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人教版（2024）七年级上册（2024）3.1 代数式教案
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这是一份人教版（2024）七年级上册（2024）3.1 代数式教案，共16页。
课时目标
1.通过经历分析实际问题中的数量关系的过程,理解用字母表示数的意义,感受其中“抽象”的数学思想.
2.通过经历用含有字母的式子表示实际问题中数量关系的过程,体会从具体到抽象的认识过程,进一步发展学生的符号意识.
3.通过经历具体问题情境的解决过程,提高学生分析问题、解决问题的能力,从而培养学生的应用意识.
学习重点
理解用字母表示数的意义,正确分析实际问题中的数量关系,并能用含有字母的式子表示数量关系.
学习难点
正确分析实际问题中的数量关系,能用式子表示数量关系.
课时活动设计
情境引入
智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一,教师提问学生在现实生活中接触过哪些农业活动,并且多媒体展示智慧农业的现实图片.
设计意图:通过展示智慧农业的现实图片,吸引学生的注意力,激发学生的求知欲,为后面学习代数式的知识打下基础.
探究新知
问题1:智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成5 m2范围内苹果的识别,并自动对成熟的苹果进行采摘,它的一个机械手平均8 s可以采摘一个苹果,根据这些数据回答下列问题:
(1)该机器人10 s能识别多大范围内的苹果?60 s呢?t s呢?
(2)该机器人识别n m2范围内的苹果需要多少秒?
(3)若该机器人搭载了10个机械手,它与采摘工人同时工作1 h,假设工人平均m s可以采摘一个苹果,则机器人可比工人多采摘多少个苹果?
解:(1)10×5=50(m2);60×5=300(m2);5t m2.
(2)n5 s.(3)60×608×10-60×60m=4 500-3600m(个).
问题2:用字母或含有字母的式子表示下列问题中的数量或数量关系:
(1)一条河的水流速度是2.5 km/h,船在静水中的速度是v km/h,用式子表示船在这条河中顺水行驶的速度;
(2)一个正方形的边长是a,用式子表示这个正方形的周长l和面积S.
解:(1)(v+2.5) km/h.(2)l=4a;S=a2.
学生先自主探究,再与小组同学交流.
思考:(1)问题1和问题2中所涉及的数量关系;
(2)交流如何准确地用式子表示出问题中的数量关系.
在学生进行自主活动时,教师深入学生和小组中间,适时地对学生进行教学指导.
(1)该问题1中包含三个量:工作量、工作效率和工作时间,它们之间的关系为工作量=工作效率×工作时间;问题2中涉及的数量关系为(1)顺水行驶时,船的速度=船在静水中的速度+水流速度;(2)正方形的周长l=边长×4,面积S=边长×边长.
(2)对于问题1中,5×10,5×60表示机器人在两个具体时间内完成的工作量,5t表示机器人在任意时间t内完成的工作量,在含有字母的式子中如果出现乘号,通常将数放在字母前,乘号写作“·”或省略不写.例如,5×t可以写成5·t或5t;相同字母相乘,可以写成幂的形式.例如,a·a写成a2.
学生分组活动,选派代表最终作答.
教师引导学生归纳:用字母表示数,字母和数一样可以参与运算,可以用式子把数量关系简明地表示出来.
归纳:上述两个问题中列出的式子5t,n5,4 500-3600m,v+2.5,4a,a2,它们都是用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式.
单独的一个数或字母也是代数式,例如,5,t都是代数式.
注意:这里的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方.开方将在以后学习.
设计意图:创设学生较为熟悉的问题情境,引导学生用含有字母的式子表示实际问题中的数量关系,理解字母可以像数一样参与运算,为代数式概念的形成作铺垫;同时在用数学符号表示数量关系的过程中,感受其中“抽象”的数学思想.
典例精讲
例1 (1)苹果的原价是p元/kg,现在按九折优惠出售,用代数式表示苹果的售价;
(2)一个长方形的长是0.9 m,宽是p m,用代数式表示这个长方形的面积;
(3)某产品前年的产量是n件,去年的产量比前年产量的2倍少10件,用代数式表示去年的产量;
(4)一个长方体水池底面的长和宽都是a m,高是h m,池内水的体积占水池容积的三分之一,用代数式表示池内水的体积.
解:(1)苹果的售价是0.9p元/kg.
(2)这个长方形的面积是0.9p m2.
(3)去年的产量是(2n-10)件.
(4)由长方体的体积=长×宽×高,得这个长方形水池的容积是a·a·h m3,即a2h m3,故池内水的体积为13a2h m3.
教师根据学生回答情况进行评价,可以适时追问下面的问题:
(1)苹果现价比原价降低了多少元?你能再赋予0.9p一个含义吗?
(2)前年与去年产量的和是多少?去年的产量比前年多多少?这里的数n一定是正数吗?
解:(1)降低了0.1p元,0.9p还可以表示为某种糖果的售价是p元1 kg,买了0.9 kg花费的钱数.
(2)和是(3n-10)件,比前年多(n-10)件,这里的n一定是正整数.
例2 说出下列代数式的意义:
(1)2a+3; (2)2(a+3); (3)cab; (4)x2+2x+8.
解:(1)2a+3的意义是a的2倍与3的和.
(2)2(a+3)的意义是a与3的和的2倍.
(3)cab的意义是c除以a,b的积的商.
(4)x2+2x+8的意义是x的平方,x的2倍,与8的和.
在学生对问题回答完毕之后,教师适时提问:你能举例说明前两个代数式所表示的实际问题中的数量关系吗?
解:答案不唯一,如小明买了a支铅笔,小华买的铅笔数比小明的2倍还多3支,则2a+3就可以表示小华买的铅笔数;一个长方形的长是a,宽是3,则2(a+3)就可以表示这个长方形的周长.
设计意图:通过设计这一系列的问题情境,让学生进一步熟悉用含有字母的式子表示实际问题中的数量关系,体会字母的意义;进一步理解字母可以像数一样参与运算,感受其中“抽象”的数学思想;经历由实际问题抽象出数学问题的过程,培养学生利用数学知识解决实际问题的能力.
巩固训练
1.下列说法不正确的是( C )
A.a乘2与b的和的积表示为a(2+b) B.比m的倒数小5的数表示为1m-5
C.x与y的差的平方表示为x2-y2 D.除以a+4的商是a的数是a(a+4)
2.用代数式表示:
(1)一打铅笔有12支,n打铅笔有 12n 支;
(2)长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则该长方体的体积为 abc ;
(3)a个五边形,b个六边形,共有 (5a+6b) 条边;
(4)小明100 m赛跑时用了t s,那么小明跑完100 m的平均速度是 100t m/s.
3.仿照例子,写出下列代数式的含义:
例如:x+y表示x与y的和.
(1)2(x+y)表示 x与y的和的2倍 ,2x+y表示 x的2倍与y的和 ;
(2)x2+y2表示 x与y的平方和 ,(x+y)2表示 x与y的和的平方 ;
(3)mn2表示 m与n的平方的积 ,(mn)2表示 m与n的积的平方 .
设计意图:通过设置与教学相一致的题目,不仅可以巩固学生上课所学知识,而且还可以拓展学生的学习视野,让学生更深刻地体会到用字母表示数的简洁性和一般性.
课堂小结
1.这节课学到了哪些知识?
2.举一个生活情境的例子,说明5x的含义.
3.请你为代数式6x+3y赋予一个实际意义.
设计意图:用字母表示数后,一个代数式不仅可以表示不同实际问题中的数量或数量关系,还可以把数式运算的一致性,式的运算是建立在数的运算基础之上的数学本质很好地表现出来.让学生能够更好地反思自己的所学,深化自己的认知,能够理论联系实际地将知识应用于实际问题的解决中.
课堂8分钟.
1.教材第71页练习第1,2题,第75页习题3.1第1,2,7题.
2.七彩作业.
第1课时 代 数 式
1.代数式:用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子,叫作代数式,单独的一个数或字母也是代数式.
2.例题讲评.
3.用字母表示数:从具体到抽象,从特殊到一般.
教学反思
第2课时 列 代 数 式
课时目标
1.通过经历分析实际问题中的数量关系的过程,理解列代数式解决实际问题的意义,在感受其中“抽象”数学思想的同时,培养学生的应用意识.
2.通过经历列代数式表示实际问题中的数量关系的过程,体会文字语言和符号语言表示数量关系的异同,在代数式规范书写的指导下,进一步理解代数式的简洁性、一般性.
3.通过经历把与数量有关的语句用代数式表示出来的过程,提高学生分析问题、解决问题的能力,进一步培养学生的符号意识.
学习重点
把实际问题中的数量关系列成代数式.
学习难点
理解描述数量关系的语句,从中找出数量关系里的运算顺序,并能准确地列出代数式.
课时活动设计
情境引入
某市为了创建全国“文明城市”,市政府置办了两种规格的公益宣传广告牌.
(1)据了解,小广告牌是边长为a m的正方形,则它的面积为 a2 m2.
(2)大广告牌是面积为5 m2的长方形,一块大广告牌比一块小广告牌面积大 (5-a2) m2.
(3)大广告牌的长为b m,则宽为 5b m.
(4)若计划制作大广告牌20个,小广告牌10个,已知大广告牌x元/个,小广告牌y元/个,则一共需要多少钱?
解:(4)由题意可知,制作20个大广告牌的费用是20x元,制作10个小广告牌的费用是10y元,因此一共需要(20x+10y)元.
设计意图:通过从实际情境中抽象出数学问题,让学生感受到生活中的数学无处不在,吸引学生的注意力,激发学生的学习兴趣,使学生树立应用数学解决实际问题的意识,为列代数式解决实际问题作好铺垫;在列代数式的同时,初步感受可以用代数式把数量或数量关系简明地表达出来,更具有一般性.
探究新知
问题:如何用代数式表示a,b两数的和与差的积?
学生先进行自主探究,再在小组内进行经验交流.教师在学生活动中可以适时地进行指导.
解:a,b两数的和为a+b;a,b两数的差为a-b;它们的积为(a+b)(a-b).
教师归纳:这种把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来的过程,就叫作列代数式.
关键环节:1.抓住关键词;2.理清运算顺序.
特别指出:a,b两数的差,a与b的差,都指“a-b”.
设计意图:设置这道思考题,目的在于让学生结合描述数量关系的语句,从中找到列代数式的关键词,准确地列出代数式,是列代数式的一次很好体验.通过这道题的解决,让学生体会列代数式的方法,感受从文字语言中抽象出符号语言的过程.
典例精讲
例1 用代数式表示:
(1)购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需的钱数;
(2)把a元钱存入银行,存期3年,年利率为2.75%,到期时的利息是多少元?
(3)某商品的进价为x元,先按进价的1.1倍标价,后又降价80元出售,现在的售价是多少元?
分析:(1)总钱数=2个面包的总价+3瓶饮料的总价;(2)利息=本金×年利率×存期;(3)现在的售价=原来的标价-降价数.
解:(1)购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需的钱数为(2a+3b)元.
(2)根据题意,得a×2.75%×3=8.25%a,因此到期时的利息为8.25%a元.
(3)现在的售价为(1.1x-80)元.
学生先独立列式,然后再小组交流,在小组交流完毕后由学生代表板演展示,教师在课堂上进行巡视指导.
最后教师根据学生回答情况进行适时点评,同时引导学生通过列代数式,逐步地规范列代数式的书写要求.
归纳:①数与字母相乘或字母与字母相乘,可省略乘号;
②数与字母相乘,数通常写在字母的前面;
③数与数相乘,必须写乘号,不能省略;
④式子中出现除法运算时,一般按分数形式来写;
⑤在实际问题中,如果代数式是和或差的形式,要把整个式子括起来,再写单位;
⑥带分数与字母相乘时,带分数要化成假分数.
例2 甲、乙两地之间公路全长240 km,汽车从甲地开往乙地,行驶速度为v km/h.
(1)汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时?
(2)如果汽车的行驶速度增加3 km/h,那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时?汽车加快速度后可以早到多少小时?
分析:本题包含路程、速度和时间三个量,它们之间具有关系:时间=路程速度.另外,早到的时间=原来需要行驶的时间-加快速度后需要行驶的时间.
解:(1)汽车从甲地到乙地需要行驶240v h.
(2)如果汽车的行驶速度增加3 km/h,那么汽车从甲地到乙地需要行驶240v+3 h.汽车加快速度后可以早到240v-240v+3h.
学生先独立列式,然后再组内交流,学生代表板演展示,教师巡视指导.
例3 (1)观察下列各式:x,2x2,3x3,4x4,…,按此规律,第n个式子是 nxn ;
(2)测得一种树苗的高度与树苗生长的年数的有关数据如下表(树苗原高100 cm):
前四年的变化与年数有什么关系?假设以后各年树苗高度的变化与年数保持上述关系,用式子表示生长了n年的树苗的高度;
(3)礼堂第1排有20个座位,后面每排都比前一排多一个座位.用式子表示第n排的座位数.
学生先独立思考,然后小组合作讨论,学生小组代表尝试解答.
解:(2)当年数是1时,树苗高度(单位:cm)是100+5×1;
当年数是2时,树苗高度(单位:cm)是100+5×2;
当年数是3时,树苗高度(单位:cm)是100+5×3;
当年数是4时,树苗高度(单位:cm)是100+5×4;
……
所以数量关系是树苗高度=100+5×年数;
当年数是n时,树苗高度(单位:cm)是100+5×n=100+5n.
(3)排数1,则座位数=20;
排数2,则座位数=20+1;
排数3,则座位数=20+2;
……
排数n,则座位数=20+(n-1).
在此教学环节中,教师应关注:(1)学生能否通过观察和分析,从中发现规律;(2)学生得出规律的不同方法;(3)学生能否将发现的规律用含有字母n的式子表示出来.
教师归纳:用式子表示实际问题中的数量关系和变化规律,可以从特殊值入手,借助自然数列分析,由特殊到一般,由个体到整体地观察、分析问题,发现规律,并用含有字母的式子表示一般的结论,这体现了由特殊(具体)到一般(抽象)的认识规律.
设计意图:通过设计这一系列的问题情境,让学生进一步体验用代数式表示实际问题中的数量关系的过程,加深对符号语言的感悟,增强符号语言和文字语言的相互转化意识.
巩固训练
1.下列说法中,错误的是( C )
A.代数式x2+y2的意义是x,y的平方和
B.代数式5(x+y)的意义是5与x+y的积
C.x的5倍与y的和的一半,用代数式表示为5x+12y
D.x的一半与y的差,用代数式表示为12x-y
2.某社区计划用a天完成建筑面积为1 000平方米的居民住房节能改造任务,若实际比计划提前b天完成改造任务,则代数式1000a-b表示的实际意义为 实际每天完成的改造任务 .
3.设字母x表示甲数,字母y表示乙数,用代数式表示:
(1)甲数的3倍与乙数的2倍的和;
(2)甲数与乙数的5倍的差的一半.
解:(1)3x+2y. (2)12(x-5y).
4.如图,两摞规格相同的数学课本整齐地叠放在课桌上.
(1)每本书的高度为 0.5 cm,课桌的高度为 85 cm;
(2)当课本的数量为x本时,请写出叠放在桌面上的一摞与(1)中相同的数学课本高出地面的高度(用含x的代数式表示).
解:(2)因为x本书的高度为0.5x cm,课桌的高度为85 cm,所以高出地面的高度为(85+0.5x) cm.
设计意图:通过巩固训练,巩固课堂所学知识,让学生感受用代数式表示实际问题中的数量关系的过程,体会符号语言的简洁性和一般性;通过解决实际问题,锻炼学生的逻辑思维能力,提高学生分析问题、解决问题的能力.
课堂小结
1.这节课学到了哪些知识?
2.列代数式应注意哪些要求?
3.在列代数式解决实际问题的过程中,你学到了哪些数学方法?获得了哪些活动经验?
设计意图:通过课堂小结,使学生梳理本节课的所学内容,在知识层面、思维层面、方法层面等进行积累、沉淀和提高.
课堂8分钟.
1.教材第73页练习第1,2,3题,第75页习题3.1第3,6,8题.
2.七彩作业.
第2课时 列 代 数 式
1.列代数式:把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来的过程,就叫作列代数式.
2.列代数式的书写要求.
3.列代数式表示数量关系:从具体到抽象、从特殊到一般.
教学反思
第3课时 用代数式表示成反比例关系的量
课时目标
1.通过经历分析实际问题中具有反比例关系的过程,理解反比例关系的概念,感受反比例关系存在的现实意义.
2.通过分析和列式表示实际问题中反比例关系的过程,体会用字母、符号语言表示反比例关系的简洁性、一般性,进而培养学生的抽象思维.
3.通过经历解决具有反比例关系的实际问题的过程,提高学生分析问题、解决问题的能力,进一步培养学生的应用意识.
学习重点
理解反比例关系的概念,并能够判断具体事例中的数量关系是否是反比例关系.
学习难点
准确地分析实际问题中的数量关系,并能够用含有字母、符号的式子表达出来,进行数学研究.
课时活动设计
回顾导入
问题:(1)回顾第1课时的问题1:某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成5 m2范围内的苹果的识别,并自动对成熟的苹果进行采摘,那么该机器人t s能识别多大范围内的苹果?
(2)一条地下管线由某工程队单独铺设,每天可以铺设100 m的长度,那么该工程队铺设x天可以完成的工作量是多少?
学生先独立列式,然后小组内交流探讨,最后由学生代表板演展示,教师巡视指导.
解:(1)该机器人t s能识别5t m2范围内的苹果;
(2)该工程队铺设x天可以完成的工作量是100x m.
教师根据学生的回答情况进行评价,并适时地进行提问:
(1)该机器人能识别的范围与所用时间的比值是多少?它随时间的变化而变化吗?
(2)该工程队可以完成的工作量与铺设天数的比值是多少?这个值变化吗?
(3)在上述两个问题情境中,你能获得什么样的认识?
教师引导学生归纳:
机器人能识别的范围与所用时间是成正比例的量,它们成正比例关系;同样的,对于工程问题,当工作效率保持不变,工作量与工作时间是成正比例的量,它们成正比例关系.
设计意图:通过在课堂上对问题1的深入研究,说明现实生活中存在正比例关系的两个量是普遍的,提高学生的数学认知能力,为下面学生学习具有反比例关系的两个量作铺垫.
探究新知
问题:北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市.在冬季奥运会前,某赛场计划造雪260 000 m3.解答下列问题:
(1)根据每天造雪量,计算所需的造雪天数,填写下表.
(2)每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的?它们之间有什么关系?
让学生先独立思考、解答,然后在小组内交流讨论,学生尝试进行解答,教师进行巡视指导.
教师引导学生思考:(1)此问题包含几个量?这些量之间的数量关系是什么?
(2)通过计算、观察、分析,造雪天数随着每天造雪量的变化进行着怎样的变化?
学生探究活动:发现此问题包含三个量:造雪总量、每天造雪量和造雪天数,它们之间的关系为造雪天数=造雪总量每天造雪量,于是当每天造雪量为5 000 m3时,造雪天数为2600005000=52,当每天造雪量为5 200 m3时,造雪天数为2600005200=50;当每天造雪量为6 500 m3时,造雪天数为2600006500=40.因此,表中依次填52,50,40.
另外发现:造雪天数随着每天造雪量的变大而变小,而且造雪天数与每天造雪量的乘积一定,总是260 000.例如,5 000×52=5 200×50=6 500×40=260 000.
教师归纳:1.像这样,两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,且这两个量的乘积一定,这两个量就叫作成反比例的量,它们之间的关系叫作反比例关系.
2.用符号语言描述:若x和y表示两个相关联的量,用k表示它们的积(k是一个确定的值,且k≠0),反比例关系可以用xy=k或y=kx来表示,其中k叫作比例系数.
设计意图:通过计算、观察、分析、提炼,引导学生发现两个具有反比例关系的量的变化情况,让学生在感受具体数据的变化趋势中,体会用字母、符号等表示数量关系的简洁、一般,提高学生的逻辑思维能力,发展学生的符号意识.
典例精讲
例 如图,四个圆柱形容器内部的底面积分别为10 cm2,20 cm2,30 cm2,60 cm2.分别往这四个容器中注入300 cm3的水.
(1)四个容器中水的高度分别是多少厘米?
(2)分别用x(单位:cm2)和y(单位:cm)表示容器内部的底面积与水的高度,用式子表示y与x的关系,y与x成什么比例关系?
分析:题中涉及圆柱的体积、底面积和高三个量,它们之间具有关系:圆柱的体积=底面积×高,高=圆柱的体积底面积.
解:(1)四个容器中水的高度分别为30010=30(cm),30020=15(cm),30030=10(cm),30060=5(cm).
(2)xy=300或y=300x,y与x成反比例关系.
设计意图:设置此题,意在加深学生对反比例关系的概念的理解,让学生灵活运用代数式表示数量关系.
巩固训练
1.某社区计划用a天完成建筑面积为1 000平方米的居民住房节能改造任务,则每天完成的改造任务p= 1000a ,则每天完成的改造任务p与天数a之间成 反比例关系 (填“反比例关系”或“正比例关系”).
2.判断下面各题中的两种量是否成反比例关系,并说明理由.
(1)煤的数量一定,使用天数与每天的平均用煤量;
(2)全班的人数一定,按各组人数相等的要求分组,组数与每组的人数;
(3)圆柱体积一定,圆柱的底面积与高;
(4)在一块菜地上种的黄瓜与西红柿的面积;
(5)书的总册数一定,按各包册数相等的规定包装书,包数与每包的册数.
解:(1)成反比例关系,因为每天的平均用煤量×使用天数=煤的数量(一定).
(2)成反比例关系,因为每组的人数×组数=全班的人数(一定).
(3)成反比例关系,因为圆柱的底面积×高=圆柱体积(一定).
(4)不成反比例关系,因为黄瓜的面积+西红柿的面积=一块菜地的面积(一定),但不是积一定.
(5)成反比例关系,因为每包的册数×包数=书的总册数(一定).
3.矩形的面积为36 cm2,长为x cm,宽为y cm.
(1)写出y与x这两个量之间的关系式,并指出这两个量满足什么关系;
(2)当长是8 cm时,宽是多少?
(3)当宽为4 cm时,长是多少?
解:(1)xy=36,x与y成反比例关系.
(2)当长x=8 cm时,宽y=4.5 cm.
(3)当宽y=4 cm时,长x=9 cm.
设计意图:设置这些题目,让学生通过自主探究,科学分析出每种问题情境中的数量关系,促进学生对反比例关系的概念和两个量是否符合反比例关系的理解和掌握,培养学生的逻辑思维能力,发展学生的符号意识.
课堂小结
1.这节课学到了哪些知识?
2.你能举出一些成反比例关系的例子吗?
设计意图:通过课堂小结,使学生梳理本节内容,充分发挥学生的主体意识,培养学生理论联系实际的能力.
课堂8分钟.
1.教材第75页练习第1,2,3题,第75页习题3.1第4,5,9题.
2.七彩作业.
第3课时 用代数式表示成反比例关系的量
1.反比例关系:两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,且这两个量的乘积一定,这两个量就叫作成反比例的量,它们之间的关系叫作反比例关系.
2.用符号语言描述:xy=k或y=kx(k是定值,且k≠0).
教学反思
年数
高度/cm
1
100+5
2
100+10
3
100+15
4
100+20
……
……
每天造雪量/m3
5 000
5 200
6 500
…
造雪天数
…
课时目标
1.通过经历分析实际问题中的数量关系的过程,理解用字母表示数的意义,感受其中“抽象”的数学思想.
2.通过经历用含有字母的式子表示实际问题中数量关系的过程,体会从具体到抽象的认识过程,进一步发展学生的符号意识.
3.通过经历具体问题情境的解决过程,提高学生分析问题、解决问题的能力,从而培养学生的应用意识.
学习重点
理解用字母表示数的意义,正确分析实际问题中的数量关系,并能用含有字母的式子表示数量关系.
学习难点
正确分析实际问题中的数量关系,能用式子表示数量关系.
课时活动设计
情境引入
智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一,教师提问学生在现实生活中接触过哪些农业活动,并且多媒体展示智慧农业的现实图片.
设计意图:通过展示智慧农业的现实图片,吸引学生的注意力,激发学生的求知欲,为后面学习代数式的知识打下基础.
探究新知
问题1:智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成5 m2范围内苹果的识别,并自动对成熟的苹果进行采摘,它的一个机械手平均8 s可以采摘一个苹果,根据这些数据回答下列问题:
(1)该机器人10 s能识别多大范围内的苹果?60 s呢?t s呢?
(2)该机器人识别n m2范围内的苹果需要多少秒?
(3)若该机器人搭载了10个机械手,它与采摘工人同时工作1 h,假设工人平均m s可以采摘一个苹果,则机器人可比工人多采摘多少个苹果?
解:(1)10×5=50(m2);60×5=300(m2);5t m2.
(2)n5 s.(3)60×608×10-60×60m=4 500-3600m(个).
问题2:用字母或含有字母的式子表示下列问题中的数量或数量关系:
(1)一条河的水流速度是2.5 km/h,船在静水中的速度是v km/h,用式子表示船在这条河中顺水行驶的速度;
(2)一个正方形的边长是a,用式子表示这个正方形的周长l和面积S.
解:(1)(v+2.5) km/h.(2)l=4a;S=a2.
学生先自主探究,再与小组同学交流.
思考:(1)问题1和问题2中所涉及的数量关系;
(2)交流如何准确地用式子表示出问题中的数量关系.
在学生进行自主活动时,教师深入学生和小组中间,适时地对学生进行教学指导.
(1)该问题1中包含三个量:工作量、工作效率和工作时间,它们之间的关系为工作量=工作效率×工作时间;问题2中涉及的数量关系为(1)顺水行驶时,船的速度=船在静水中的速度+水流速度;(2)正方形的周长l=边长×4,面积S=边长×边长.
(2)对于问题1中,5×10,5×60表示机器人在两个具体时间内完成的工作量,5t表示机器人在任意时间t内完成的工作量,在含有字母的式子中如果出现乘号,通常将数放在字母前,乘号写作“·”或省略不写.例如,5×t可以写成5·t或5t;相同字母相乘,可以写成幂的形式.例如,a·a写成a2.
学生分组活动,选派代表最终作答.
教师引导学生归纳:用字母表示数,字母和数一样可以参与运算,可以用式子把数量关系简明地表示出来.
归纳:上述两个问题中列出的式子5t,n5,4 500-3600m,v+2.5,4a,a2,它们都是用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式.
单独的一个数或字母也是代数式,例如,5,t都是代数式.
注意:这里的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方.开方将在以后学习.
设计意图:创设学生较为熟悉的问题情境,引导学生用含有字母的式子表示实际问题中的数量关系,理解字母可以像数一样参与运算,为代数式概念的形成作铺垫;同时在用数学符号表示数量关系的过程中,感受其中“抽象”的数学思想.
典例精讲
例1 (1)苹果的原价是p元/kg,现在按九折优惠出售,用代数式表示苹果的售价;
(2)一个长方形的长是0.9 m,宽是p m,用代数式表示这个长方形的面积;
(3)某产品前年的产量是n件,去年的产量比前年产量的2倍少10件,用代数式表示去年的产量;
(4)一个长方体水池底面的长和宽都是a m,高是h m,池内水的体积占水池容积的三分之一,用代数式表示池内水的体积.
解:(1)苹果的售价是0.9p元/kg.
(2)这个长方形的面积是0.9p m2.
(3)去年的产量是(2n-10)件.
(4)由长方体的体积=长×宽×高,得这个长方形水池的容积是a·a·h m3,即a2h m3,故池内水的体积为13a2h m3.
教师根据学生回答情况进行评价,可以适时追问下面的问题:
(1)苹果现价比原价降低了多少元?你能再赋予0.9p一个含义吗?
(2)前年与去年产量的和是多少?去年的产量比前年多多少?这里的数n一定是正数吗?
解:(1)降低了0.1p元,0.9p还可以表示为某种糖果的售价是p元1 kg,买了0.9 kg花费的钱数.
(2)和是(3n-10)件,比前年多(n-10)件,这里的n一定是正整数.
例2 说出下列代数式的意义:
(1)2a+3; (2)2(a+3); (3)cab; (4)x2+2x+8.
解:(1)2a+3的意义是a的2倍与3的和.
(2)2(a+3)的意义是a与3的和的2倍.
(3)cab的意义是c除以a,b的积的商.
(4)x2+2x+8的意义是x的平方,x的2倍,与8的和.
在学生对问题回答完毕之后,教师适时提问:你能举例说明前两个代数式所表示的实际问题中的数量关系吗?
解:答案不唯一,如小明买了a支铅笔,小华买的铅笔数比小明的2倍还多3支,则2a+3就可以表示小华买的铅笔数;一个长方形的长是a,宽是3,则2(a+3)就可以表示这个长方形的周长.
设计意图:通过设计这一系列的问题情境,让学生进一步熟悉用含有字母的式子表示实际问题中的数量关系,体会字母的意义;进一步理解字母可以像数一样参与运算,感受其中“抽象”的数学思想;经历由实际问题抽象出数学问题的过程,培养学生利用数学知识解决实际问题的能力.
巩固训练
1.下列说法不正确的是( C )
A.a乘2与b的和的积表示为a(2+b) B.比m的倒数小5的数表示为1m-5
C.x与y的差的平方表示为x2-y2 D.除以a+4的商是a的数是a(a+4)
2.用代数式表示:
(1)一打铅笔有12支,n打铅笔有 12n 支;
(2)长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则该长方体的体积为 abc ;
(3)a个五边形,b个六边形,共有 (5a+6b) 条边;
(4)小明100 m赛跑时用了t s,那么小明跑完100 m的平均速度是 100t m/s.
3.仿照例子,写出下列代数式的含义:
例如:x+y表示x与y的和.
(1)2(x+y)表示 x与y的和的2倍 ,2x+y表示 x的2倍与y的和 ;
(2)x2+y2表示 x与y的平方和 ,(x+y)2表示 x与y的和的平方 ;
(3)mn2表示 m与n的平方的积 ,(mn)2表示 m与n的积的平方 .
设计意图:通过设置与教学相一致的题目,不仅可以巩固学生上课所学知识,而且还可以拓展学生的学习视野,让学生更深刻地体会到用字母表示数的简洁性和一般性.
课堂小结
1.这节课学到了哪些知识?
2.举一个生活情境的例子,说明5x的含义.
3.请你为代数式6x+3y赋予一个实际意义.
设计意图:用字母表示数后,一个代数式不仅可以表示不同实际问题中的数量或数量关系,还可以把数式运算的一致性,式的运算是建立在数的运算基础之上的数学本质很好地表现出来.让学生能够更好地反思自己的所学,深化自己的认知,能够理论联系实际地将知识应用于实际问题的解决中.
课堂8分钟.
1.教材第71页练习第1,2题,第75页习题3.1第1,2,7题.
2.七彩作业.
第1课时 代 数 式
1.代数式:用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子,叫作代数式,单独的一个数或字母也是代数式.
2.例题讲评.
3.用字母表示数:从具体到抽象,从特殊到一般.
教学反思
第2课时 列 代 数 式
课时目标
1.通过经历分析实际问题中的数量关系的过程,理解列代数式解决实际问题的意义,在感受其中“抽象”数学思想的同时,培养学生的应用意识.
2.通过经历列代数式表示实际问题中的数量关系的过程,体会文字语言和符号语言表示数量关系的异同,在代数式规范书写的指导下,进一步理解代数式的简洁性、一般性.
3.通过经历把与数量有关的语句用代数式表示出来的过程,提高学生分析问题、解决问题的能力,进一步培养学生的符号意识.
学习重点
把实际问题中的数量关系列成代数式.
学习难点
理解描述数量关系的语句,从中找出数量关系里的运算顺序,并能准确地列出代数式.
课时活动设计
情境引入
某市为了创建全国“文明城市”,市政府置办了两种规格的公益宣传广告牌.
(1)据了解,小广告牌是边长为a m的正方形,则它的面积为 a2 m2.
(2)大广告牌是面积为5 m2的长方形,一块大广告牌比一块小广告牌面积大 (5-a2) m2.
(3)大广告牌的长为b m,则宽为 5b m.
(4)若计划制作大广告牌20个,小广告牌10个,已知大广告牌x元/个,小广告牌y元/个,则一共需要多少钱?
解:(4)由题意可知,制作20个大广告牌的费用是20x元,制作10个小广告牌的费用是10y元,因此一共需要(20x+10y)元.
设计意图:通过从实际情境中抽象出数学问题,让学生感受到生活中的数学无处不在,吸引学生的注意力,激发学生的学习兴趣,使学生树立应用数学解决实际问题的意识,为列代数式解决实际问题作好铺垫;在列代数式的同时,初步感受可以用代数式把数量或数量关系简明地表达出来,更具有一般性.
探究新知
问题:如何用代数式表示a,b两数的和与差的积?
学生先进行自主探究,再在小组内进行经验交流.教师在学生活动中可以适时地进行指导.
解:a,b两数的和为a+b;a,b两数的差为a-b;它们的积为(a+b)(a-b).
教师归纳:这种把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来的过程,就叫作列代数式.
关键环节:1.抓住关键词;2.理清运算顺序.
特别指出:a,b两数的差,a与b的差,都指“a-b”.
设计意图:设置这道思考题,目的在于让学生结合描述数量关系的语句,从中找到列代数式的关键词,准确地列出代数式,是列代数式的一次很好体验.通过这道题的解决,让学生体会列代数式的方法,感受从文字语言中抽象出符号语言的过程.
典例精讲
例1 用代数式表示:
(1)购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需的钱数;
(2)把a元钱存入银行,存期3年,年利率为2.75%,到期时的利息是多少元?
(3)某商品的进价为x元,先按进价的1.1倍标价,后又降价80元出售,现在的售价是多少元?
分析:(1)总钱数=2个面包的总价+3瓶饮料的总价;(2)利息=本金×年利率×存期;(3)现在的售价=原来的标价-降价数.
解:(1)购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需的钱数为(2a+3b)元.
(2)根据题意,得a×2.75%×3=8.25%a,因此到期时的利息为8.25%a元.
(3)现在的售价为(1.1x-80)元.
学生先独立列式,然后再小组交流,在小组交流完毕后由学生代表板演展示,教师在课堂上进行巡视指导.
最后教师根据学生回答情况进行适时点评,同时引导学生通过列代数式,逐步地规范列代数式的书写要求.
归纳:①数与字母相乘或字母与字母相乘,可省略乘号;
②数与字母相乘,数通常写在字母的前面;
③数与数相乘,必须写乘号,不能省略;
④式子中出现除法运算时,一般按分数形式来写;
⑤在实际问题中,如果代数式是和或差的形式,要把整个式子括起来,再写单位;
⑥带分数与字母相乘时,带分数要化成假分数.
例2 甲、乙两地之间公路全长240 km,汽车从甲地开往乙地,行驶速度为v km/h.
(1)汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时?
(2)如果汽车的行驶速度增加3 km/h,那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时?汽车加快速度后可以早到多少小时?
分析:本题包含路程、速度和时间三个量,它们之间具有关系:时间=路程速度.另外,早到的时间=原来需要行驶的时间-加快速度后需要行驶的时间.
解:(1)汽车从甲地到乙地需要行驶240v h.
(2)如果汽车的行驶速度增加3 km/h,那么汽车从甲地到乙地需要行驶240v+3 h.汽车加快速度后可以早到240v-240v+3h.
学生先独立列式,然后再组内交流,学生代表板演展示,教师巡视指导.
例3 (1)观察下列各式:x,2x2,3x3,4x4,…,按此规律,第n个式子是 nxn ;
(2)测得一种树苗的高度与树苗生长的年数的有关数据如下表(树苗原高100 cm):
前四年的变化与年数有什么关系?假设以后各年树苗高度的变化与年数保持上述关系,用式子表示生长了n年的树苗的高度;
(3)礼堂第1排有20个座位,后面每排都比前一排多一个座位.用式子表示第n排的座位数.
学生先独立思考,然后小组合作讨论,学生小组代表尝试解答.
解:(2)当年数是1时,树苗高度(单位:cm)是100+5×1;
当年数是2时,树苗高度(单位:cm)是100+5×2;
当年数是3时,树苗高度(单位:cm)是100+5×3;
当年数是4时,树苗高度(单位:cm)是100+5×4;
……
所以数量关系是树苗高度=100+5×年数;
当年数是n时,树苗高度(单位:cm)是100+5×n=100+5n.
(3)排数1,则座位数=20;
排数2,则座位数=20+1;
排数3,则座位数=20+2;
……
排数n,则座位数=20+(n-1).
在此教学环节中,教师应关注:(1)学生能否通过观察和分析,从中发现规律;(2)学生得出规律的不同方法;(3)学生能否将发现的规律用含有字母n的式子表示出来.
教师归纳:用式子表示实际问题中的数量关系和变化规律,可以从特殊值入手,借助自然数列分析,由特殊到一般,由个体到整体地观察、分析问题,发现规律,并用含有字母的式子表示一般的结论,这体现了由特殊(具体)到一般(抽象)的认识规律.
设计意图:通过设计这一系列的问题情境,让学生进一步体验用代数式表示实际问题中的数量关系的过程,加深对符号语言的感悟,增强符号语言和文字语言的相互转化意识.
巩固训练
1.下列说法中,错误的是( C )
A.代数式x2+y2的意义是x,y的平方和
B.代数式5(x+y)的意义是5与x+y的积
C.x的5倍与y的和的一半,用代数式表示为5x+12y
D.x的一半与y的差,用代数式表示为12x-y
2.某社区计划用a天完成建筑面积为1 000平方米的居民住房节能改造任务,若实际比计划提前b天完成改造任务,则代数式1000a-b表示的实际意义为 实际每天完成的改造任务 .
3.设字母x表示甲数,字母y表示乙数,用代数式表示:
(1)甲数的3倍与乙数的2倍的和;
(2)甲数与乙数的5倍的差的一半.
解:(1)3x+2y. (2)12(x-5y).
4.如图,两摞规格相同的数学课本整齐地叠放在课桌上.
(1)每本书的高度为 0.5 cm,课桌的高度为 85 cm;
(2)当课本的数量为x本时,请写出叠放在桌面上的一摞与(1)中相同的数学课本高出地面的高度(用含x的代数式表示).
解:(2)因为x本书的高度为0.5x cm,课桌的高度为85 cm,所以高出地面的高度为(85+0.5x) cm.
设计意图:通过巩固训练,巩固课堂所学知识,让学生感受用代数式表示实际问题中的数量关系的过程,体会符号语言的简洁性和一般性;通过解决实际问题,锻炼学生的逻辑思维能力,提高学生分析问题、解决问题的能力.
课堂小结
1.这节课学到了哪些知识?
2.列代数式应注意哪些要求?
3.在列代数式解决实际问题的过程中,你学到了哪些数学方法?获得了哪些活动经验?
设计意图:通过课堂小结,使学生梳理本节课的所学内容,在知识层面、思维层面、方法层面等进行积累、沉淀和提高.
课堂8分钟.
1.教材第73页练习第1,2,3题,第75页习题3.1第3,6,8题.
2.七彩作业.
第2课时 列 代 数 式
1.列代数式:把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来的过程,就叫作列代数式.
2.列代数式的书写要求.
3.列代数式表示数量关系:从具体到抽象、从特殊到一般.
教学反思
第3课时 用代数式表示成反比例关系的量
课时目标
1.通过经历分析实际问题中具有反比例关系的过程,理解反比例关系的概念,感受反比例关系存在的现实意义.
2.通过分析和列式表示实际问题中反比例关系的过程,体会用字母、符号语言表示反比例关系的简洁性、一般性,进而培养学生的抽象思维.
3.通过经历解决具有反比例关系的实际问题的过程,提高学生分析问题、解决问题的能力,进一步培养学生的应用意识.
学习重点
理解反比例关系的概念,并能够判断具体事例中的数量关系是否是反比例关系.
学习难点
准确地分析实际问题中的数量关系,并能够用含有字母、符号的式子表达出来,进行数学研究.
课时活动设计
回顾导入
问题:(1)回顾第1课时的问题1:某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成5 m2范围内的苹果的识别,并自动对成熟的苹果进行采摘,那么该机器人t s能识别多大范围内的苹果?
(2)一条地下管线由某工程队单独铺设,每天可以铺设100 m的长度,那么该工程队铺设x天可以完成的工作量是多少?
学生先独立列式,然后小组内交流探讨,最后由学生代表板演展示,教师巡视指导.
解:(1)该机器人t s能识别5t m2范围内的苹果;
(2)该工程队铺设x天可以完成的工作量是100x m.
教师根据学生的回答情况进行评价,并适时地进行提问:
(1)该机器人能识别的范围与所用时间的比值是多少?它随时间的变化而变化吗?
(2)该工程队可以完成的工作量与铺设天数的比值是多少?这个值变化吗?
(3)在上述两个问题情境中,你能获得什么样的认识?
教师引导学生归纳:
机器人能识别的范围与所用时间是成正比例的量,它们成正比例关系;同样的,对于工程问题,当工作效率保持不变,工作量与工作时间是成正比例的量,它们成正比例关系.
设计意图:通过在课堂上对问题1的深入研究,说明现实生活中存在正比例关系的两个量是普遍的,提高学生的数学认知能力,为下面学生学习具有反比例关系的两个量作铺垫.
探究新知
问题:北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市.在冬季奥运会前,某赛场计划造雪260 000 m3.解答下列问题:
(1)根据每天造雪量,计算所需的造雪天数,填写下表.
(2)每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的?它们之间有什么关系?
让学生先独立思考、解答,然后在小组内交流讨论,学生尝试进行解答,教师进行巡视指导.
教师引导学生思考:(1)此问题包含几个量?这些量之间的数量关系是什么?
(2)通过计算、观察、分析,造雪天数随着每天造雪量的变化进行着怎样的变化?
学生探究活动:发现此问题包含三个量:造雪总量、每天造雪量和造雪天数,它们之间的关系为造雪天数=造雪总量每天造雪量,于是当每天造雪量为5 000 m3时,造雪天数为2600005000=52,当每天造雪量为5 200 m3时,造雪天数为2600005200=50;当每天造雪量为6 500 m3时,造雪天数为2600006500=40.因此,表中依次填52,50,40.
另外发现:造雪天数随着每天造雪量的变大而变小,而且造雪天数与每天造雪量的乘积一定,总是260 000.例如,5 000×52=5 200×50=6 500×40=260 000.
教师归纳:1.像这样,两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,且这两个量的乘积一定,这两个量就叫作成反比例的量,它们之间的关系叫作反比例关系.
2.用符号语言描述:若x和y表示两个相关联的量,用k表示它们的积(k是一个确定的值,且k≠0),反比例关系可以用xy=k或y=kx来表示,其中k叫作比例系数.
设计意图:通过计算、观察、分析、提炼,引导学生发现两个具有反比例关系的量的变化情况,让学生在感受具体数据的变化趋势中,体会用字母、符号等表示数量关系的简洁、一般,提高学生的逻辑思维能力,发展学生的符号意识.
典例精讲
例 如图,四个圆柱形容器内部的底面积分别为10 cm2,20 cm2,30 cm2,60 cm2.分别往这四个容器中注入300 cm3的水.
(1)四个容器中水的高度分别是多少厘米?
(2)分别用x(单位:cm2)和y(单位:cm)表示容器内部的底面积与水的高度,用式子表示y与x的关系,y与x成什么比例关系?
分析:题中涉及圆柱的体积、底面积和高三个量,它们之间具有关系:圆柱的体积=底面积×高,高=圆柱的体积底面积.
解:(1)四个容器中水的高度分别为30010=30(cm),30020=15(cm),30030=10(cm),30060=5(cm).
(2)xy=300或y=300x,y与x成反比例关系.
设计意图:设置此题,意在加深学生对反比例关系的概念的理解,让学生灵活运用代数式表示数量关系.
巩固训练
1.某社区计划用a天完成建筑面积为1 000平方米的居民住房节能改造任务,则每天完成的改造任务p= 1000a ,则每天完成的改造任务p与天数a之间成 反比例关系 (填“反比例关系”或“正比例关系”).
2.判断下面各题中的两种量是否成反比例关系,并说明理由.
(1)煤的数量一定,使用天数与每天的平均用煤量;
(2)全班的人数一定,按各组人数相等的要求分组,组数与每组的人数;
(3)圆柱体积一定,圆柱的底面积与高;
(4)在一块菜地上种的黄瓜与西红柿的面积;
(5)书的总册数一定,按各包册数相等的规定包装书,包数与每包的册数.
解:(1)成反比例关系,因为每天的平均用煤量×使用天数=煤的数量(一定).
(2)成反比例关系,因为每组的人数×组数=全班的人数(一定).
(3)成反比例关系,因为圆柱的底面积×高=圆柱体积(一定).
(4)不成反比例关系,因为黄瓜的面积+西红柿的面积=一块菜地的面积(一定),但不是积一定.
(5)成反比例关系,因为每包的册数×包数=书的总册数(一定).
3.矩形的面积为36 cm2,长为x cm,宽为y cm.
(1)写出y与x这两个量之间的关系式,并指出这两个量满足什么关系;
(2)当长是8 cm时,宽是多少?
(3)当宽为4 cm时,长是多少?
解:(1)xy=36,x与y成反比例关系.
(2)当长x=8 cm时,宽y=4.5 cm.
(3)当宽y=4 cm时,长x=9 cm.
设计意图:设置这些题目,让学生通过自主探究,科学分析出每种问题情境中的数量关系,促进学生对反比例关系的概念和两个量是否符合反比例关系的理解和掌握,培养学生的逻辑思维能力,发展学生的符号意识.
课堂小结
1.这节课学到了哪些知识?
2.你能举出一些成反比例关系的例子吗?
设计意图:通过课堂小结,使学生梳理本节内容,充分发挥学生的主体意识,培养学生理论联系实际的能力.
课堂8分钟.
1.教材第75页练习第1,2,3题,第75页习题3.1第4,5,9题.
2.七彩作业.
第3课时 用代数式表示成反比例关系的量
1.反比例关系:两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,且这两个量的乘积一定,这两个量就叫作成反比例的量,它们之间的关系叫作反比例关系.
2.用符号语言描述:xy=k或y=kx(k是定值,且k≠0).
教学反思
年数
高度/cm
1
100+5
2
100+10
3
100+15
4
100+20
……
……
每天造雪量/m3
5 000
5 200
6 500
…
造雪天数
…
相关教案
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