05 第43讲　直线、平面垂直的判定与性质 【正文】听课 高考数学二轮复习练习

这是一份05 第43讲　直线、平面垂直的判定与性质 【正文】听课 高考数学二轮复习练习，共9页。试卷主要包含了三垂线定理及逆定理等内容，欢迎下载使用。

1.直线与平面垂直
(1)定义:如果直线l与平面α内的 都垂直,就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫作平面α的 ,平面α叫作直线l的 .
(2)直线与平面垂直的判定与性质
2.平面与平面垂直
(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是 ,就说这两个平面互相垂直.
(2)两个平面垂直的判定与性质
(续表)
常用结论
1.与线面垂直相关的常用结论:
(1)两条平行直线中的一条直线与一个平面垂直,则另一条直线也与这个平面垂直;
(2)一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个平面也垂直;
(3)过空间一点有且仅有一条直线与已知平面垂直;
(4)过空间一点有且仅有一个平面与已知直线垂直.
2.三种垂直关系的转化:
线线垂直线面垂直面面垂直
3.三垂线定理及逆定理
(1)定理:若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直.
(2)逆定理:若平面内的一条直线与平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
题组一 常识题
1.[教材改编] 已知PD垂直于菱形ABCD所在的平面,连接PA,PB,PC,AC,BD,则一定互相垂直的平面有 对,与AC垂直的直线有 条.
2.[教材改编] 若平面α⊥平面β,且α∩β=l,则下列说法中正确的序号是 .
①平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线;
②平面α内的直线必垂直于平面β内的无数条直线;
③平面α内的任意一条直线必垂直于平面β;
④过平面α内任意一点作交线l的垂线,则此垂线必垂直于平面β.
3.[教材改编] 在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC上的射影为点O.
(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的 心;
(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的 心.
题组二 常错题
◆索引:证明线面垂直时,易忽视平面内两条直线为相交直线这一条件;忽略线面垂直、面面垂直的条件致误;面面垂直的判定中找不到哪个面和哪条线垂直;注意排除由平面到空间的思维定势的影响.
4.“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)
5.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,现有以下说法:
①若α∥β,n⊂α,m⊂β,则m∥n;
②若m⊥α,m⊥β,n⊥α,则n⊥β;
③若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β;
④若m∥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n;
⑤若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n.
其中正确说法的序号为 .
6.如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形,PA=a,PB=PD=2a,则它的5个面中,互相垂直的面有 对.
7.在△ABC中,∠BAC=90°,P为平面ABC外的一点,且PA=PB=PC,则平面PBC与平面ABC (填“一定”或“不一定”)垂直.
垂直关系的基本问题
例1 (1)[2024·河南名校联考] 已知α,β是两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,下列说法正确的是( )
A.若m∥β,则α∥β
B.若l⊂β,m∥l,则m∥β
C.若α⊥β,则m⊥β
D.若m⊥β,则α⊥β
(2)如图所示,AC为圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,B为圆周上不与点A,C重合的点,AS⊥PC于点S,AN⊥PB于点N,则下列说法不正确的是( )
A.平面ANS⊥平面PBC
B.平面ANS⊥平面PAB
C.平面PAB⊥平面PBC
D.平面ABC⊥平面PAC
总结反思
解决空间中线面、面面垂直的基本问题有以下几种方法:(1)依据定理得出结论;(2)可结合符合题意的图形进行判断;(3)否定命题时只需举一个反例.
变式题 (1)[2023·重庆二模] 已知l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,则下列四个说法正确的是( )
A.若l∥α,且m∥α,则l⊥m
B.若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m∥n
C.若m∥l,且m⊥α,则l⊥α
D.若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β
(2)(多选题)如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,AC与EF交于点G,现沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么在这个空间图形中必有( )
A.AG⊥平面EFH
B.AH⊥平面EFH
C.EF⊥平面AGH
D.HG⊥平面AEF
线面垂直的判定与性质
例2 [2024·九省联考] 如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD的交点,AA1=2,∠C1CB=∠C1CD,∠C1CO=45°.证明:C1O⊥平面ABCD.


总结反思
解决直线与平面垂直问题的常用方法:①利用线面垂直的定义;②利用线面垂直的判定定理;③利用线面垂直的性质定理;④利用面面平行的性质;⑤利用面面垂直的性质定理.
变式题 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E为AD的中点.
求证:(1)PE⊥BC;
(2)平面PAB⊥平面PCD.


面面垂直的判定与性质
例3 如图所示,在三棱柱A'B'C'-ABC中,AA'⊥平面ABC,AB=AC,BC=2AA',D,E分别是BC,BB'的中点.证明:平面AC'D⊥平面ADE.


总结反思
(1)利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法是:先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中存在这样的直线,则可通过线面垂直来证明面面垂直;若图中不存在这样的直线,则可通过作辅助线来解决,而作辅助线应有理论根据并有利于证明.
(2)证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的.
变式题 [2024·福州一模] 如图所示,在底面为菱形的四棱锥M-ABCD中,AD=BD=MB=2,MA=MD=2.求证:平面MAD⊥平面ABCD.


平行垂直关系的综合问题
例4 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,AD⊥DC,且AB=AD=1,PD=DC=2,E是PC上一点.过A,B,E三点的平面交侧面PDC于l.
(1)求证:AB∥l.
(2)若E为PC的中点,在线段PB上是否存在一点Q,使得平面PDC⊥平面DEQ?若存在,求出PBQB的值;若不存在,请说明理由.类别
语言表述
图形表示
符号语言
应用
判定
根据定义,证明一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线
b是平面α内的任意一条直线,a⊥b⇒a⊥α
证明
直线
和平
面垂
直
如果一条直线与一个平面内的 垂直,那么该直线与此平面垂直
a,b⊂α,a⋂b=O,l⊥a,l⊥b
⇒l⊥α
如果两条平行直线中的 垂直于一个平面,那么 也垂直于这个平面
a⊥α,a∥b⇒b⊥α
性质
如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内的 都垂直
b⊂α,a⊥α⇒a⊥b
证明
直线
与直
线垂
直
垂直于同一个 的两条直线平行
a⊥α,b⊥α⇒a∥b
证明直线
与直线平行
类别
语言表述
图形表示
符号表示
应用
判定
根据定义,证明两平面所成的二面角是
∠AOB是二面角α-l-β的平面角,且 ,则α⊥β
证明
两个
平面
垂直
如果一个平面过另一个平面的 ,那么这两个平面垂直
l⊂β,l⊥α⇒α⊥β
类别
语言表述
图形表示
符号表示
应用
性质
如果两个平面垂直,那么它们所成 是直角
α⊥β,∠AOB是二面角α-l-β的平面角,则
证明
两条
直线
垂直
两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的 ,那么这条直线与另一个平面
α⊥β,α⋂β=b,a⊂β,a⊥b
⇒a⊥α
证明
直线
与平
面垂
直
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总结反思
垂直关系综合问题的解题方法:
(1)对于三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.
(2)对于垂直与平行结合的问题,应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.
(3)对于存在性问题,可以利用所给垂直条件先求出点的位置,再进行位置关系证明或求角.
变式题 如图所示,已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面,EP=3,BP=2,AD=AE=1,AE⊥EP,AE∥BP,F,G分别是BC,BP的中点.
(1)设过P,E,C三点的平面为α,求证:平面AFG∥平面α;
(2)求四棱锥D-ABPE与三棱锥P-BCD的体积之比.