2023-2024学年山东省聊城市东昌府区等九校联考九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年山东省聊城市东昌府区等九校联考九年级（上）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，那么∠A的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，如果AB＝3，BC＝5，那么DE的长是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后（ ）
A．B．∠B＝∠DC．∠C＝∠AEDD．
4．（3分）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°上，则∠BAC的度数为（ ）
A．55°B．65°C．75°D．130°
5．（3分）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么sinA的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃（ ）
A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块
7．（3分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的坡度为i＝1：2.5，过点B作BC⊥AC，若大厅水平距离AC的长为7.5m，则两层之间的高度BC为（ ）
A．3mB．4mC．5mD．6m
8．（3分）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA：AD＝2：3，则△DEF的周长为（ ）
A．12B．18C．20D．50
9．（3分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，CD＝1，则EB的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．（3分）半径为5的圆内有长为的弦，则此弦所对的圆周角为（ ）
A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或120°
11．（3分）如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，BE＝7，且AB＝CD（ ）
A．2B．C．D．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，0），∠BAO＝60°，把Rt△AOB绕点A按顺时针方向旋转90°后，则Rt△AO'B'的外接圆圆心坐标是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共5个空，每空3分，共15分）
13．（3分）在△ABC中，若|sinB﹣|+ 度．
14．（3分）如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E，若PA＝12 ．
15．（3分）设⊙O的半径为6cm，点P在直线l上，已知OP＝6cm ．
16．（3分）如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，航行12海里到达点C处，测得小岛A在它的北偏东30°方向上 海里．
17．（3分）如图，正方形OA1B1C1的边长为1，以对角线OB1为边作第二个正方形OB1B2C2，再以对角线OB2为边作第三个正方形OB2B3C3，…，则第二个正方形OB1B2C2的面积为 ，第n个正方形OBnBn∁n的面积为 （用含n的代数式表示）．
三、解答题（本题共7小题，共69分）
18．（8分）计算
（1）；
（2）．
19．（9分）如图，AE平分∠BAC，D为AE上一点
（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）若D为AE中点，BE＝4，求CD的长．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）．
（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的位似比为2：1；
（2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2；
（3）判断△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，求AB的长．
22．（10分）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，CD＝1
23．（12分）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（B、F、C在一条直线上）
（1）求教学楼AB的高度；
（2）学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保留整数）．
（参考数据：sin22°≈，cs22°≈，tan22°≈）
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若ED，AB的延长线相交于F，且AE＝5，求⊙O的半径．
2023-2024学年山东省聊城市东昌府区等九校联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本题包括12小题，每小题3分，共36分）
1．【分析】根据sinA＝代入数据直接得出答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，
∴sinA＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
2．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l7，
∴，
∵AB＝3，BC＝5，
∴，
∴DE＝．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
3．【分析】根据∠1＝∠2求出∠BAC＝∠DAE，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠6+∠BAE＝∠2+∠BAE，
即∠BAC＝∠DAE，
A．∵＝，
∴＝，符合相似三角形的判定定理，故本选项不符合题意；
B．∠BAC＝∠DAE，符合相似三角形的判定定理，故本选项不符合题意；
C．∠BAC＝∠DAE，即符合相似三角形的判定定理，故本选项不符合题意；
D．＝，∠BAC＝∠DAE，不能推出△ABC∽△ADE；
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．
4．【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出∠BAC的度数．
【解答】解：∵∠BOC＝130°，点A在上，
∴∠BAC＝∠BOC＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
5．【分析】如图，取格点E．连接BE，CE．构造直角三角形求出AC，EC即可解决问题．
【解答】解：如图，取格点E，CE．
在Rt△ACE中，∵∠AEC＝90°＝5，
∴sinA＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．
【解答】解：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，就交于了圆心．
故选：B．
【点评】解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
7．【分析】根据坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比计算即可．
【解答】解：∵自动扶梯AB的坡度为i＝1：2.5，
∴BC：AC＝1：2.2，
∵AC＝7.5m，
∴BC＝4m，
故选：A．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
8．【分析】先根据位似的性质得到△ABC与△DEF的位似比为OA：AD，再利用比例性质得到OA：OD＝2：5，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，
∴，
且△ABC∽△DEF，
∵OA：AD＝2：3，
∴＝＝，
又△ABC∽△DEF，
∴C△ABC：C△DEF＝AC：DF＝2：7，
∵△ABC的周长为8，
∴△DEF的周长为20．
故选：C．
【点评】本题考查了位似变换，解题关键是掌握位似变换的相关性质，运用比例解题．
9．【分析】由题意可知，OC垂直平分AB，AE是⊙O的直径，易得CO是△ABE的中位线得到EB＝2OC，在Rt△ACO中，设OA＝x，则OC＝x﹣1，依据勾股定理求解即可．
【解答】解：由题意可知，OC垂直平分AB，
∴CO是△ABE的中位线，
∴EB＝2OC，
在Rt△ACO中，设OA＝x，
∵AO2＝OC8+AC2，
∴x2＝（x﹣8）2+25，
解得：，
即，，
∴EB＝2OC＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是证明CO是△ABE的中位线．
10．【分析】根据题意画出相应的图形，由OD⊥AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，由AB的长求出AD与BD的长，且得出OD为角平分线，在Rt△AOD中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出∠AOD的度数，进而确定出∠AOB的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，即可求出弦AB所对圆周角的度数．
【解答】解：如图所示，
∵OD⊥AB，
∴D为AB的中点，即AD＝BD＝，
在Rt△AOD中，OA＝5，
∴sin∠AOD＝＝，
又∵∠AOD为锐角，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠ACB＝∠AOB＝60°，
又∵圆内接四边形AEBC对角互补，
∴∠AEB＝120°，
则此弦所对的圆周角为60°或120°．
故选：C．
【点评】此题考查了垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，以及锐角三角函数定义，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
11．【分析】过O作ON⊥CD于N，OM⊥AB于M，连接OC、OB，根据垂径定理求出CN＝DN，AM＝BM＝5，求出CN＝DN＝BM＝AM＝5，求出四边形ONEM是正方形，根据正方形的性质得出ON＝OM＝EM＝5﹣3＝2即可．
【解答】解：∵AE＝3，BE＝7，
∴CD＝AB＝5+7＝10，
过O作ON⊥CD于N，OM⊥AB于M，OB，
∵ON⊥CD，OM⊥AB，
∴AM＝BM＝5，CN＝DN＝6，
∵ON2＝OC2﹣CN3，OM2＝OB2﹣BM7，OC＝OB，
∴ON＝OM，
∵CD⊥AB，ON⊥CD，
∴∠ONE＝∠NEM＝∠OME＝90°，
∴四边形ONEM是正方形，
∴NE＝EM＝ON＝OM＝AM﹣AE＝5﹣3＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理和正方形的性质和判定等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
12．【分析】先根据点A的坐标求出OA，根据直角三角形的性质得到OB，再根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得O′B′＝OB，AO′＝AO，再根据旋转角是90°可得O′B′∥x轴，然后求出结论．
【解答】解：∵A（1，0），
∴OA＝2，
∵∠AOB＝90°，∠BAO＝60°，
∴OB＝，
∵Rt△AO′B′是由Rt△AOB绕点A按顺时针方向旋转90度后得到，
∴O′B′＝OB＝，AO′＝AO＝7，
∵旋转角是90°，
∴O′A⊥x轴，
∴O′B′∥x轴，
∵Rt△AO'B'的外接圆的圆心坐标是AB′的中点，
∴Rt△AO'B'的外接圆的圆心坐标是（1+，）．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形外接圆和外心，坐标与图形的性质﹣旋转，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．
二、填空题（本题共5个空，每空3分，共15分）
13．【分析】根据非负数的性质得到sinB＝，tanA＝，再根据特殊角的三角函数值求出∠B与∠A的度数，根据三角形的内角和定理即可求出∠C的度数．
【解答】解：∵|sinB﹣|+，
∴sinB＝，tanA＝，
∴∠B＝30°，∠A＝60°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°．
故答案为90．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质、三角形的内角和定理，是一道小型综合题．
14．【分析】由PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，得PA＝PB＝12；因为过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E，所以DC＝DA，EC＝EB，所以PD+DE+PE＝PA+PB，即可求出△PDE的周长，得出问题的答案．
【解答】解：∵PA、PB分别和⊙O相切于点A、B．
∴PA＝PB＝12，
∵过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E，
∴DC＝DA，EC＝EB，
∴PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝12+12＝24，
∴△PDE的周长为24，
故答案为：24．
【点评】此题重点考查切长定理，根据题中所给的条件及切线长定理将△PDE的周长转化为PA与PB的和是解题的关键．
15．【分析】由条件可知点P在⊙O上，则可知直线l与⊙O相切，可求得答案．
【解答】解：∵r＝6cm，OP＝6cm，
∴r＝OP，
∵点P在直线l上，OP＝6cm，
∴点O到直线l的距离≤6cm，
∴直线l与⊙O相切或相交，
故答案为：相切或相交．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，由条件判断出点P在圆上是解题的关键．
16．【分析】过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，由三角形的外角性质得∠BAC＝∠ABC，再由等腰三角形的判定得AC＝BC，锐角由锐角三角函数定义求出AE的长即可．
【解答】解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，
由题意得：BC＝12海里，∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC＝12海里，
在Rt△ACE中，sin∠ACE＝，
∴AE＝AC•sin∠ACE＝12×＝2，
即小岛A到航线BC的距离是6海里，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17．【分析】根据已知求出前4个正方形的面积，然后根据前四个值总结出一般性规律，写出代数式即可．
【解答】解：∵正方形OA1B1C7的边长为1，
则OB1的长为，
∴正方形OA1B1C5的面积为1＝26，
第二个正方形OB1B2C2的面积为2＝26，
第三个正方形OB2B3C3的面积为4＝28，
第四个正方形OB3B4C6的面积为8＝28，
……
第n个正方形OBn﹣1Bn∁n的面积为2n﹣6．
故答案为：2，2n﹣5．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答本题的关键是计算前几个正方形的面积，总结规律，然后得出一般性结论．
三、解答题（本题共7小题，共69分）
18．【分析】（1）根据殊角的三角函数值、负指数幂、化简二次根式和绝对值的运算法则计算后，再进行实数的加减即可得解；
（2）根据殊角的三角函数值、零指数幂、化简二次根式的运算法则计算后，再进行实数的加减即可得解．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝．
【点评】本题考查了含有特殊角的三角函数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是关键．
19．【分析】（1）根据角平分线定义可得∠BAE＝∠CAD，进而可以证明结论；
（2）结合（1），根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵∠B＝∠C．
∴△ABE∽△ACD；
（2）解：∵D为AE中点，BE＝4，
∴AE＝2AD，
∵△ABE∽△ACD，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，得出△ACD∽△ABC是解题的关键．
20．【分析】（1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
（3）根据位似中心的性质可得答案．
【解答】解：（1）如图，△OA1B1即为所作图形；
（2）如图，△O3A2B2即为所作图形；
（3）△OA2B1和△OA2B2是位似图形，点M为所求位似中心，2）．
【点评】本题主要考查了作图﹣位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键．
21．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据∠A＝30°，tanB＝，AC＝6可求出AD与BD的长度．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．
∵在Rt△CDA中，∠A＝30°，
∴CD＝AC•sin30°＝3，AD＝AC×cs30°＝8，
在Rt△CDB中，
∵tanB＝
∴＝
∴BD＝4，
∴AB＝AD+DB＝9+4．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
22．【分析】延长AD、BC交于E，根据正切、正弦的概念分别求出BE、CE，计算即可．
【解答】解：延长AD、BC交于E，
∵∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠ADC＝90°，∠E＝30°，
在Rt△ABE中，BE＝，
在Rt△CDE中，CE＝，
∴BC＝BE﹣CE＝2﹣2．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
23．【分析】（1）首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°＝，求出即可；
（2）利用Rt△AME中，cs22°＝，求出AE即可．
【解答】解：（1）过点E作EM⊥AB，垂足为M．
设AB为x m．
Rt△ABF中，∠AFB＝45°，
∴BF＝AB＝x m，
∴BC＝BF+FC＝（x+13）m，
在Rt△AEM中，∠AEM＝22°，
AM＝AB﹣BM＝AB﹣CE＝（x﹣2）m，
tan22°＝，
则≈，
解得：x≈12．
即教学楼的高约为12m．
（2）由（1）可得ME＝BC＝x+13＝12+13＝25（m）．
在Rt△AME中，cs22°＝．
∴AE＝（m），
即A、E之间的距离约为27m．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22°＝是解题关键．
24．【分析】（1）判断出OD∥AE，即可得出结论；
（2）先利用勾股定理求出AF，进而利用相似三角形的性质建立方程即可求出圆O的半径，即可得出结论．
【解答】证明：（1）如图，∵DE⊥AC，
∴∠AEF＝90°，
连接OD，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC＝∠DAB，
∴∠DAE＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODF＝∠AEF＝90°，
∴OD⊥EF，
∵OD为半径，
∴ED是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△AEF中，根据勾股定理得，，
设⊙O的半径为r，
∴OD＝r，OF＝13﹣r，
由（1）知，OD∥AE，
∴△OFD∽△AFE，
∴，
∴，
∴．
【点评】此题主要考查了切线的判定和性质，角平分线的意义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，判断出OD∥AE是解本题的关键．