2025届广东省广州市执信中学高三上学期第三次测试数学试卷

这是一份2025届广东省广州市执信中学高三上学期第三次测试数学试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ）
A．B．
C．D．
2．若复数满足，则（ ）
A．1B．-1C．D．16
3．若，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知向量集合，，则（ ）
A．B．C．D．
5．函数在区间上是增函数，且，，则函数在区间上（ ）
A．是增函数B．是减函数
C．可以取到最大值D．可以取到最小值
6．已知点P在抛物线M：上，过点P作圆C：的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（ ）
A．5B．C．6D．
7．设为等比数列，则“对于任意的，”是“为递减数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．如图，B地在A地的正东方向处，C地在B地的北偏东方向处，河流的沿岸（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远．现要在曲线上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、C两地修建公路的费用分别是a万元/、万元/，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）
A．万元B．万元C．万元D．万元
二、多选题
9．函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．有一组样本数据，添加一个数形成一组新的数据，且，则新的样本数据（ ）
A．第25百分位数不变的概率是
B．极差不变的概率是
C．平均值变大的概率是
D．方差变大的概率是
11．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2），则（ ）
A．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满
B．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
C．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P
D．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P
三、填空题
12．已知函数的导函数为，且满足，则 .
13．如图，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，.若，则的值为 .
14．对有个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体和（m是给定的正整数，且），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则 ；所有的和等于 .
四、解答题
15．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，．
(1)求的值；
(2)若的面积为，求AB边上的高．
16．如图，在四棱锥中，与交于点，点在平面内的投影为点，若为正三角形，且，．

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
17．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆与轴正半轴的交点为点，且为等腰直角三角形．
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知斜率为的直线与椭圆相切于点，点在第二象限，过椭圆的右焦点作直线的垂线，垂足为点，若，求椭圆的方程．
18．已知函数，，．
(1)若，求的极值；
(2)当时，讨论零点个数；
(3)当时，，求实数的取值范围．
19．将个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数．
(1)若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合；
(2)计算以下数列的逆序数．
（ⅰ）；
（ⅱ）；
(3)已知数列，，…，的逆序数为，求，，…，的逆序数．
参考答案：
1．A
【分析】函数的三要素：定义域，对应法则和值域；函数的三要素相同，则为同一个函数，判断函数的三要素即可求解.
【详解】对于，和的定义域都是，对应关系也相同，是同一个函数，故选项正确；
对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误；
对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误；
对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误，
故选：.
2．A
【分析】利用复数的运算法则即可得出.
【详解】解法一：设，则，
解得，所以，所以，
解法二：因为，所以，
解法三：方程两边同时平方，有，所以，
故选:A.
3．D
【分析】结合对数运算性质及对数函数的单调性比较的大小，结合基本不等式及对数函数单调性比较的大小，可得结论.
【详解】，
而，且．
所以，故．
故选：D.
4．C
【分析】运用交集概念，结合向量的坐标运算计算即可.
【详解】设，，
令，解得.
故
故选：C.
5．C
【分析】根据题意计算出当时，的取值范围，结合余弦函数的单调性可得出结论.
【详解】函数在区间上是增函数，且，，则当时，，
而函数在区间上先增后减，
所以，函数在区间上先增后减，当，该函数取到最大值.
故选：C.
【点睛】本题考查余弦型函数单调性的判断与应用，求出的取值范围是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.
6．C
【分析】根据点P的位置以及切线长可解得点横坐标为5，再由焦半径公式可得结果.
【详解】设点，由圆的方程可知圆心，半径；
又切线长为，可得，
即，解得，可得；
再由抛物线定义可得点P到M的准线的距离为.
故选：C
7．C
【分析】根据充分、必要条件、等比数列的单调性等知识进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设等比数列的公比为，
若，
当时，由得，
解得或，
若，则，此时与已知矛盾；
若，则，此时为递减数列.
当时，由得，
解得或，
若，则，此时与已知矛盾；
若，则，此时此时为递减数列.
反之，若为递减数列，则，
所以“对于任意的，”是“为递减数列”的充分必要条件.
故选：C
8．B
【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出曲线PQ的方程，再结合两点间距离公式求解作答.
【详解】以线段AB的中点O为原点，射线OB为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，如图，
则，令点为曲线PQ上任意一点，则，
因此曲线PQ是以点A，B为左右焦点，实轴长为2的双曲线右支，其方程为，
显然点C在曲线PQ含焦点B的区域内，设，，有，
修建这两条公路的总费用
，当且仅当时取等号，
由，且，解得，即时，
所以修建这两条公路的总费用最低是万元.
故选：B
【点睛】思路点睛：圆锥曲线上的点与一定点和焦点距离和的问题，借助两点间距离公式及点在曲线上进行化简变形即可推理求解.
9．ABD
【分析】利用分类讨论及函数的单调性与导数的关系，结合函数的性质即可求解.
【详解】由题意可知，函数的定义域为，
当时，，函数在上单调递增，故B正确；
当时，，，所以在上单调递增，故D正确；
当时，当时，；当时，；
故A正确；C错误.
故选：ABD.
10．BCD
【分析】根据题意得到取各个值的概率，结合极差、百分位数、平均数以及方差的概念与计算公式逐一判断即可.
【详解】由题意得，，，，
，，，
对于B，若极差不变，则，概率为，故B正确；
对于A，由于，所以原数据和新数据的第25百分位数均为第二个数，
所以，第25百分位数不变的概率是，故A错误；
对于C，原样本平均值为，平均值变大，则，概率为，故C正确；
对于D，原样本的方差为，
显然，当时，新数据方差变小，当时，新数据方差变大，
当时，新数据的平均数为，
方差为，
同理，当时，新数据的方差为，
所以方差变大的概率为，故D正确.
故选：BCD
11．ACD
【分析】根据题意，设图1中水的高度为，几何体的高为，底面正方形的边长为，利用水的体积，得出与的关系，从而结合选项即可逐一判断．
【详解】设图1中水的高度，几何体的高为，底面正方形的边长为；
则图2中水的体积为，即，解得，
所以正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半是错误的，即B错误．
对于A，往容器内再注入升水，水面将升高，则，容器恰好能装满，A正确；
对于C，当容器侧面水平放置时，点在长方体中截面上，占容器内空间的一半，
所以水面也恰好经过点，C正确；
对于D，任意摆放该容器，当水面静止时，点在长方体中截面上，始终占容器内空间的一半，所以水面都恰好经过点，D正确．
故选：ACD．
12．/
【分析】对原函数求导，将代入求即可.
【详解】由题设，则.
故答案为：
13．
【分析】由倍角公式和辅助角公式可得，由题意，再由三角函数的定义即可求.
【详解】圆的半径为1.
又，为等边三角形.
，且为锐角.
.
由三角函数的定义可得，.
故答案为：.
【点睛】本题考查三角函数的定义，倍角公式和辅助角公式，公式的熟练运用是解决问题的关键.
14． 6
【分析】利用组合的方法求出中随机抽取2个元素所有抽法及从总随机抽取2个元素所有的抽法，结合古典概型的概率公式，即可求解.
【详解】从中随机抽取2个元素，共有种不同的抽法，
从中随机抽取2个元素，共有种不同的抽法，
所以从每个子总体中个随机抽取2个元素组成样本所有的抽法，共有，
从中随机抽取2个元素，其中抽到1的抽法有种方法，
从中随机抽取2个元素，其中抽到的抽法有种方法，
由古典概型的概率计算公式，可得.
当时，，
而从中选两个数的不同方法数为，则的和为1；
当时，同理可得的和为1；
当时，，
而从中选取一个数，从中选一个数的不同的方法数为，
则的和为4，
所以.
故答案为：；.
【点睛】本题主要考查了概率的综合应用，以及排列、组合的应用，其中对于概率的计算的关键是判断出事件所属的概率模型，选择合适的概率公式进行计算，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由二倍角的正弦公式、正弦定理和余弦定理求解即可.
（2）由（1）求出，由同角三角函数的基本关系求出，最后由三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）∵，
∴，
由正余弦边角关系得，①，
又，②
由①②得，，
∴，∴
（2）由（1）得，，
（或由余弦定理得）
∵为锐角，∴，
∴的面积，
∴，
设边上的高为，
则的面积，
∴，即边上的高为.
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）分别证明与垂直后可得证线面垂直；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角．
【详解】（1）由题意可得，
，
，即．
又点在平面内的投影为点，
即平面，
又平面，，
又，，平面，
平面．
（2）由（1）可得，，两两垂直，建立以为原点如图所示的空间直角坐标系，如图所示，

设，
在中，由得，所以，因此中有，，
所以由 得，，
所以，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则有取得，
直线与平面所成角的正弦值为
．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的几何性质可得出，根据、、的关系可求得椭圆的离心率的值；
（2）由题意，设直线的方程为，设切点，将直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出、的等量关系，求出点的坐标，写出直线的方程，求出点的坐标，根据求出的值，即可得出椭圆的方程.
【详解】（1）解：设椭圆的半焦距为，由已知得点，
因为为等腰直角三角形，且为的中点，所以，即，
所以，有．
（2）解：由（1）知，设椭圆方程为，
因为切点在第二象限，且直线的斜率为，
设直线的方程为，设点，
因为直线与椭圆相切，联立可得，
由，可得，即，
所以，，，所以，
因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
则直线的方程为，
联立，可得，即点，
又因为、，
有，，
．
所以，所以椭圆的方程为．
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
18．(1)极大值，无极小值
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）对求导，根据导数的正负得出单调区间，进而得出极值；
（2）对求导，根据导数的正负得出单调区间，进而得出最小值，设，再根据导数确定的正负，结合，当时，，即可得出零点情况；
（3）将问题转化为，当时，，设，根据导数确定单调性，再根据当时，，所以，即可求解．
【详解】（1）当时，，则，
令，解得，
当时，，则在单调递增，
当x∈0,+∞时，，则在0,+∞单调递减，
所以有极大值，无极小值．
（2），
令，则，因为，所以，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以，
设，则，
因为，所以，所以在单调递减，
又因为，
所以当时，，则，无零点；
当时，，有1个零点，
当时，，又，当时，，有2个零点．
（3），
因为时，，
所以，
两边同时取自然对数得，，
当时，成立，
当时，，则，
设，
则，
设，
则，
设，
则，
设，
则，所以在0,+∞单调递增，
又，所以，
所以，则在0,+∞单调递增，
又，所以，
所以，则在0,+∞单调递增，
又，所以，
所以，则在0,+∞单调递增，
又当时，，所以，
所以．
19．(1)，，，，
(2)（ⅰ）4950；（ⅱ）答案见解析
(3)
【分析】（1）根据逆序的定义求解即可；
（2）（ⅰ）由数列an为单调递减数列，即可得到逆序数；
（ⅱ）当为奇数时，，当为偶数时，，由此分析，即可得逆序数；
（3）在数列，，…，中，若与后面个数构成个逆序对，则有不构成逆序对，即可得到答案.
【详解】（1）由1，2，3，4构成的逆序对有，，，，，．
若第一个数为4，则至少有3个逆序对；
若第二个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为；
若第三个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为或；
若第四个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为或．
综上，符合条件的数列组合有：
，，，，．
（2）（ⅰ）因为an为单调递减数列，
所以逆序数为．
（ⅱ）当为奇数时，
当为偶数时，
，
所以，
当为奇数时，逆序数为
，
当为偶数时，逆序数为
．
（3）在数列，，…，中，若与后面个数构成个逆序对，
则有不构成逆序对，
所以在数列，，…，中，逆序数为
．
【点睛】方法点睛：本题考查数列的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
D
C
C
C
C
B
ABD
BCD
题号
11









答案
ACD