2024年湖南省初中学业水平考试数学押题卷（三）

这是一份2024年湖南省初中学业水平考试数学押题卷（三），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．中国是最早采用正负数表示相反意义，并进行负数运算的国家．若把气温为零上记作，则表示气温为（ ）
A．零上B．零下C．零上D．零下
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．某校为了解学生的课外阅读情况，随机调查了10名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据结果（见图），根据此图可知这10名学生这一天各自课外阅读所用时间组成样本的众数和中位数分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
5．如图，已知，将一块直角三角板按如图的位置放置，使直角顶点E在直线上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点P，已知点P的横坐标为1，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，，平分交于点E，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．如图，是反比例函数图象上的点，过点作轴于点，连接，则的面积是（ ）
A．4B．6C．8D．16
9．如图是由7个相同的小正方体堆成的几何体，若再添加一些相同的小正方体后．其主视图、左视图的形状保持不变．则最多可添加小正方体的个数为（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
10．将一半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依此规律，第9个图形的小圆个数是( )
A．36B．74C．90D．92
二、填空题
11．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
12．因式分解：2a2﹣16＝ ．
13．如图，中，点D，E，F分别为的中点，若随机向内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为
14．如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以长为半径作圆弧，交于点D；②分别以C、D为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点E；③作射线交于点F，若，则 ．
15．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长六寸．问：径几何？”意思是：如图，为的直径，弦，垂足为寸，寸，则直径的长度为 寸．
16．如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．若两个正方形的边长均为2，则图中阴影部分图形的面积为 ．

17．《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地420km的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行10km，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行x km，则根据题意列出方程 ．
18．如图，在矩形中，是边的中点，F是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是 ．
三、解答题
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中．
21．某校为了解初中学生每天在校体育活动时间（单位：），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图① 和图② ，请根据相关信息，解答下列问题：

(1)本次接受调查的初中学生人数为_________，图① 中m的值为_________
(2)求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数．
(3)根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有2700名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于的学生人数．
22．如图，旗杆上有一面宽为的旗子．在同一水平线上，小明在距旗杆m的点处测得点的仰角为，随后小明沿坡角（）为的斜坡走了m到达点处，测得点的仰角为．
(1)求斜坡的高度的长；
(2)求旗面宽的长度（参考数据：，结果精确到）．
23．五源河学校将在五月份举办一年一度的“学养节”活动，数学组的老师们正在为参加活动的学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔，已知购买1支钢笔和5支自动铅笔共需50元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元．
(1)求该品牌的钢笔、自动铅笔的单价分别是多少元？
(2)如果本次活动需要自动铅笔的个数比钢笔的个数的2倍还多6个，且购买钢笔和自动铅笔的总费用不超过730元，那么最多可购买多少支该品牌的钢笔？
24．如图，在四边形中，与交于点．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，求的长和四边形的面积．
25．如图，已知内接于为直径，过点作交切线于点，连接与交于点．

(1)求证：为的切线；
(2)若，求的半径长；
(3)若，则__________．
26．我们称关于x的二次函数为一次函数和反比例函数的“共同体”函数．一次函数和反比例函数的交点称为二次函数的“共赢点”．
(1)二次函数是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”；
(2)已知二次函数与x轴的交点为M，N，有A，B两个“共赢点”，且，求a的值；
(3)若一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，，其中实数，．令，求L的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，零上为正，则零下为负，进行作答即可．
【详解】解：∵把气温为零上记作，
∴表示气温为零下．
故选：B
2．C
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此即可求解.
【详解】解：A：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B：既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意；
C：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D：不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选： C．
3．A
【分析】此题考查了同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则。积的乘方法则，解题关键是正确掌握运算法则．直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则求出答案即可．
【详解】解：A．，故本选项符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项不符合题意；
D．，故本选项不符合题意．
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了众数、中位数平均数、极差的定义，理解“一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数；将这组数据按从小到大的顺序排列，当数据的个数是奇数时，中间的数为中位数，当数据的个数是偶数时，中间两个数的平均数为中位数．”是解题的关键．
【详解】解：由统计图得
中间两个数是和，
中位数是；
出现次数最多是数据是，
众数是；
故选：B．
5．D
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质和平行线的性质．根据平角的定义得到，再根据平行线的性质得到．
【详解】如图，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：当时，，
所以关于x的不等式的解集为，
故选：A．
7．C
【分析】此题考查了平行四边形的性质，平分线的概念，等角对等角性质，
首先根据角平分线的概念和平行四边形的性质得到，进而得到，然后利用线段的和差求解即可．
【详解】∵平分交于点E，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选C．
8．A
【分析】考查反比例函数的几何意义，即的绝对值，等于的面积的2倍，数形结合比较直观．由反比例函数的几何意义可知，，也就是的面积的2倍是8，求出的面积是4．
【详解】解：设则，，
为反比例函数图象上一点，
，
，
故选：A．
9．C
【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确解答的前提．根据简单组合体三视图的画法画出相应的图形，在俯视图上相应位置备注出相应摆放的数目即可．
【详解】解：如图所示：

要主视图、左视图的形状保持不变．最多可在如俯视图所示位置添加3个小正方体，
故选：C．
10．D
【分析】根据图形的变化寻找规律即可求解．
【详解】观察图形的变化可知：
第1个图形有1×2+2=4个小圆，
第2个图形有2×3+2=8个小圆，
第3个图形有3×4+2=14个小圆，
…，
发现规律：
第n个图形的小圆个数是n(n+1)+2．
所以第9个图形的小圆个数是9×10+2=92．
故选：D．
【点睛】本题考查了规律型−图形的变化，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律并总结规律，会利用找到的规律进行解题．
11．且
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
∴且，
故答案为：且．
12．2（a+22）（a﹣22）
【分析】先提取公因式2，再用平方差公式分解即可.
【详解】解：原式＝2（a2﹣8）＝2 ，
故答案为2.
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
13．/0.25
【分析】本题考查几何概率，三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理，推出阴影三角形的面积是面积的，即可得出结果．
【详解】解：∵点D，E，F分别为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴米粒落在图中阴影部分的概率为；
故答案为：．
14．12
【分析】本题考查了作垂直平分线，勾股定理，根据作图可知：垂直平分，得，再利用勾股定理结合垂直平分线的性质得到的值．
【详解】解：根据作图可知：垂直平分，
在中，，
，
故答案为：．
15．10
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由可求出的长，再设出圆的半径为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，解方程直接可得的值，即为圆的直径．
【详解】解：连接，
∵，且寸，
∴寸，
设圆的半径的长为，则
∵，
∴，
在直角三角形中，根据勾股定理得：，
解得：
∴(寸)，
故答案为：10．
16．1
【分析】本题考查了正方形的性质的应用，全等三角形的证明和图形的分割．要求阴影部分四边形面积，可分割成两个三角形面积之和，设与交于点E，与交于点F，证明，即可将阴影部分面积转化为求的面积，而占正方形面积的，正方形面积根据已知边长可求，由此问题得到解决．
【详解】解：设与交于点E，与交于点F，如图所示，
四边形是正方形，
所以，，．
．
又，
．
．
．
正方形边长为2，
正方形面积，
．
所以阴影部分面积为1．
故答案为1．
17．
【分析】本题考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键．设运输这批公粮原计划每日行，根据“运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站”，列出分式方程，即可求解．
【详解】设运输这批公粮原计划每日行，根据题意得，
，
故答案为：．
18．/
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了动点的轨迹问题，由题意可推出点在以E为圆心为半径的圆上运动，可得当D、、E共线时，的值最小，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴点在以E为圆心为半径的圆上运动，如图所示：
故：当D、、E共线时，的值最小，
∵，
∴，
故答案为：．
19．
【分析】本题考查实数的混合运算，先计算乘方、立方根、零次幂和负整数次幂，再进行加减运算．
【详解】解：
．
20．，3
【分析】本题考查分式的化简求值，分式的加减乘除混合运算，先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
21．(1)40；25
(2)；；
(3)
【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生人数，进而求得的值；
（2）根据统计图中的数据可以求得这组数据的平均数和众数、中位数；
（3）根据统计图中的数据可以求得该校每天在校体育活动时间大于的学生人数．
【详解】（1）解：本次接受调查的初中学生人数为：人，
即，
故答案为：40；25．
（2）解：平均数是
人数最多，故众数是，
根据中位数的求法，最中间两个数是，故中位数是．
（3）解：人，
答：该校每天在校体育活动时间大于的学生有人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．(1)斜坡的高度EF的长为m；
(2)旗面宽AB的长约为m．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用：仰角俯角问题、坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）利用含30°的直角三角形的性质可得米；
（2）过点作，垂足为，得四边形为矩形，从而得，，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】（1）在中，，
，由勾股定理．
斜坡的高度的长为；
（2）过点作，垂足为，
由题意得：，即四边形为矩形，
则，
，
，
，
在中，
，
在中，，
，
（m），
旗面宽的长约为m．
23．(1)该品牌的钢笔每支的定价为25元，自动铅笔每支的定价为5元
(2)该班级最多可购买20支该品牌的钢笔
【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的综合运用，理解题目数量关系，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的运用是解题的关键．
（1）设该品牌的钢笔每支的定价为x元，自动铅笔每支的定价为y元，根据数量关系列式求解即可；
（2）设该班级购买支该品牌的钢笔，则购买支该品牌的自动铅笔，根据数量关系列一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）解：设该品牌的钢笔每支的定价为x元，自动铅笔每支的定价为y元，
依题意，得：，
解得：，
答：该品牌的钢笔每支的定价为25元，自动铅笔每支的定价为5元．
（2）解：设该班级购买支该品牌的钢笔，则购买支该品牌的自动铅笔，
依题意，得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为20，
答：该班级最多可购买20支该品牌的钢笔．
24．(1)见解析
(2)120
【分析】本题考查了菱形的判定与性质：
（1）先由证明四边形是平行四边形，再由一组邻边相等，即可作答．
（2）先得，结合勾股定理，得，根据对角线的乘积的一半即为菱形的面积，即可作答．
【详解】（1）证明：，
四边形是平行四边形．
，
．
，
，
，
四边形是菱形．
（2）解：四边形是菱形，
．
在中，，
，
．
25．(1)见解析；
(2)；
(3)．
【分析】（1）连接，设交于．证明即可得证；
（2）由勾股定理得，进而利用三角函数即可得解；
（3）设，，设．证明，根据相似三角形的性质得出，得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：连接，设交于．
是直径，
，
∵，，
，
，
，，，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
是的切线．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴即
∴，
∴的半径长为；
（3）∵，
设，，设．
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
整理得：，
解得(舍)或，
∵，
∴
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查切线的判定，平行线的性质与判定，正切的定义，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
26．(1)二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，“共赢点”是，
(2)
(3)
【分析】（1）根据“共同体”函数和“共赢点”的定义即可求解；
（2）对于二次函数，令，则，得到交点M，N的横坐标满足，，根据两点间距离公式有．二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，由得，则两个“共赢点”A，B的横坐标满足，，纵坐标满足，，根据两点间距离公式有，由，即可求出a的值；
（3）由，得到，，，，从而，由题意可得，，从而，根据二次函数的增减性并结合，可求出L的取值范围．
【详解】（1）根据题意，二次函数中，，，，
∴二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，
解方程组得，，
经检验，，都是方程组的解，
∴一次函数与反比例函数图象的交点为，，
即二次函数的“共赢点”是，；
（2）∵二次函数与x轴的交点为M，N，
∴令，则，
∴交点M，N的横坐标满足，，
∴，
∵二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，有A，B两个“共赢点”，
∴由得，
∴，
∴A，B两个“共赢点”的横坐标满足，，
纵坐标，，
∴，
，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∵二次函数与x轴有两个交点M，N，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴，，，，
∴，
∵一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，，
∴，是方程，即的两个根，
∴，，
∵
，
∵，
∴，
即．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，两点间距离公式，完全平方公式的应用．熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
B
D
A
C
A
C
D