2024年北京市第一零一中学九上数学开学经典试题【含答案】

这是一份2024年北京市第一零一中学九上数学开学经典试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，一象限B．第二，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,其图像如图所示,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售时的收入是( )
A．310元B．300元C．290元D．280元
2、（4分）正比例函数y= -2x的图象经过（ ）
A．第三、一象限B．第二、四象限C．第二、一象限D．第三、四象限
3、（4分）在平面直角坐标系中，A，B，C，D，M，N的位置如图所示，若点M的坐标为，N的坐标为，则在第二象限内的点是( )
A．A点B．B点C．C点D．D
4、（4分）不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（ ）
A．4B．6C．8D．10
7、（4分）如图，把一个边长为1的正方形放在数轴E,以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A,则点A对应的数为( ).
A．2B．1.4C．3D．1.7
8、（4分）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，作BF⊥AM于点F，连接BE. 若AF=1，四边形ABED的面积为6，则BF的长为（ ）
A．2B．3C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）函数y=kx+b的图象平行于直线y=-2x，且与y轴交于点（0，3），则k=______，b=____.
10、（4分）若，，则的值是__________.
11、（4分）如图，在△ABC中，∠CAB=70º，在同一平面内，将△ABC绕点逆时针旋转50º到△的位置，则∠= _________度.
12、（4分）如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是_____．
13、（4分）在直角坐标系中，直线与y轴交于点，按如图方式作正方形、、…，、、…在直线上，点、、…，在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为、、、..，则的值为________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）解不等式：
15、（8分）完成下列各题
（1）计算：
（2）解方程：
16、（8分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家快递公司每月的投递总件数的增长率相同，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为30万件和36.3万件，求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率．
17、（10分）平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与直线y＝x交于点A（m，1）．与y轴交于点B
（1）求m的值和点B的坐标；
（2）若点C在y轴上，且△ABC的面积是1，请直接写出点C的坐标．
18、（10分）如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M在y轴上运动．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）动点M在y轴上运动，使MA+MB的值最小，求点M的坐标；
（3）在y轴的负半轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，已知中，边上的高，则的面积是______，边上的高的长是______．
20、（4分）如图，在矩形中，分别是边和的中点，，则的长为__________．
21、（4分）比较大小：_______2（填“＞”或“＜”）．
22、（4分） “同位角相等”的逆命题是__________________________．
23、（4分）如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，当AB:AD=___________时，四边形MENF是正方形．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE= 时，四边形BFCE是菱形．
25、（10分）在中，，以斜边为底边向外作等腰，连接．
（1）如图1，若．①求证：分；
②若，求的长．
（2）如图2，若，求的长．
26、（12分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，求证：AF=CE．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
试题分析：观察图象，我们可知当销售量为1万时，月收入是800，当销售量为2万时，月收入是11，所以每销售1万，可多得11-800=500，即可得到结果．
由图象可知，当销售量为1万时，月收入是800，当销售量为2万时，月收入是11，
所以每销售1万，可多得11-800=500，因此营销人员没有销售业绩时收入是800-500=1．
故选B．
考点：本题考查的是一次函数的应用
点评：本题需仔细观察图象，从中找寻信息，并加以分析，从而解决问题．
2、B
【解析】
根据正比例函数的图象和性质，k>0，图象过第一，三象限，k<0，图象过第二，四象限，即可判断．
【详解】
∵正比例函数y= -2x，k<0，所以图象过第二，四象限，
故选:B．
考查了正比例函数的图象和性质，理解和掌握正比例函数的图象和性质是解题关键，注意系数的正负号决定了图象过的象限．
3、D
【解析】
根据点的坐标特征，可得答案．
【详解】
MN所在的直线是x轴，MN的垂直平分线是y轴，A在x轴的上方，y轴的左边，A点在第二象限内．
故选A．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
4、C
【解析】
试题分析：移项得，，两边同时除以2得，．故选C．
考点：解一元一次不等式．
5、B
【解析】
由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.
故选B.
6、B
【解析】
平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．
【详解】
解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．
∵OD⊥BC，BC⊥AB，
∴OD∥AB，
又∵OC＝OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝AB＝3，
∴DE＝2OD＝1．
故选：B．
此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确理解DE最小的条件是关键．
7、B
【解析】
根据勾股定理求出OA的长，根据实数与数轴的知识解答．
【详解】
解：
则点A对应的数是:1.4
故选：B
本题考查的是勾股定理的应用，掌握任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
8、B
【解析】
先证明ΔABF≌ΔDAE得到BF=AE，设BF=x，则AE=x，DE=AF=1，利用四边形ABED的面积=得，解之即可求得BF的长.
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=AD，∠BAD=90º，
∴∠DAE+∠BAF=90º，
∵BF⊥AM，DE⊥AM，
∴∠AFB=∠DEA=90º，
∴∠ABF+∠BAF=90º，
∴∠ABF=∠DAE，
在ΔABF和ΔDAE中
∴ΔABF≌ΔDAE(AAS)，
∴BF=AE，DE=AF=1
设BF=x，则AF=x，
由四边形ABED的面积为6得：
，即，
解得：（舍去），
∴BF=3，
故选：B.
本题主要考查正方形的性质、三角形面积公式以及全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的知识是解答的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、 -2 3
【解析】试题解析：∵y=kx+b的图象平行于直线y=−2x，
∴k=−2，
则直线y=kx+b的解析式为y=−2x+b，
将点(0,3)代入得：b=3，
故答案为：−2，3.
10、2
【解析】
提取公因式因式分解后整体代入即可求解．
【详解】
.
故答案为：2.
此题考查因式分解的应用，解题关键在于分解因式.
11、10
【解析】
根据旋转的性质找到对应点、对应角进行解答．
【详解】
∵△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△AB′C′，
∴∠BAB′=50°，
又∵∠BAC=70°，
∴∠CAB′=∠BAC-∠BAB′=1°．
故答案是：1．
本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点--旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
12、
【解析】
把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和点B间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于棱长，另一条直角边长等于两条棱长，利用勾股定理可求得．
【详解】
解：∵展开后由勾股定理得：AB2＝12+(1+1)2＝5，
∴AB＝．
故答案为
本题考查了平面展开﹣最短路径问题，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
13、
【解析】
根据=，=，找出规律从而得解.
【详解】
解：
∵直线，当x=0时，y=1，当y=0时，x=﹣1，
∴OA1=1，OD=1，
∴∠ODA1=45°，
∴∠A2A1B1=45°，
∴A2B1=A1B1=1，
∴=，
∵A2B1=A1B1=1，
∴A2C1=2=，
∴=，
同理得：A3C2=4=，…，=，
∴=，
故答案为．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、.
【解析】
根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得.
【详解】
，
，
，
．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.
15、（1）2；（2），
【解析】
（1）先化简二次根式，再用二次根式乘法运算，最后合并同类项；
（2）用因式分解法解一元二次方程．
【详解】
（1）
（2）
解得：，．
本题考查了二次根式的混合运算，及一元二次方程的解法，熟知以上运算法则是解题的关键．
16、投递快递总件数的月平均增长率是10%.
【解析】
设投递快递总件数的月平均增长率是x，依题意得：30(1+x)2=36.3，解方程可得.
【详解】
解：设投递快递总件数的月平均增长率是x，
依题意,得：30(1+x)2=36.3
则1+x=±1.1
解得：x1=0.1=10%,x2=−2.1(舍)，
答：投递快递总件数的月平均增长率是10%.
考核知识点：一元二次方程的应用.理解增长率是关键.
17、（1）m=2，B（0，2）；（2）C（0，-1）或（0，-3）.
【解析】
（1）依据一次函数图象上点的坐标特征，即可得到m的值和点B的坐标；
（2）依据点C在y轴上，且△ABC的面积是1，即可得到BC=1，进而得出点C的坐标．
【详解】
（1）∵直线y＝x+b与直线y＝x交于点A（m，1），
∴m＝1，
∴m=2，
∴A（2，1），
代入y=x+b，可得×2+b＝1，
∴b=-2，
∴B（0，-2）．
（2）点C（0，-1）或C（0，-3）．理由：
∵△ABC的面积是1，点C在y轴上，
∴|BC|×2=1，
∴|BC｜=1，
又∵B（0，-2），
∴C（0，-1）或C（0，-3）．
本题考查一次函数的交点问题以及三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
18、（1）y=-x+6；（2）M（0，）；（3）（0，-2）或（0，-6）.
【解析】
（1）设AB的函数解析式为：y=kx+b，把A、B两点的坐标代入解方程组即可.
（2）作点B关于y轴的对称点B′，则B′点的坐标为（-6，0），连接AB′则AB′为MA+MB的最小值，根据A、B′两点坐标可知直线AB′的解析式，即可求出M点坐标，（3）分别考虑∠MAB为直角时直线MA的解析式，∠ABM′为直角时直线BM′的解析式，求出M点坐标即可，
【详解】
（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+b,则 解方程组得
直线AB的函数解析式为y= -x+6，
（2）如图作点B关于y轴的对称点B′，则点B′的坐标为（-6，0），连接AB′则AB′为MA+MB的最小值，设直线AB′的解析式为y=mx+n，则 ，
解方程组得
所以直线AB′的解析式为，
当x=0时，y=，
所以M点的坐标为（0，），
（3）有符合条件的点M，理由如下：
如图：因为△ABM是以AB为直角边的直角三角形，
当∠MAB=90°时，直线MA垂直直线AB，
∵直线AB的解析式为y=-x+6，
∴设MA的解析式为y=x+b，
∵点A（4，2），
∴2=4+b,
∴b=-2，
当∠ABM′=90°时，BM′垂直AB，
设BM′的解析式为y=x+n,
∵点B（6，0）
∴6+n=0
∴n=-6,
即有满足条件的点M为（0，-2）或（0，-6）.
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数关系式为：y=kx+b（k≠0），要有两组对应量确定解析式，即得到k，b的二元一次方程组．熟练掌握相关知识是解题关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、12， 1.
【解析】
用BC×AE可求平行四边形的面积，再借助面积12=CD×AF可求AF．
【详解】
解：根据平行四边形的面积=底×高，可得
BC×AE=6×2=12；
则CD×AF=12，即4×AF=12，
所以AF=1．
故答案为12，1．
本题主要考查了平行四边形的性质，面积法求解平行四边形的高或某边长是解决此类问题常用的方法．
20、6
【解析】
连接AC，根据三角形中位线性质可知AC=2EF，最后根据矩形对角线相等进一步求解即可.
【详解】
如图所示，连接AC，
∵E、F分别为AD、CD的中点，EF=3，
∴AC=2EF=6，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC=6，
故答案为：6.
本题主要考查了三角形中位线性质与矩形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
21、＜
【解析】
试题解析：

故答案为：
22、如果两个角相等，那么这两个角是同位角．
【解析】
因为“同位角相等”的题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”，
所以命题“同位角相等”的逆命题是“相等的两个角是同位角”．
23、1:1
【解析】
试题分析：当AB：AD＝1：1时，四边形MENF是正方形，
理由是：∵AB：AD＝1：1，AM＝DM，AB＝CD，
∴AB＝AM＝DM＝DC，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴∠ABM＝∠AMB＝∠DMC＝∠DCM＝45°，
∴∠BMC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠MBC＝∠MCB＝45°，
∴BM＝CM，
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴BE＝CF，ME＝MF，NF∥BM，NE∥CM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵ME＝MF，∠BMC＝90°，
∴四边形MENF是正方形，
即当AB：AD＝1：1时，四边形MENF是正方形，
故答案为：1：1．
点睛：本题考查了矩形的性质、正方形的判定、三角形中位线定理等知识，熟练应用正方形的判定方法是解题关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）证明见试题解析；（2）1．
【解析】
试题分析：（1）由AE=DF，∠A=∠D，AB=DC，易证得△AEC≌△DFB，即可得BF=EC，∠ACE=∠DBF，且EC∥BF，即可判定四边形BFCE是平行四边形；
（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，根据菱形的性质即可得到结果．
试题解析：（1）∵AB=DC，∴AC=DB，
在△AEC和△DFB中，∴△AEC≌△DFB（SAS），
∴BF=EC，∠ACE=∠DBF，∴EC∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形；
（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，∵AD=10，DC=3，AB=CD=3，
∴BC=10﹣3﹣3=1，∵∠EBD=60°，∴BE=BC=1，
∴当BE=1时，四边形BFCE是菱形，
故答案为1．
【考点】
平行四边形的判定；菱形的判定．
25、（1）①见详解,②1;（2）-
【解析】
（1）①过点P作PM⊥CA于点M，作PN⊥CB于点N，易证四边形MCNP是矩形，利用已知条件再证明△APM≌△BPN，因为PM＝PN，所以CP平分∠ACB；
②由题意可证四边形MCNP是正方形，
（2）如图，以AC为边作等边△AEC，连接BE，过点E作EF⊥BC于F，由”SAS“可证△ABE≌△APC，可得BE＝CP＝5，由直角三角形的性质和勾股定理可求BC的长．
【详解】
证明：（1）①如图1，过点P作PM⊥CA于点M，作PN⊥CB于点N，
∴∠PMC＝∠PNC＝90°，
∵∠ACB＝90°
∴四边形MCNP是矩形，
∴∠MPN＝90°，
∵PA＝PB，∠APB＝90°，
∴∠MPN−∠APN＝∠APB−∠APN，
∴∠APM＝∠NPB，
∵∠PMA＝∠PNB＝90°，
在△APM和△BPN中，

∴△APM≌△BPN（AAS），
∴PM＝PN，
∴CP平分∠ACB；
②∵四边形MCNP是矩形，且PN＝PM，
∴四边形MCNP是正方形，
∴PN＝CN＝PM＝CM
∴PC＝PN＝6，
∴PN＝6＝CN＝CM＝MP
∴AM＝CM−AC＝1
∵△APM≌△BPN
∴AM＝BN，
∴BC＝CN＋BN＝6＋AM＝6＋1＝1．
（2）如图，以AC为边作等边△AEC，连接BE，过点E作EF⊥BC于F，
∵△AEC是等边三角形
∴AE＝AC＝EC＝5，∠EAC＝∠ACE＝60°，
∵△APB是等腰三角形，且∠APB＝60°
∴△APB是等边三角形，
∴∠PAB＝60°＝∠EAC，AB＝AP，
∴∠EAB＝∠CAP，且AE＝AC，AB＝AP，
∴△ABE≌△APC（SAS）
∴BE＝CP＝5，
∵∠ACE＝60°，∠ACB＝90°，
∴∠ECF＝30°，
∴EF＝EC＝，FC＝EF＝，
∵BF＝，
∴BC＝BF−CF＝-
本题是四边形综合题，考查了矩形判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的难点．
26、见解析
【解析】
根据平行四边形ABCD的对边平行得出AD∥BC，又AE=CF，利用有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证得四边形AECF为平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证得结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AE∥CF，
又∵AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF=CE．
本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人