河北省邯郸市武安市第一中学2024-2025学年高二上学期9月考试数学试卷

这是一份河北省邯郸市武安市第一中学2024-2025学年高二上学期9月考试数学试卷，共10页。

时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.直线的倾斜角是（ ）
A.B.C.D.
2.若点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
3.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
4.已知，是圆（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ）
A.B.C.D.
5.圆与圆的位置关系是（ ）
A.内切B.外切C.相交D.外离
6.已知，，且，则（ ）
A.，B.，
C.，D.，
7.在长方体中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点到截面的距离为（ ）
A.B.C.D.
8.设椭圆的左右焦点为，，右顶点为，已知点在椭圆上，若，，则椭圆的离心率为（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分）
9.（多选）若椭圆的离心率为，则实数的取值可能是（ ）
A.10B.8C.5D.4
10.（多选）已知椭圆上有一点，，分别为其左、右焦点，，的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A.的周长为
B.角的最大值为
C.若，则相应的点共有2个
D.若是钝角三角形，则的取值范围是
11.（多选）已知点在直线上，点在圆上，则下列说法正确的是（ ）
A.点到的最大距离为8
B.若被圆所截得的弦长最大，则
C.若为圆的切线，则的取值为0或
D.若点也在圆上，则点到的距离的最大值为3
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.过点，且到点的距离为5的直线方程为________.
13.若正四棱柱的底面边长为2，高为4，则异面直线与所成角的余弦值是________.
13.已知，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为_____.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（满分13分）
已知直线；，设直线，的交点为.
（1）求的坐标
（2）若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
16.（满分15分）
已知圆的圆心在直线上，且圆过，两点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点作圆的切线，求切线的方程.
17.（满分15分）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
18.（满分17分）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，，经过这三个点的圆记为.
（1）求边的中线所在直线的一般式方程；
（2）求圆的方程.
19.（满分17分）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求点到平面的距离.
武安一中2024-2025学年第一学期9月考试
高二 数学答案
1.[答案]D 2.A 3.[答案]D 4.[解析]由题意得，，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，，动点的轨迹方程为，故选D.
5.[解析]由，得，所以圆的圆心为，半径.由，得，所以圆的圆心为，半径.所以，所以两圆内切，故选A.[答案]A
6.[解析]，，
，则存在非零实数，使得，， [答案]B
7.[解析]建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，，.设平面的法向量，
则即令，得所以到平面的距离为.[答案]C
8答案D
9.AC 当焦点在轴上时，由，得；当焦点在轴上时，由，得.
10.[解析]由已知可得，，所以，的周长为，故A正确；因为，所以以为直径的圆与椭圆相切于上下顶点，所以，故B正确；因为，所以，由椭圆的对称性可知，点共有4个，故C错误；因为为钝角三角形，所以中有一个角大于，由B知不可能为钝角，所以或为钝角，当时，最大，将代入，得，此时的面积，所以的面积，故D正确.[答案]ABD
11.[解析]由题意可知，直线过定点，圆的圆心为原点，半径为3，设圆心到直线的距离为.当时，；当与直线不垂直时，总有.综上，，所以点到的最大距离为，故A正确.若被圆所截得的弦长最大，则直线过圆心，可得，所以，故B正确.若为圆的切线，则，解得，故C错误.若也在圆上，则直线与圆相切或相交，当直线与圆相切时，点到的距离取最大值3，故D正确.[答案]ABD
12.[解析]当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则其方程为，即，由点到直线的距离公式得，解得，此时直线方程为.当直线的斜率不存在时，也满足条件.综上可知所求直线方程为或.
[答案]或
13[解析]如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.因为正四棱柱的底面边长为2，高为4，所以，，，，，，设异面直线与所成角为，则.所以异面直线与所成角的余弦值为.故答案为.且
15.解：（1）联立方程解得.
（2）直线在两坐标轴上的截距相等，直线的斜率为-1或经过原点，
当直线过原点时，直线过点，的方程为；
当直线斜率为-1时，直线过点，的方程为，
综上，直线的方程为或.
16题 第一问6分，第二问9分
解：（1），线段的中垂线斜率为-1.
又线段的中点为，线段的中垂线方程为，即，
由可得即，半径为，
圆的标准方程为.
（2）由题知，切线的斜率存在，设切线的斜率为，
则，即.
，解得，.
的方程为或.
17.[解]（1）证明：连接，.因为，分别为，的中点，所以，且.又为的中点，所以.
由题设知，可得，故，因此四边形为平行四边形，.
又平面，所以平面.
（2）由已知可得.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，，
，，.
设为平面的法向量，
则，所以，
取，则为平面的一个法向量.
设为平面的法向量，
则，所以，取，则为平面的一个法向量.
于是，
所以二面角的正弦值为.
18.[解]（1）解法一：由，，知的中点的坐标为.
又，所以直线的方程为，即中线所在直线的一般式方程为.
解法二：由题意，得，
则是等腰三角形，所以.因为直线的斜率，
所以直线的斜率，由直线的点斜式方程，
得，所以直线的一般式方程为.
（2）设圆的方程为.
将，，三点的坐标分别代入方程，
得解得
所以圆的方程是.
19.[解]（1）证明：在中，，为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.
（2）因为是边长为1的等边三角形，为的中点，所以，以为原点，平面内过点且垂直于的直线为轴，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设，
因为点在棱上，，所以，则.
设平面的法向量，则有
令，得，又平面的一个法向量为，二面角的大小为，所以，得，
则，.设平面的法向量，
则 令，得，所以点到平面的距离.