09 增分微课4　空间中的动态问题 【正文】听课 高考数学二轮复习练习

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立体几何中的动态问题的主要题型有三大类:
(1)动点在某直线或平面上运动,即动点轨迹(长度)问题;
(2)平面的旋转与翻折形成的几何问题,即动面问题;
(3)多面体表面距离最短之“蚂蚁觅食”问题,即折线段和最短问题.
动点轨迹问题
空间中的动点问题是指在一定的约束条件下,点的位置发生变化,在变化过程中找出规律,将动点问题转化为“定点”问题、将空间问题转化为平面问题、将立体几何的问题转化为平面几何的问题等.点的位置在变化的过程中,有些量或位置关系是不变的,比如点到平面的距离不变,从而使几何体的体积不变;动点与另外一定点的连线与某条直线始终垂直,或与某个平面始终平行.在证明体积为定值、位置关系时,要动中寻定,将动态的问题静态化:将动点转化为定点,寻找动直线所在的确定平面,用平面几何的知识解决问题.
例1 已知正四面体ABCD中,动点P在△ABC内,且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等,则动点P的轨迹为( )
A.椭圆的一部分
B.双曲线的一部分
C.抛物线的一部分
D.一条线段
例2 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E是DD1的中点,点M是侧面B1BCC1内一动点,若D1M∥平面A1BE,则点M的轨迹长度为 .
总结反思
解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法:
(1)几何法:根据平面几何的性质进行判定.
(2)定义法:转化为平面上的轨迹问题,用圆锥曲线的定义判定,或用代数法进行计算.
(3)利用函数观点探求轨迹,其中可以根据空间图形线段长度关系取特殊值或特殊位置进行排除.
折叠与旋转问题
图形的折叠和旋转必然会引起部分元素位置关系的变化,求解这类问题要注意对变化前后线线、线面位置关系,所成角及距离等加以比较,一般来说,位于棱的两侧的同一半平面内的元素其相对位置关系和数量关系在翻折前后不发生变化,分别位于两个半平面内的元素其相对位置关系和数量关系发生变化.不变量可结合原图形求解,变化了的量应在折叠后的立体图形中来求解.
例3 (1)(多选题)[2024·福州一中模拟] 如图①,在四边形ABCD中,△ADC和△ABC是全等三角形,∠ABC=90°,∠BAC=60°,AB=2.下面有两种折叠方法将四边形ABCD折成三棱锥.折法一:将△ADC沿着AC折起,形成三棱锥D1-ABC,如图②;折法二:将△ABD沿着BD折起,形成三棱锥A1-BCD,如图③.下列说法正确的是( )
A.按照折法一,三棱锥D1-ABC的外接球的表面积恒为16π
B.按照折法一,存在D1满足AB⊥CD1
C.按照折法二,三棱锥A1-BCD体积的最大值为3
D.按照折法二,存在A1满足A1C⊥平面A1BD,且此时BC与平面A1BD所成角的正弦值为33
(2)将等腰直角三角形ABD绕底边BD旋转,旋转后的三角形记为△CBD,且二面角A-BD-C的大小为60°,则直线AB与平面BCD所成角的正弦值为 .
总结反思
解答折叠、旋转问题的关键在于画好折叠、展开前后的平面图形与立体图形,抓住两个关键点:不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系,尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系
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(进群送往届全部资料)是证明空间平行、垂直关系的起点和重要依据;不变的数量关系是求解几何体的数字特征的重要依据.
最值、范围问题
立体几何题中经常会涉及角度、距离、面积、体积最大值、最小值的计算,这往往都是在动态变化中产生的.理解变化过程,应用函数思想是解决这类问题的关键.
例4 (1)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,P为棱C1D1上的动点,则直线PB与平面CC1D1D所成角的正弦值的取值范围是( )
A.33,22B.12,33
C.63,32D.66,33
(2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,动点P在体对角线BD1上,则顶点B到平面APC距离的最大值为( )
A.3B.32C.2D.22
总结反思
在动态变化过程中产生的体积最大(小)、距离最大(小)、角的范围等问题,常用的解题思路是:①直观判断:在变化过程中判断点、线、面在何位置时,所求的量有相应最大、最小值,即可求解;②函数思想:通过建系或引入变量,把这类动态问题转化为目标函数,再利用代数方法求目标函数的最值.