江西省智学联盟体2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试卷

这是一份江西省智学联盟体2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1.已知全集，集合，，则阴影部分表示的集合为（ ）
A.B.C.D.
2.若复数，则（ ）
A.1B.C.D.
3.若函数的图像关于轴对称，则（ ）
A.B.0C.D.1
4.已知双曲线方程为，，是双曲线的两个焦点，点是双曲线上任意一点，若点关于的对称点为点，点关于的对称点为点，线段的长度是8，则双曲线的离心率是（ ）
A.B.2C.D.4
5.已知，则（ ）
A.B.C.D.
6.设，，，是同一个球面上四点，球的半径为4，是面积为的等边三角形，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A.B.C.D.
7.函数的部分图象如图所示，若图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图像，若是奇函数，则图中的值为（ ）
A.B.C.D.
8.命题“，使（且）成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、有选错得0分）
9.某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则（ ）
A.众数是22
B.前4个数据的方差比最后4个数据的方差大
C.平均数是30
D.80百分位数是28
10.欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被畄为“数学中的天桥”（为自然对数的底数，为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（ ）
A.复数为纯虚数
B.复数对应的点位于第二象限
C.复数的共轭复数为
D.复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆
11.若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”.已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，且，，则
C.若中各项均为正数，则
D.若，，则
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.设向量，的夹角的余弦值为，且，，则______.
13.设为等差数列的前项和，若，，则的最小值为______.
14.四棱锥的底面为平行四边形，点、、分别在侧棱、、上，且满足，，.若平面与侧棱交于点，则______.
四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）如图，在四边形中，，，，.
（1）求；
（2）求.
16.（本小题满分15分）函数.
（1）在处的切线与直线平行，求实数的值.
（2）证明：对于，，恒成立.
17.（本小题满分15分）如图，三棱锥中，，，，，，，为的中点.
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18.（本小题满分17分）已知点是抛物线：上的一点.
（1）若点横坐标为4，求抛物线在点处的切线方程；
（2）过点作圆：的两条切线交抛物线的准线于、两点.
①若，求点纵坐标；
②求面积的最小值.
19.（本小题满分17分）如图，已知点列与满足，且，其中，
（1）求；
（2）求与的关系式；
（3）证明：
江西智学联盟体2024-2025学年高三9月质量检测
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.【答案】A
【解析】由题知图中阴影部分表示的集合为，
又，得，
又，则，
所以.
故选：A
2.【答案】C
【解析】由.故选：C
3.【答案】B
【解析】由定义知为奇函数，
图像关于轴对称，则为偶函数，故为奇函数，所以.故选：B.
4.【答案】B
【解析】依题意可得、分别为、的中点，所以，所以半焦距，所以，所以离心率.
5.【答案】D
【解析】，，，
即，.
故选：D.
6.【答案】B
【解析】设三角形的边长为，已知的面积为
此时外接圆的半径为，又求半径，故球心到面的距离为，故点到面的最大距离为，此时，故选B.
7.【答案】A
【解析】由得，的图象上的所有点向左平移个单位长度后得为奇函数，所以图象关于原点对称，得函数的图象过点，所以，所以，故，又，得，所以，，故选：A.
8.【答案】B
【解析】依题意“，都有成立”为真命题.
显然.
如图，由于与的图像关于对称.
问题可转化为.
两边取以为底的对数，.
.
令，.
令，当，，
当，，
.
.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.【答案】AC
【解析】22出现的次数最多，众数是22，所以A对；
80百分位数是，所以B错；
计算易知平均数30，C对；
前4个数据的平均数是25，方差为，
后4个数据的平均数是25，方差为，故D错.
10.【答案】ABD
【解析】对于A，，所以为纯虚数，故A正确；
对于B，，因为，所以，，所以复数对应的点位于第二象限，故B正确；
对于C，，复数的共轭复数为，故C错误；
对于D，，，复数在复平面内对应的点的轨迹是半径为1的半圆，故D正确.故本题选：ABD.
11.【答案】BCD
【解析】依题意可得为等差数列
由，可得，，，所以A错误；
由，且，，可得，，，，，所以B正确；
由为等差数列，可得，，所以C正确；
由，，可求得，令为数列的前项和，可求得.
令，，求导可证恒成立，即在时恒成立，恒成立，，，
，所以D正确.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.【答案】18
【解析】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，所以，
所以.
故答案为：18.
13.【答案】
【解析】设等差数列的公差为，，，
，，
联立解得：，，所以，
则，
令，
时，，单调递增，时，，单调递减，
可得时，函数取得极小值即最小值，
时，取得最小值，.
故答案为：.
14.【答案】
【解析】法1：设与的交点为，则为、的中点，所以.
设，
、、、四点共面，，，
法2：设，点到平面的距离为，四棱锥的体积为
同理可得
，.
四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
【答案】（1）（2）
【解析】（1）中，；
（2），
所以，
所以
16.（本小题满分15分）
【解析】解：（1）.
由题意：
.
（2）
，
，，.
在.
.
，
.
在..得证.
17.（本小题满分15分）
【解析】（1）证明：，，，
在中，，
，又为中点，
，，，
取的中点，则，
，
又，，平面，
（2）空间向量法（传统方法按步骤酌情给分）
取的中点，，
如图，以为原点，、分别为轴，轴，建立空间直角坐标系.
，
，，，，
，，，
设平面的法向量为，则
令，则，，则，
同理可求平面的法向量为，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18.（本小题满分17分）
解（1）的横坐标为4，
又，求得.
抛物线在处的切线斜率为2.
切线方程为，
即.
（2）设与圆相切于点，与圆相切于点.
与圆相切于点，由切线长相等可得：
，，.
周长为.
.
设，由题意设.（在轴左侧时，由对称轴可知纵坐标轴，面积相同）.
.
①由，则
或（舍）
②
令，则
.
当且仅当，即时，面积最小值为.
19.（本小题满分17分）
解：（1）因为，
所以，得，所以.
（2）由，
①，
又，则②，
将①代入②得
.
（3）下面证明，
当时，
，
因为，
所以
，
.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
B
B
A
D
B
题号
9
10
11
答案
AC
ABD
BCD