+2024-2025学年+人教版数学九年级上册10月月考试卷

这是一份+2024-2025学年+人教版数学九年级上册10月月考试卷，共21页。试卷主要包含了下列图形是中心对称图形的是，一元二次方程的一次项系数是，抛物线的顶点坐标是，一元二次方程的根的情况是，若是方程的一个解，则的值为等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
2．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为
A．B．C．D．
3．一元二次方程的一次项系数是
A．3B．C．2D．
4．抛物线的顶点坐标是
A．B．C．D．
5．一元二次方程的根的情况是
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
6．若是方程的一个解，则的值为
A．1B．2C．D．
7．新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年1月份一品牌的新能源车单台的生产成本是13万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降，3月份的生产成本为12.8万元．假设该公司今年一季度每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下降率为，则根据题意所列方程正确的是
A．B．
C．D．
8．把抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为
A．B．C．D．
9．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是
A．B．C．D．
10．函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A．B．
C．D．
11．某农户想要用栅栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，另外三边用栅栏围成，若栅栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为 ，面积为 ，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是
A．B．C．D．
12．已知抛物线经过点，，下列四个结论：
①抛物线的对称轴是；
②与同号：
③关于的一元二次方程的两根是，；
④当，抛物线上的两个点，，且时，．其中结论正确的个数是
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（共4小题，每题2分，共8分）
13．如果方程的两个实数根分别是、，那么 ．
14．若函数是关于的二次函数．则常数的值是 ．
15．抛物线的部分图象如图所示，其与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点坐标为 ．
16．抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是
三．解答题（共8小题，共56分）
17．解方程：
（1）；
（2）．
18．如图，△三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出△关于原点对称的△；
（2）请画出△绕顺时针旋转后的△并写出点的坐标．
19．已知抛物线经过点和点．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；
（2）直接写出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值（或最小值）．
20．已知关于的方程．
（1）若该方程有一个根为，求的值；
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．
21．如图，与关于点中心对称，点，在线段上，且，求证：．
22．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽；
（2）该扶贫单位想要建一个的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
23．2023年中国杭州获得第十九届亚运会主办权，作为唯一申办城市，杭州成为继北京和广州之后，中国第三个举办亚运会的城市，亚运之城喜迎五湖之客，很多商家都紧紧把握这一商机．某商家销售一批具有中国文化意义的吉祥玩具，已知每个玩具的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，在销售过程中发现，玩具每天的销售量（个与销售单价（元满足如图所示的一次函数关系．
（1）求与的函数关系式；
（2）当玩具的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？
24．如图，已知抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，连接．
（1）求、、三点的坐标；
（2）若点为线段上的一点（不与、重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，当线段的长度最大时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点，使得为直角三角形，直接写出点的坐标．
初三数学10月月考卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列图形是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【考点】中心对称图形
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项、、中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
2．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为
A．B．C．D．
【考点】一元二次方程的定义
【分析】根据一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，进行判断即可．
【解答】解：、方程含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
、方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
、方程的分母含未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
、当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
3．一元二次方程的一次项系数是
A．3B．C．2D．
【考点】一元二次方程的一般形式
【分析】根据一元二次方程的一般形式，即可求解．
【解答】解：一元二次方程的一次项系数是，
故选：．
4．抛物线的顶点坐标是
A．B．C．D．
【考点】二次函数的性质
【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．
【解答】解：是抛物线的顶点式，
抛物线的顶点坐标为．
故选：．
5．一元二次方程的根的情况是
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
【考点】根的判别式
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△，进而可得出一元二次方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：，，，
△，
一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：．
6．若是方程的一个解，则的值为
A．1B．2C．D．
【考点】一元二次方程的解
【分析】将方程的解代入方程中求解即可．
【解答】解：是方程的一个解，
，解得，
故选：．
7．新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年1月份一品牌的新能源车单台的生产成本是13万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降，3月份的生产成本为12.8万元．假设该公司今年一季度每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下降率为，则根据题意所列方程正确的是
A．B．
C．D．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】根据1月份一品牌的新能源车单台的生产成本下降率）月份的生产成本为12.8万元，进而列出方程即可．
【解答】解：设每个月生产成本的下降率为，则根据题意所列方程：
．
故选：．
8．把抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为
A．B．C．D．
【考点】二次函数图象与几何变换
【分析】抛物线的顶点坐标为，则把它向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的顶点坐标为，然后根据顶点式写出解析式．
【解答】解：把抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为．
故选：．
9．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是
A．B．C．D．
【考点】旋转的性质
【分析】首先根据旋转变换的性质求出，结合，即可解决问题．
【解答】解：由题意及旋转变换的性质得：，
，
，
故选：．
10．函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A．B．
C．D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象
【分析】根据所给二次函数和一次函数的解析式，再结合二次函数与一次函数的图象与性质对所给选项依次进行判断即可．
【解答】解：由所给一次函数图象可知，
，
即，
所以抛物线的开口向上，且对称轴．
故选项符合题意．
由所给一次函数图象可知，
，
即，
所以抛物线的开口向上，且对称轴．
故选项不符合题意．
由所给一次函数图象可知，
，
即，
所以抛物线的开口向下．
故选项不符合题意．
由所给一次函数图象可知，
，
即，
所以抛物线的开口向上．
故选项不符合题意．
故选：．
11．某农户想要用栅栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，另外三边用栅栏围成，若栅栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为 ，面积为 ，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是
A．B．C．D．
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【分析】利用长方形面积等于长乘宽计算即可．
【解答】解：由题意得：长方形靠墙的一边长为 ，则平行墙的边长为，
面积，
故选：．
12．已知抛物线经过点，，下列四个结论：
①抛物线的对称轴是；
②与同号：
③关于的一元二次方程的两根是，；
④当，抛物线上的两个点，，且时，．其中结论正确的个数是
A．1B．2C．3D．4
【考点】抛物线与轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；根与系数的关系
【分析】根据题意将点代入抛物线得到和的关系即可得到对称轴是；将点代入并结合即可得到和的关系式；结合点和对称轴即可得到与轴的另一个交点3，即可判定关于的一元二次方程的两根；将已知点代入得到关系式，结合整理得到，由得到的正负，即可求得的范围．
【解答】解：抛物线经过点，
，解得，
则，故①正确；
抛物线经过点，
，
，
，解得，
则与同号，故②正确；
抛物线经过点，且对称轴是，
抛物线与轴的交点为3，
则关于的一元二次方程的两根是，，故③正确；
抛物线上的两个点，，且，
，
整理得
，
，
，，，
，
，解得，故④正确；
故选：．
二．填空题（共4小题）
13．如果方程的两个实数根分别是、，那么 3 ．
【考点】根与系数的关系
【分析】由于方程的两个实数根分别是、，直接利用一元二次方程的根与系数的关系即可求解．
【解答】解：方程的两个实数根分别是、，
．
故答案为：3．
14．若函数是关于的二次函数．则常数的值是 ．
【考点】二次函数的定义
【分析】根据二次函数的定义即可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：是关于的二次函数，
，
解得：．
故答案为：．
15．抛物线的部分图象如图所示，其与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点坐标为 ．
【考点】二次函数的性质；抛物线与轴的交点
【分析】根据抛物线的对称性解答即可．
【解答】解：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
故答案为：．
16．抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是
【考点】二次函数的性质；抛物线与轴的交点
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，然后写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
而抛物线与轴的一个交点坐标为，
所以抛物线与轴的另一个交点坐标为，
所以当时，．
故答案为．
三．解答题（共8小题）
17．解方程：
（1）；
（2）．
【考点】解一元二次方程配方法
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用公式法解方程．
【解答】解：（1），
或，
所以，；
（2）△，
，
所以．
18．如图，△三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出△关于原点对称的△；
（2）请画出△绕顺时针旋转后的△并写出点的坐标．
【考点】作图旋转变换
【分析】（1）分别确定，，关于原点的对称点，，，再顺次连接，，，可得答案；
（2）分别确定，，绕原点顺时针旋转后的对应点，，，再顺次连接，，，再根据的位置可得答案．
【解答】解：（1）如图所示：△，即为所求；
（2）如图所示：△，即为所求；．
19．已知抛物线经过点和点．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；
（2）直接写出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值（或最小值）．
【考点】：二次函数的性质；：待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）把点和点坐标代入中得到关于、的方程组，然后解方程组求出、即可；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）、代入得，解得，
所以抛物线解析式为；
（2），
因为，
所以开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，函数的最小值为．
20．已知关于的方程．
（1）若该方程有一个根为，求的值；
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解
【分析】（1）将代入方程得到关于的方程求解即可；
（2）计算根的判别式的值得到△，然后根据根的判别式的意义即可证明结论．
【解答】（1）将代入方程可得：
，
解得：；
（2）证明：关于的方程，
△
，
对于任意实数，该方程总有两个不相等的实数根．
21．如图，与关于点中心对称，点，在线段上，且，求证：．
【考点】中心对称
【分析】根据中心对称的性质可得，，再利用等式的性质可得，然后再证明，利用全等三角形的性质可得．
【解答】证明：与关于点中心对称，
，，
，
，
，
在和中
，
，
．
22．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽；
（2）该扶贫单位想要建一个的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】（1）设，则，根据矩形的面积公式结合矩形养鸡场面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，分别代入中，取使得小于等于15的值即可得出结论；
（2）不能，理由如下，设，则，同（1）可得出关于的一元二次方程，由根的判别式△，即可得出结论．
【解答】解：（1）设，则，
依题意，得：，
解得：，．
当时，，符合题意，
当时，，，不合题意，舍去．
答：鸡场的长为，宽为．
（2）不能，理由如下：
设，则，
依题意，得：，
整理，得：．
△，
该方程无实数根，即该扶贫单位不能建成一个的矩形养鸡场．
23．2023年中国杭州获得第十九届亚运会主办权，作为唯一申办城市，杭州成为继北京和广州之后，中国第三个举办亚运会的城市，亚运之城喜迎五湖之客，很多商家都紧紧把握这一商机．某商家销售一批具有中国文化意义的吉祥玩具，已知每个玩具的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，在销售过程中发现，玩具每天的销售量（个与销售单价（元满足如图所示的一次函数关系．
（1）求与的函数关系式；
（2）当玩具的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）用待定系数法可得答案；
（2）设商家获得的利润为元，列出与的函数关系式，用二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）设，将，代入得：
，
解得，
，
销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，
，
与的函数关系式为；
（2）设商家获得的利润为元，
根据题意得：，
，抛物线对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
时，取最大值，最大值为（元，
当玩具的销售单价为72元时，该商家获得的利润最大，最大利润是2432元．
24．如图，已知抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，连接．
（1）求、、三点的坐标；
（2）若点为线段上的一点（不与、重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，当线段的长度最大时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点，使得为直角三角形，直接写出点的坐标．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）在抛物线解析式中，令可求得点坐标，令则可求得、的坐标；
（2）由、的坐标可求得直线的解析式为，则可表示出点坐标，则可求得的长，从而可用表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得当面积最大值时的值，可求得点坐标；
（3）由（2）可知点坐标，设点坐标为，则可用分别表示出、及，分点为直角顶点、点为直角顶点和点为直角顶点三种情况，分别根据勾股定理可得到关于的方程，可求出的值，可求得点坐标．
【解答】解：（1）对于，令，则，
，
令，则，解得：，，
，
；
（2）设的表达式为，则，解得，
直线的表达式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
时，最大，
此时点坐标，；
（3），
抛物线的对称轴为直线，
设，且，，，
，，
，
为直角三角形，
分点为直角顶点、点为直角顶点和点为直角顶点三种情况，
①当点为直角顶点时，则有
即，解得：，
此时点坐标为，
②当点为直角顶点时，则有，
即，解得：，，
此时点坐标为或，
③当点为直角顶点时，则有，
即，解得：，
此时点坐标为，
综上所述，点坐标为或或或．
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