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02 第56讲 用样本估计总体 【答案】听课 高考数学二轮复习练习
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这是一份02 第56讲 用样本估计总体 【答案】听课 高考数学二轮复习练习，共7页。
【知识聚焦】
1.(2)①最大值 最小值 ②组距 组数 ③分组
④频率分布表 ⑤频率分布直方图
2.(1)1n(x1+x2+…+xn) (2)从小到大(或从大到小)
中间 (3)最多 (4)①小于或等于 大于或等于 ②从小到大 n×p% j 平均数
【对点演练】
1.4.5 5.5 [解析] 由题意得中位数m=4+52=4.5,而10×60%=6,则60%分位数a=5+62=5.5.
2.70 [解析] 由频率分布直方图得,数据在区间[6,10)上的频率为1-(0.025+0.050+0.075)×2=0.7,∵容量为100,∴数据在区间[6,10)上的频数为0.7×100=70.
3.丙 [解析] 从表格中可以看出乙和丙的平均环数最高,即平均成绩最好,又乙、丙两人之间,丙的方差较小,所以丙发挥得比乙稳定,故最佳人选应为丙.
4.7 8.5 [解析] 由题意知,这10名学生的得分为3,6,6,6,6,6,7,8,9,10,其极差是10-3=7,因为10×80%=8,所以80%分位数是8+92=8.5.
5.3 [解析] 由题意可得,3x1-1,3x2-1,3x3-1,3x4-1,3x5-1的方差是9×13=3.
6.70 70 68 [解析] 由题意知众数为60+802=70.因为0.005×20+0.010×20=0.3<0.5,(0.005+0.010+0.020)×20=0.7>0.5,所以中位数位于[60,80)内,设中位数为x,则(0.005+0.010)×20+(x-60)×0.020=0.5,解得x=70.平均数为30×0.1+50×0.2+70×0.4+90×0.3=68.
7.变大 变大 不变 [解析] ∵数据x1,x2,x3,…,xn是某市n(n≥10,n∈N*)个普通职工的年收入,xn+1为世界首富的年收入,∴xn+1远大于x1,x2,x3,…,xn,故这(n+1)个数据中,年收入的平均数变大,方差变大,众数不变.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)对于A,直接求出中位数;对于B,分别计算出甲、乙每日行走步数的极差,判断即可;对于C,通过观察折线图即可判断;对于D,将乙的每日行走步数从小到大排列,再计算上四分位数即可.(2)根据扇形图和条形图,利用频率与样本容量的关系计算出这两年A,B,C,D,E五个等级的苹果产量情况,逐项进行分析可得到答案.
(1)AB (2)B [解析] (1)对于A,甲的每日行走步数依次为16 000,7965,12 700,2435,16 800,9500,11 600,从小到大排列为2435,7965,9500,11 600,12 700,16 000,16 800,则中位数是11 600,故A正确;对于B,这一星期内甲的每日行走步数的极差为16 800-2435=14 365,这一星期内乙的每日行走步数的极差为14 200-5340=8860,因为14 365>8860,所以这一星期内甲的每日行走步数的极差大于乙的每日行走步数的极差,故B正确;对于C,由图知甲数据的波动幅度更大,则乙的每日行走步数的方差小于甲的每日行走步数的方差,故C错误;对于D,乙的每日行走步数从小到大排列为5340,7030,10 060,11 600,12 300,12 970,14 200,7×75%=5.25,则这一星期内乙的每日行走步数的上四分位数是12 970,故D错误.故选AB.
(2)设2021年的苹果产量为a,则2022年的苹果产量为2a,所以2021年A,B,C,D,E五个等级的苹果产量分别为0.28a,0.32a,0.3a,0.08a,0.02a,2022年A,B,C,D,E五个等级的苹果产量分别为0.48a,0.8a,0.56a,0.12a,0.04a.对于选项A,因为0.28a<0.48a,所以2022年A等级的苹果产量比2021年多,A错误;对于选项B,因为,所以2022年B等级的苹果产量是2021年的2.5倍,B正确;对于选项C,因为,所以2022年D等级的苹果产量是2021年的1.5倍,C错误;对于选项D,因为0.02a≠0.04a,所以2022年E等级的苹果产量与2021年不同,D错误.故选B.
变式题 (1)C (2)AC [解析] (1)对于A,由题中左图知,样本中男性人数多于女性人数,从而男性比女性更关注地铁建设,故A中结论正确;对于B,由题中右图知,女性中35岁以上的占多数,则样本中多数女性是35岁以上,所以关注地铁建设的女性多数是35岁以上,故B中结论正确;对于C,由题中左图知,男性人数多于女性人数,由题中右图知,35岁以下的男性占男性总人数的比例比35岁以上的女性占女性总人数的比例小,所以无法判断35岁以下的男性人数与35岁以上的女性人数的多少,故C中结论不一定正确;对于D,由题中右图知,样本中35岁以上的人对地铁建设关注度更高,故D中结论正确.故选C.
(2)根据题图可得,甲同学的逻辑思维成绩排名很靠前但总成绩排名靠后,说明阅读表达成绩排名靠后,所以甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前,故A正确;乙同学的总成绩排名比逻辑思维成绩排名靠前,说明阅读表达成绩排名靠前,所以乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠后,故B错误;根据题图,可得甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学最靠前,但甲的总成绩排名最靠后,所以在甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩排名中,甲同学最靠后,故C正确;由图可知,甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠后,故D错误.故选AC.
例2 [思路点拨] (1)设这20名学生的得分分别是x1,x2,x3,…,x20,利用平均数和方差的计算公式可得正确的选项.(2)对于A选项,由频率分布直方图的各组频率之和等于1,得到关于x的方程,解方程即可得x的值;对于B选项,由百分位数的计算方法求解即可;对于C选项,频率分布直方图中,平均数的估计值等于各组区间中点值乘各组对应的频率之和;对于D选项,先计算中位数所在区间,再利用中位数对应频率为0.5即可求解.(3)先将16个城市的人口数从小到大排序,再根据百分位数的计算方法求解即可.
(1)B (2)AB (3)880 [解析] (1)设这20名学生的得分分别是x1,x2,x3,…,x20,则20m=x1+x2+…+x20,21m'=x1+x2+…+x20+m=21m,故m=m'.因为20n=(x1-m)2+(x2-m)2+(x3-m)2+…+(x20-m)2,21n'=(x1-m)2+(x2-m)2+(x3-m)2+…+(x20-m)2+(m'-m)2,因为m=m',所以20n=21n'.故选B.
(2)由题得10×(0.005+x+0.035+0.030+0.010)=1,解得x=0.020,A正确;前三个小矩形的面积之和为(0.005+0.020+0.035)×10=0.6,前四个小矩形的面积之和为1-0.010×10=0.9,所以估计这组数据的第80百分位数为80+0.8-×10≈86.67,B正确;估计这组数据的平均数为10×(55×0.005+65×0.020+75×0.035+85×0.030+95×0.010)=77,C不正确;由频率分布直方图可知,前两个小矩形的面积之和为0.005×10+0.020×10=0.25<0.50,前三个小矩形的面积之和为0.005×10+0.020×10+0.035×10=0.60>0.50,则中位数在[70,80)内,所以估计这组数据的中位数为70+0.5-×10≈77.14,D不正确.故选AB.
(3)由题意,将16个城市的人口数从小到大排列为219,291,297,386,393,470,547,561,595,710,836,880,920,939,1007,1102.因为16×70%=11.2,所以该组数据的70%分位数是第12个数据,即为880,所以该组数据的70%分位数为880.
变式题 (1)C (2)ABC (3)c>a>b [解析] (1)将这5个数据由小到大排序.因为中位数是10,所以第三个数是10,又因为众数是11,所以第四、五个数是11.因为极差是3,所以第一个数是8.因为众数唯一,所以第二个数是9.故这五个数从小到大排序是8,9,10,11,11,因为5×60%=3,所以该组数据的第60百分位数是10+112=10.5.故选C.
(2)由已知得,甲射击 10 次中靶环数分别为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7,将它们从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9.乙射击 10 次中靶环数分别为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10,将它们从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.甲的中靶环数的平均数x1=110×(5+6×2+7×4+8×2+9)=7,乙的中靶环数的平均数x2=110×(2+4+6+7×2+8×2+9×2+10)=7,甲的中靶环数的方差s12=110×[(5-7)2+(6-7)2×2+(7-7)2×4+(8-7)2×2+(9-7)2]=110×(4+2+0+2+4)=1.2,乙的中靶环数的方差s22=110×[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(7-7)2×2+(8-7)2×2+(9-7)2×2+(10-7)2]=5.4.A中,甲的中靶环数的平均数等于乙的中靶环数的平均数,故A正确;B中,因为s12(3)将数据按从小到大的顺序排列,得93,93,94,94,95,95,96,97,97,97,所以a=93+93+94+94+95+95+96+97+97+9710=95110=95.1,b=95+952=95,c=97,所以c>a>b.
例3 [思路点拨] (1)对于A,B,分别计算相应矩形的面积进而可得结论;对于C,验证中位数是否为5h即可;对于D,根据频率分布直方图计算平均数的方法求解即可.(2)①用频率估计概率即可;②分别根据平均数和方差的计算公式求解即可.
(1)BD [解析] 对于A,该校高中学生平均每周英语训练时间不足4 h的人数为(0.03×2+0.10×2)×5000=1300,故A错误;对于B,估计该校高中学生平均每周英语训练时间不少于8 h的人数所占比例为0.08×2+0.03×2=0.22=22%,故B正确;对于C,假设该校高中学生平均每周英语训练时间的中位数为5 h,而训练时间小于5 h的频率为0.03×2+0.10×2+12×0.14×2=0.4,与频率为0.5矛盾,所以平均每周英语训练时间的中位数不为5 h,故C错误;对于D,估计该校高中学生平均每周英语训练时间为0.03×2×1+0.10×2×3+0.14×2×5+0.12×2×7+0.08×2×9+0.03×2×11=5.84(h),故D正确.故选BD.
(2)解:①∵(0.004+0.008+0.016+0.034+m+0.008+0.004+0.002)×10=1,∴m=0.024,故估计事件A发生的概率为(0.024+0.008+0.004+0.002)×10=0.38.
②估计本次数学考试成绩的平均数为(75×0.004+85×0.008+95×0.016+105×0.034+115×0.024+125×0.008+135×0.004+145×0.002)×10=106.6,估计本次数学考试成绩的方差为(998.56×0.004+466.56×0.008+134.56×0.016+2.56×0.034+70.56×0.024+338.56×0.008+806.56×0.004+1474.56×0.002)×10=205.44.
变式题 (1)AB (2)C [解析] (1)对于A,由题得(0.01+0.02+0.04+x+0.005)×10=1,解得x=0.025,故A正确;对于B,设80%分位数为N,易知N落在区间[80,90)中,则(0.01+0.02+0.04)×10+0.025×(N-80)=0.8,解得N=84,故B正确;对于C,估计全市初二学生数学水平分数为60分以下的人数占比为0.1,则全市初二学生数学水平分数低于60分的人数约为
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(2)由题意得,年夜饭消费金额在(2400,3200]内的频率为35100=0.35>13,故A中说法正确;若该地区有2000个家庭,则估计年夜饭消费金额超过2400元的家庭个数为2000×35+8+4100=940,故B中说法正确;估计该地区家庭年夜饭消费金额的平均数为400×0.08+1200×0.2+2000×0.25+2800×0.35+3600×0.08+4400×0.04=2216(元),故C中说法不正确;估计该地区家庭年夜饭消费金额的中位数为1600+2225×800=2304(元),故D中说法正确.故选C.
【知识聚焦】
1.(2)①最大值 最小值 ②组距 组数 ③分组
④频率分布表 ⑤频率分布直方图
2.(1)1n(x1+x2+…+xn) (2)从小到大(或从大到小)
中间 (3)最多 (4)①小于或等于 大于或等于 ②从小到大 n×p% j 平均数
【对点演练】
1.4.5 5.5 [解析] 由题意得中位数m=4+52=4.5,而10×60%=6,则60%分位数a=5+62=5.5.
2.70 [解析] 由频率分布直方图得,数据在区间[6,10)上的频率为1-(0.025+0.050+0.075)×2=0.7,∵容量为100,∴数据在区间[6,10)上的频数为0.7×100=70.
3.丙 [解析] 从表格中可以看出乙和丙的平均环数最高,即平均成绩最好,又乙、丙两人之间,丙的方差较小,所以丙发挥得比乙稳定,故最佳人选应为丙.
4.7 8.5 [解析] 由题意知,这10名学生的得分为3,6,6,6,6,6,7,8,9,10,其极差是10-3=7,因为10×80%=8,所以80%分位数是8+92=8.5.
5.3 [解析] 由题意可得,3x1-1,3x2-1,3x3-1,3x4-1,3x5-1的方差是9×13=3.
6.70 70 68 [解析] 由题意知众数为60+802=70.因为0.005×20+0.010×20=0.3<0.5,(0.005+0.010+0.020)×20=0.7>0.5,所以中位数位于[60,80)内,设中位数为x,则(0.005+0.010)×20+(x-60)×0.020=0.5,解得x=70.平均数为30×0.1+50×0.2+70×0.4+90×0.3=68.
7.变大 变大 不变 [解析] ∵数据x1,x2,x3,…,xn是某市n(n≥10,n∈N*)个普通职工的年收入,xn+1为世界首富的年收入,∴xn+1远大于x1,x2,x3,…,xn,故这(n+1)个数据中,年收入的平均数变大,方差变大,众数不变.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)对于A,直接求出中位数;对于B,分别计算出甲、乙每日行走步数的极差,判断即可;对于C,通过观察折线图即可判断;对于D,将乙的每日行走步数从小到大排列,再计算上四分位数即可.(2)根据扇形图和条形图,利用频率与样本容量的关系计算出这两年A,B,C,D,E五个等级的苹果产量情况,逐项进行分析可得到答案.
(1)AB (2)B [解析] (1)对于A,甲的每日行走步数依次为16 000,7965,12 700,2435,16 800,9500,11 600,从小到大排列为2435,7965,9500,11 600,12 700,16 000,16 800,则中位数是11 600,故A正确;对于B,这一星期内甲的每日行走步数的极差为16 800-2435=14 365,这一星期内乙的每日行走步数的极差为14 200-5340=8860,因为14 365>8860,所以这一星期内甲的每日行走步数的极差大于乙的每日行走步数的极差,故B正确;对于C,由图知甲数据的波动幅度更大,则乙的每日行走步数的方差小于甲的每日行走步数的方差,故C错误;对于D,乙的每日行走步数从小到大排列为5340,7030,10 060,11 600,12 300,12 970,14 200,7×75%=5.25,则这一星期内乙的每日行走步数的上四分位数是12 970,故D错误.故选AB.
(2)设2021年的苹果产量为a,则2022年的苹果产量为2a,所以2021年A,B,C,D,E五个等级的苹果产量分别为0.28a,0.32a,0.3a,0.08a,0.02a,2022年A,B,C,D,E五个等级的苹果产量分别为0.48a,0.8a,0.56a,0.12a,0.04a.对于选项A,因为0.28a<0.48a,所以2022年A等级的苹果产量比2021年多,A错误;对于选项B,因为,所以2022年B等级的苹果产量是2021年的2.5倍,B正确;对于选项C,因为,所以2022年D等级的苹果产量是2021年的1.5倍,C错误;对于选项D,因为0.02a≠0.04a,所以2022年E等级的苹果产量与2021年不同,D错误.故选B.
变式题 (1)C (2)AC [解析] (1)对于A,由题中左图知,样本中男性人数多于女性人数,从而男性比女性更关注地铁建设,故A中结论正确;对于B,由题中右图知,女性中35岁以上的占多数,则样本中多数女性是35岁以上,所以关注地铁建设的女性多数是35岁以上,故B中结论正确;对于C,由题中左图知,男性人数多于女性人数,由题中右图知,35岁以下的男性占男性总人数的比例比35岁以上的女性占女性总人数的比例小,所以无法判断35岁以下的男性人数与35岁以上的女性人数的多少,故C中结论不一定正确;对于D,由题中右图知,样本中35岁以上的人对地铁建设关注度更高,故D中结论正确.故选C.
(2)根据题图可得,甲同学的逻辑思维成绩排名很靠前但总成绩排名靠后,说明阅读表达成绩排名靠后,所以甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前,故A正确;乙同学的总成绩排名比逻辑思维成绩排名靠前,说明阅读表达成绩排名靠前,所以乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠后,故B错误;根据题图,可得甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学最靠前,但甲的总成绩排名最靠后,所以在甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩排名中,甲同学最靠后,故C正确;由图可知,甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠后,故D错误.故选AC.
例2 [思路点拨] (1)设这20名学生的得分分别是x1,x2,x3,…,x20,利用平均数和方差的计算公式可得正确的选项.(2)对于A选项,由频率分布直方图的各组频率之和等于1,得到关于x的方程,解方程即可得x的值;对于B选项,由百分位数的计算方法求解即可;对于C选项,频率分布直方图中,平均数的估计值等于各组区间中点值乘各组对应的频率之和;对于D选项,先计算中位数所在区间,再利用中位数对应频率为0.5即可求解.(3)先将16个城市的人口数从小到大排序,再根据百分位数的计算方法求解即可.
(1)B (2)AB (3)880 [解析] (1)设这20名学生的得分分别是x1,x2,x3,…,x20,则20m=x1+x2+…+x20,21m'=x1+x2+…+x20+m=21m,故m=m'.因为20n=(x1-m)2+(x2-m)2+(x3-m)2+…+(x20-m)2,21n'=(x1-m)2+(x2-m)2+(x3-m)2+…+(x20-m)2+(m'-m)2,因为m=m',所以20n=21n'.故选B.
(2)由题得10×(0.005+x+0.035+0.030+0.010)=1,解得x=0.020,A正确;前三个小矩形的面积之和为(0.005+0.020+0.035)×10=0.6,前四个小矩形的面积之和为1-0.010×10=0.9,所以估计这组数据的第80百分位数为80+0.8-×10≈86.67,B正确;估计这组数据的平均数为10×(55×0.005+65×0.020+75×0.035+85×0.030+95×0.010)=77,C不正确;由频率分布直方图可知,前两个小矩形的面积之和为0.005×10+0.020×10=0.25<0.50,前三个小矩形的面积之和为0.005×10+0.020×10+0.035×10=0.60>0.50,则中位数在[70,80)内,所以估计这组数据的中位数为70+0.5-×10≈77.14,D不正确.故选AB.
(3)由题意,将16个城市的人口数从小到大排列为219,291,297,386,393,470,547,561,595,710,836,880,920,939,1007,1102.因为16×70%=11.2,所以该组数据的70%分位数是第12个数据,即为880,所以该组数据的70%分位数为880.
变式题 (1)C (2)ABC (3)c>a>b [解析] (1)将这5个数据由小到大排序.因为中位数是10,所以第三个数是10,又因为众数是11,所以第四、五个数是11.因为极差是3,所以第一个数是8.因为众数唯一,所以第二个数是9.故这五个数从小到大排序是8,9,10,11,11,因为5×60%=3,所以该组数据的第60百分位数是10+112=10.5.故选C.
(2)由已知得,甲射击 10 次中靶环数分别为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7,将它们从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9.乙射击 10 次中靶环数分别为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10,将它们从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.甲的中靶环数的平均数x1=110×(5+6×2+7×4+8×2+9)=7,乙的中靶环数的平均数x2=110×(2+4+6+7×2+8×2+9×2+10)=7,甲的中靶环数的方差s12=110×[(5-7)2+(6-7)2×2+(7-7)2×4+(8-7)2×2+(9-7)2]=110×(4+2+0+2+4)=1.2,乙的中靶环数的方差s22=110×[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(7-7)2×2+(8-7)2×2+(9-7)2×2+(10-7)2]=5.4.A中,甲的中靶环数的平均数等于乙的中靶环数的平均数,故A正确;B中,因为s12
例3 [思路点拨] (1)对于A,B,分别计算相应矩形的面积进而可得结论;对于C,验证中位数是否为5h即可;对于D,根据频率分布直方图计算平均数的方法求解即可.(2)①用频率估计概率即可;②分别根据平均数和方差的计算公式求解即可.
(1)BD [解析] 对于A,该校高中学生平均每周英语训练时间不足4 h的人数为(0.03×2+0.10×2)×5000=1300,故A错误;对于B,估计该校高中学生平均每周英语训练时间不少于8 h的人数所占比例为0.08×2+0.03×2=0.22=22%,故B正确;对于C,假设该校高中学生平均每周英语训练时间的中位数为5 h,而训练时间小于5 h的频率为0.03×2+0.10×2+12×0.14×2=0.4,与频率为0.5矛盾,所以平均每周英语训练时间的中位数不为5 h,故C错误;对于D,估计该校高中学生平均每周英语训练时间为0.03×2×1+0.10×2×3+0.14×2×5+0.12×2×7+0.08×2×9+0.03×2×11=5.84(h),故D正确.故选BD.
(2)解:①∵(0.004+0.008+0.016+0.034+m+0.008+0.004+0.002)×10=1,∴m=0.024,故估计事件A发生的概率为(0.024+0.008+0.004+0.002)×10=0.38.
②估计本次数学考试成绩的平均数为(75×0.004+85×0.008+95×0.016+105×0.034+115×0.024+125×0.008+135×0.004+145×0.002)×10=106.6,估计本次数学考试成绩的方差为(998.56×0.004+466.56×0.008+134.56×0.016+2.56×0.034+70.56×0.024+338.56×0.008+806.56×0.004+1474.56×0.002)×10=205.44.
变式题 (1)AB (2)C [解析] (1)对于A,由题得(0.01+0.02+0.04+x+0.005)×10=1,解得x=0.025,故A正确;对于B,设80%分位数为N,易知N落在区间[80,90)中,则(0.01+0.02+0.04)×10+0.025×(N-80)=0.8,解得N=84,故B正确;对于C,估计全市初二学生数学水平分数为60分以下的人数占比为0.1,则全市初二学生数学水平分数低于60分的人数约为
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(进群送往届全部资料)36 000×0.1=3600,故C错误;对于D,估计全市初二学生数学水平分数为80分及以上的人数占比为(0.025+0.005)×10=0.3=30%,故D错误.故选AB.
(2)由题意得,年夜饭消费金额在(2400,3200]内的频率为35100=0.35>13,故A中说法正确;若该地区有2000个家庭,则估计年夜饭消费金额超过2400元的家庭个数为2000×35+8+4100=940,故B中说法正确;估计该地区家庭年夜饭消费金额的平均数为400×0.08+1200×0.2+2000×0.25+2800×0.35+3600×0.08+4400×0.04=2216(元),故C中说法不正确;估计该地区家庭年夜饭消费金额的中位数为1600+2225×800=2304(元),故D中说法正确.故选C.
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