2024年湖南省长沙市初中学业水平考试押题卷数学试卷（二）

这是一份2024年湖南省长沙市初中学业水平考试押题卷数学试卷（二），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的相反数是（ ）
A．2024B．C．﹣2024D．1
2．观察下列图形，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．某学校九年级20名同学参加了学校举办的“抗击疫情，你我同行”主题宣传进社区活动，以下是参与宣传活动的同学所作宣传活动的场次数，如表所示：
这些参加宣传活动场次数的众数、中位数分别是（ ）
A．5、6B．5、5C．6、5D．6、6
5．如图，用直尺和圆规作，作图痕迹中，弧是（ ）
A．以点C为圆心，为半径的弧B．以点C为圆心，为半径的弧
C．以点G为圆心，为半径的弧D．以点G为圆心，为半径的弧
6．一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式叠合在一起（三角板的直角顶点在直尺的边上），若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
7．一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
9．赵洲桥是我国建筑史上一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和地震却安然无恙．如图，若桥跨度约为40米，主拱高约10米，则桥弧所在圆的半径为（ ）
A．25米B．30米C．35米D．50米
10．小丽在张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得到的和都是，，，中的一个数，并且这个数都能取到．根据以上信息，下列判断错误的是( )
A．最小的数一定是B．最大的数可能是
C．四个数中一定有D．四个数中一定有两个相等的数
二、填空题
11．要使式子有意义，则的取值范围是 ．
12．因式分解： ．
13．已知点关于原点的对称点在第一象限，则a的取值范围是 ．
14．如图，P是等边的边上任意一点，，，点E，F为垂足，则 ．
15．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，交于点，则的长为 ．
16．如图，在直角中，，，将绕点顺时针旋转至的位置，点是的中点，且点在反比例函数的图象上，则的值为 ．

三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值，其中+=0
19．读懂一座城，从博物馆开始．年月日上午，江苏盐城市博物馆正式开馆．盐城市博物馆新馆坐落于先锋岛西侧，整体建筑风格雅致，主馆建筑为传统宝塔造型，又充满中国皇家宫廷风韵．学校数学兴趣小组利用无人机测量该宝塔的高度，无人机的起飞点与宝塔（）相距，无人机垂直升到处测得塔的顶部处的俯角为，测得塔的底部处的俯角为．

(1)求宝塔的高度；
(2)若计算结果与实际高度稍有出入，请你提出一条减少误差的建议．（结果精确到m，参考数据：）
20．芜湖市已建成并开放“芜湖书屋”家，可谓“半城山水，满城书香”．政府着力打造高品质城市阅读空间，努力做到人人享阅读，处处能阅读，时时可阅读，切实提升了城市品位和文化氛围．市区某校九年级二班调查了同学们最喜欢的“芜湖书房”情况，上榜五大书房，分别是、滨江书苑，、悦享书吧，、赤铸书院，、葵月书房，、占川书局，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
(1)该班共有学生______人，请把条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中，______，______，最喜欢滨江书苑所对应的扇形圆心角为______度；
(3)小鹏和小兵均选择了葵月书房，若从选择了葵月书房的学生中随机选取人参加该书房志愿者活动，求恰好是小鹏和小兵当选葵月书房志愿者的概率，并说明理由．
21．如图，是的边上一点，， 交于点，．
（1）求证：≌；
（2）若，，求的长．
22．随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以等为代表的战略性新兴产业，据统计，截止到2022年底广东基站的数量约25万座，计划到2024年底，全省基站数量将达到36万座．
(1)按照计划，求2022年底到2024年底，全省基站数量的年平均增长率；
(2)按照这个年平均增长率，到2025年底，全省基站的数量是多少万座？
23．如图，在中，，分别是，上的动点．
(1)已知，交的一边于点，．
①如图1，若点在上，求证：．
②如图2，若点在上，且，，求的长．
(2)如图3，，点在上，且，若，，求的值．
24．如图，已知半圆的直径为，点在半径上，为的中点，点在上，以、为邻边作矩形，边交于点．
(1)如果，，求边的长；
(2)连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的余切值；
(3)连接并延长，交于点，如果，求的值．
25．中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行龘龘，欣欣家国”为主题，引领全球华人迈向生机盎然、充满希望的甲辰龙年．若抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且恰好是直角三角形，并满足（为坐标原点），则称抛物线是“龘龘欣欣抛物线”，其中较短直角边所在直线为“龘龘线”，较长直角边所在直线为“欣欣线”．
(1)若“龘龘欣欣抛物线”的“龘龘线”为直线，求抛物线解析式；
(2)已知“龘龘欣欣拋物线”与轴的一个交点为，其“欣欣线”与反比例函数的图象仅有一个交点，求反比例函数解析式；
(3)已知“龘龘欣欣抛物线”的“龘龘线”“欣欣线”及轴围成的三角形面积的取值范围是，令，且有最大值，求的值．
参加宣传活动场次
4
5
6
7
8
人数
2
6
5
4
3
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的概念解题．
【详解】解；的相反数是，
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了中心对称图形的概念：图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
根据中心对称图形的概念“中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合”判断即可．
【详解】解：选项A、B、D的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
选项C的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意．
故选：C．
3．B
【分析】此题主要考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法分别计算，进而得出答案．
【详解】解：A、，错误，此选项不符合题意；
B、，正确，此选项符合题意；
C、，错误，此选项不符合题意；
D、，错误，此选项不符合题意；
故选∶B．
4．A
【分析】本题考查了众数和中位数，熟记定义是解题关键．根据众数的定义（众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据）和中位数的定义（将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数）即可得．
【详解】解：因为5出现的次数最多，所以众数是5，
将这组数据按从小到大进行排序后，第10个数和第11个数的平均数即为中位数，
所以中位数是，
故选：A．
5．D
【分析】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角，根据利用边边边判定原理作等角判断即可得到答案；
【详解】解：由图可得，
∵用尺规作出了，
∴弧是以点G为圆心，为半径的弧，
故选：D．
6．A
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角的和差关系，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质和角的和差关系即可得出答案．
【详解】解：如图：
由题知，，
，
，
，
故选：A．
7．B
【分析】本题考查一次函数图象与性质，由可知函数图象经过第一、三、四象限，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：∵在中，，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，即不经过第二象限，
故选：B．
8．C
【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设第一次分钱的人数为x人，根据“第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同”，列出方程，即可求解．
【详解】解：设第一次分钱的人数为x人，根据题意得：
．
故选：C
9．A
【分析】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，先求解，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：∵，，
∴米．
设圆的半径是R，则，
∴，
解得米．
故选A
10．B
【分析】分别列出两数相加为，，，的所有可能性求解．
【详解】解：相加得3的两个整数可能为：，
相加得的两个整数可能为：，或，
相加得的两个整数可能为：，或，．
相加得的两个整数可能为：，或，或，．
每次所得两个整数和最小是，
最小两个数字为，，
每次所得两个整数和最大是，
最大数字为，
∴四个正整数分别为，，，．
最小的数一定是，四个正整数中一定有．四个数中一定有两个相等的数，故A,C,D正确，B错误
故选：B．
【点睛】本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解．
11．且
【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件．解题的关键在于掌握二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零．
【详解】解：∵式子有意义，
∴，解得且，
故答案为：且．
12．
【分析】本题主要考查了因式分解中提取公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的各种方法是解题的关键．
提取公因式后，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
13．
【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及解一元一次不等式组，正确解不等式组是解题关键．
直接利用关于原点对称点的性质以及第三象限内点的坐标特点得出关于a的不等式组，进而得出答案．
【详解】解：∵点关于原点对称的点在第一象限，
即点在第三象限，
，
解不等式①得，
解不等式②得，
所以这个不等式组的解集为，
故答案为：．
14．/120度
【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形两锐角互余；
根据等边三角形的性质和直角三角形的性质求出，进而计算即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】根据菱形性质，利用勾股定理求出AB的长度，再根据中位线定理求出OE的长即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，O为AC中点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查菱形性质，勾股定理，中位线定理，熟练掌握以上知识点是解决本题的关键．
16．
【分析】依据题意，在中，，，从而，可得，又结合题意，，进而，故可得点坐标，代入解析式可以得解．
【详解】解：如图，作轴，垂足为．

由题意，在中，，，
．
．
．
又绕点顺时针旋转至的位置，
．
．
又点是的中点，
．
在中，
，
．
，．
又在上，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，旋转的性质，勾股定理等知识，解题时需要熟练掌握并灵活运用是关键．
17．
【分析】本题考查实数的运用，涉及负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值，根据相关运算法则求解即可．
【详解】解：
．
18．，
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性可求出，将整式化简即可求解．
【详解】解：原式
∵
∴，
则原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值、绝对值和算术平方根的非负性．根据非负性求出的值是解题关键．
19．(1)m
(2)答案不唯一，见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）延长交于点，根据题意可得：，m，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）根据多次测量求平均值，可以减小误差，即可解答．
【详解】（1）如图：延长交于点，
由题意得：，m，
在中，，
（m），
在中，，
（m），
（m），
宝塔的高度约为m；

（2）一条减少误差的建议：多次测量求平均值，可以减小误差（答案不唯一）．
20．(1)，图见解析；
(2)，；
(3)，理由见解析．
【分析】本题考查的是树状图法以及条形统计图和扇形统计图；
（1）由的人数除以所占百分比得出该班共有学生人数，即可解决问题；
（2）由（1）的结果分别列式计算即可；
（3）画树状图，其中恰好是小鹏和小兵参加比赛的结果有种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）该班共有学生人数为：．
把条形统计图补充完整如下：
（2）．
最喜欢滨江书苑所对应的扇形圆心角．
（3）把小鹏和小兵分别记为，其他同学分别记为，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好是小鹏和小兵参加比赛的结果有种，
恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率为．
21．（1）证明见详解；（2）1．
【分析】（1）根据证明即可；
（2）根据（1）可得，即由，根据求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
；
（2）由（1）得
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．
22．(1)全省基站数量的年平均增长率为
(2)全省基站的数量是43.2万座
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设全省基站数量的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可；
（2）根据题意列式计算即可求解．
【详解】（1）解：设全省基站数量的年平均增长率为，
有：．
解得：，（舍）．
∴全省基站数量的年平均增长率为．
（2）按照这个年平均增长率，到2025年底，全省基站的数量为万座，
答：全省基站的数量是43.2万座．
23．(1)①见解析；②
(2)
【分析】（1）①由，得出，，由矩形的判定与性质得出，，推出，证明，得出，即可得证；②作于，由，得出，，由矩形的判定与性质得出，，推出，证明，得出，求出，，则，再由勾股定理求出，即可得解；
（2）在的延长线上找一点，连接，使，则四边形是等腰梯形，证明得出，结合，，计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：，，
，，
，，
，
，四边形是矩形，
，，
，
，
；
②如图，作于，
，，
，，
，，
，
，四边形是矩形，
，，
，
，
四边形是矩形，，
，，
，，
，，
，
，
，
；
（2）解：如图，在的延长线上找一点，连接，使，
则四边形是等腰梯形，
，
，，
，
，
，
，，，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、正切的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是解此题的关键，属于中考压轴题．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】（）连接，过点作，垂足为，由圆周角定理可得，进而可得，再证明，根据，可得，即可求解；
（）连接，设， 则 ， ， 求出，得到，进而得到，，分和两种情况解答即可求解；
（）由可得，进而得到，可证明△≌△，得到，设，，则，，证明△∽△，得到，即可得到，由勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：连接，过点作，垂足为，
∵点是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
解得，
∴；
（2）解：连接，
，则 ， ，
在△中，，
∴，
∴，
，
当时，，
即，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
过点作，垂足为，
∵，
∴，则，
∴，
在△中，
∵，
∴；
当时，，
即，不存在；
∴的余切值为：；
（3）解：如图
由可得，
∴，，，
∴△≌△，
∴；
设，，由题意得，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，，，
∴，
∴△∽△，
∴，
即
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线等分线段定理，三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求出直线与坐标轴的交点，根据，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将点代入解析式，得到，根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点的坐标为，结合，求出的值，进而求出“欣欣线”的解析式，联立直线和反比例函数的解析式，根据只有一个交点，得到，进而求出的值，即可得出结论；
（3）根据根据与系数的关系，结合，求出的值，进而求出的值，再根据三角形的面积为，以及的取值范围求出的取值范围，再根据，结合二次函数的性质，分三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，当时，，
∴不妨设，，
∴，，
∵，
∴，
∴或
∵为直角三角形，
∴，
∵抛物线经过三点，
∴设抛物线的解析式为：，将代入，得：
，
解得：，
∴；
（2）∵与轴的一个交点为，
∴，对称轴为直线，
∴，抛物线与轴的另一个交点为，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：（不合题意，舍去）或或，
∴或，
∴抛物线与坐标轴的交点坐标为或，
∵为直角三角形，
∴交点坐标为；
设，
则，
∴“欣欣线”为所在直线，
设直线的解析式为，把代入，得：，解得：，
∴，
令，整理得：，
∵直线和双曲线只有一个交点，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（3）∵，
∴当时，，
∴，
设抛物线与轴的两个交点坐标为，
则：，
∴，
∵，
∴，解得：（舍去）或或，
∵抛物线的开口向上，当时，抛物线与轴的两个交点均在轴的正半轴，不是直角三角形，
∴，
∴，
令，则：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
当时，则当时，有最大值为：，解得：；
当时，则：当时，有最大值为：，解得：或（均舍去）；
当时，则：当时，有最大值为：，解得：（不满足题意，舍去）；
综上：．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到二次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数的最值问题，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，读懂题意，理解“龘龘线”“欣欣线”的定义，是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
A
D
A
B
C
A
B