07 第45讲　空间角 【答案】听课 高考数学二轮复习练习

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【知识聚焦】
1.(1)角(或夹角) (2)0,π2 2.(2)0,π2
3.(1)垂直于棱l (3)②不大于90°
【对点演练】
1.23015 [解析] 设直线a与平面α所成的角为θ,则sin θ=|a·b||a||b|=46×5=23015.
2.45° [解析] ∵cs=m·n|m||n|=11×2=22,∴=45°,故这两个平面的夹角为45°.
3.155 [解析] 以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则O(1,1,0),E(0,2,1),F(1,0,0),D1(0,0,2),∴FD1=(-1,0,2),OE=(-1,1,1),∴cs=FD1·OE|FD1||OE|=1+0+25×3=155,故异面直线OE与FD1所成角的余弦值为155.
4.30° [解析] 设l与α所成的角为θ,∵cs=-12,∴sin θ=|cs|=12,又0°≤θ≤90°,∴θ=30°.
5.34 [解析] 以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B(0,1,0),S(0,0,3),C32,-12,0,所以AS=(0,1,3),BC=32,-32,0,所以cs=AS·BC|AS||BC|=-34,则SA与BC所成角的余弦值为34.
6.13 -23 [解析] 建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,1),C1(0,2,1),A1(1,0,1),B(1,2,0),∴D1C1=(0,2,0),A1C1=(-1,2,0),A1B=(0,2,-1).设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则n·A1C1=0,n·A1B=0,即-x+2y=0,2y-z=0,令y=1,得n=(2,1,2).设D1C1与平面A1BC1所成的角为θ,则sin θ=|cs|=|D1C1·n||D1C1||n|=22×3=13,即直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为13.易知平面A1C1D1的一个法向量为m=(0,0,1),∴cs=m·n|m||n|=21×3=23.由图可知,二面角B-A1C1-D1为钝角,故二面角B-A1C1-D1的余弦值为-23.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)思路一:在长方体中建立空间直角坐标系,利用向量法求异面直线所成的角;思路二:在长方体中,通过补充新的长方体,结合平行关系,将异面直线转化在同一平面中,利用解三角形求异面直线所成的角.(2)思路一:连接PC,BC,由O是AB的中点,M为AC的中点,得出OM∥BC,所以∠PBC(或其补角)即为异面直线OM与PB所成的角,由∠BOC=π2,求得BC=22,则△PBC为等边三角形,即∠PBC=π3,即可得出结果;思路二:以O为坐标原点,以OC,OB,OP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,求得PB=(0,2,-2),OM=(1,-1,0),进而可得PB与OM的夹角,即可求得异面直线OM与PB所成的角.
(1)A [解析] 方法一:以A为坐标原点,以AB,AD,AA1的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(0,0,4),F(2,2,0),B1(4,0,4),E(0,1,4),所以A1F=(2,2,-4),B1E=(-4,1,0).设异面直线A1F与B1E所成的角为θ,则cs θ=A1F·B1E|A1F||B1E|=-626×17=10234.故选A.
方法二:补充长方体CDMN-C1D1M1N1,如图所示,其中C1N1=B1C1,取P为B1C1的中点,Q为MN的中点,连接D1Q,D1P,PQ,则∠PD1Q(或其补角)即为异面直线A1F与B1E所成的角.由题知D1P=B1E=17,D1Q=A1F=26,PQ=29,所以cs∠PD1Q=D1P2+D1Q2-PQ22·D1P·D1Q=10234.故选A.
(2)解:方法一:连接PC,BC,如图所示,由题知O是AB的中点,M为AC的中点,所以OM∥BC,
所以∠PBC(或其补角)即为异面直线OM与PB所成的角.因为∠BOC=π2,所以BC=OB2+OC2=22,
所以△PBC为等边三角形,所以∠PBC=π3,
所以异面直线OM与PB所成的角的大小为π3.
方法二:易知OC,OB,OP两两垂直,以O为坐标原点,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则O(0,0,0),A(0,-2,0),C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2).因为M为AC的中点,所以M(1,-1,0),所以PB=(0,2,-2),OM=(1,-1,0).设异面直线OM与PB所成的角为θ0