值范围．
【解答】解：，，
，．
故选B．
7．【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式、不等式的性质，属于中档题．
根据基本不等式和不等式性质对选项逐一判断即可．
【解答】解：对于A，当时，，故A不正确；
对于B，，最小值不为2，故B不正确；
对于C，，，那么，或，故C不正确；
对于，，，故D正确．故选D．
8．【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用作差法比较大小，属于一般题．
对，作差可求出，再对，作差可求出，即可得出答案．
【解答】
解：，
因为，，
而，所以，所以，
，
而，，，
而，所以，
综上，．
故选：D．
9．【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查比较大小，属于基础题．
利用赋值法及不等式的性质逐项判断即可．
【解答】解：A．若且，当，时，则，故A错误；
B．，
，，，，
即，故B正确；
C．若，则，则，
当时，，所以，故C正确；
D．若且，因为，所以，必为一正一负；
又因为，所以，，
当时，；当时，则，故D错误．
故选BC．
10．【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，属于中档题．
由二次不等式的解集可得二次方程的解，且，进而判断A，B，C的真假，D中两边除以，整理可得不等式，进而求出解集，判断D的真假
【解答】
解：由不等式的解集可得，且二次方程的根为1，3，故A正确；
所以，，即，，
故，即，故B正确；
因为，由，，可得，，
因为，所以，
即，故C错误；
所以不等式整理可得，
即，解得或，
所以不等式的解集，故D正确．故选：ABD．
11．【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查不等式的解法、充要条件的判定方法，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
由，解出不等式，根据充分但不必要的条件即可得出结论．
【解答】
解：由，得，
所以“”“”是“”的充分不必要条件，
“”是“”的充分必要条件．
“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：AB．
12．【答案】1
【解析】【分析】
本题考查元素的互异性及集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题．
根据题意，若，必有，而不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．
【解答】
解：由，，．解得．
验证可得符合集合元素的互异性，
此时，，满足题意．
故答案为：1．
13．【答案】18
【解析】【分析】
本题考查基本不等式的应用，属于基础题．
直接利用基本不等式即可求解．
【解答】
解：因为，所以，
当且仅当时取等号，则的最小值是18．
故答案为18．
14．【答案】
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式恒成立问题，属于基础题．
首先讨论，然后时，将一元二次不等式恒成立问题进行等价转换即可得解．
【解答】
解：若，则不等式变为了恒成立，故满足题意：
若，则不等式恒成立等价于，解得；
综上所述：实数的取值范围是．
故答案为：．
15．【答案】解：（1）因为，，
所以，．
（2）由（1）可得，
，
．
【解析】本题考查集合间基本运算，属于基础题．
（1）解出集合，按照集合的运算定义进行运算即可．
（2）按照集合的运算定义进行运算即可．
16．【答案】解：（1），即为，
即，解得或，
故原不等式的解集为；
（2）由，即为，
即为，即，解得．
故原不等式的解集为．
【解析】本题考查了一元二次不等式和分式不等式的解法，属于基础题．
（1）先因式分解即可求出答案，（2）把原不等式化为，解出即可．
17．【答案】解：（1）集合，
整理得：，
集合．
当时，．所以．
（2）若是的必要不充分条件，所以，
当时，，解得．
当时，或，
整理得或．
综上所述：或．
【解析】本题主要考查集合的交、并，补集的混合运算，必要不充分条件，以及利用集合关系求参数范围，属于中档题．
（1）首先求出集合，再求出集合，根据补集和并集的定义即可求出；
（I）由是的必要不充分条件，可得，分和讨论即可得解．
18．【答案】解：（1）由题意知，和3是方程的两根，
所以，，解得，．
（2）由，知，
因为，，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9．
【解析】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，也考查了基本不等式应用问题，属于较易题．
（1）根据一元二次不等式的解集与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出、的值．
（2）由题意，求得，利用基本不等式，即可求出的最小值．
19．【答案】解：设房屋侧面的底面边长为，正面的底面边长为，总造价为元，
因为，所以
，
当且仅当时，上式取等号，
所以当房屋侧面的底面边长为，正面的底面边长为时总造价最低，最低总造价为63400元，
【解析】本题考查了利用基本不等式解决实际问题，确定函数关系式是关键，属于基础题．
设房屋侧面的底面边长为，正面的底面边长为，总造价为元，
由题意可得，利用基本不等式求出最值即可