01 第58讲　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 【正文】听课 高考数学二轮复习练习

这是一份01 第58讲　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 【正文】听课 高考数学二轮复习练习，共6页。
通过实例,了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
题组一 常识题
1.[教材改编] 某人欲从A地途经B地到C地,已知从A地到B地有10种合适的方案(包括飞机、火车、汽车等),从B地到C地有12种合适的方案,则此人从A地到C地可选择的不同的方案有 种.
2.[教材改编] 音乐播放器里存有10首中文歌曲,8首英文歌曲,3首法文歌曲,从中任选一首歌曲进行播放,有 种不同的选法.
3.[教材改编] 5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中一个小组,则不同的报名方法共有 种.若没有任何限制,每位同学随意报名,则不同的报名方法共有 种.
题组二 常错题
◆索引:对“完成一件事”的含义理解不准确;计数时有重复或遗漏,不知道何时该分类,何时该分步,不区分元素是否可重复使用.
4.书架的第1层放有6本不同的语文书,第2层放有5本不同的数学书,第3层放有4本不同的外语书.从书架中任取1本书,共有 种不同的取法;从书架中的第1,2,3层各取1本书,共有 种不同的取法.
5.我们把中间数位上的数字最大,而两边减小的多位数称为“凸数”,如132,341等,那么由1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是 .
6.(1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有 种不同的送法;(2)有5种不同的书(每种不少于3本),从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有 种不同的送法.
分类加法计数原理
例1 (1)[2023·安徽马鞍山三模] 据史书的记载,最晚在春秋末年,人们已经掌握了完备的十进位制记数法,普遍使用了算筹这种先进的计算工具.算筹记数的表示方法为:个位用纵式,十位用横式,百位再用纵式,千位再用横式,以此类推,遇零则置空.如图所示:
如:10记为,26记为,71记为.现有4根算筹,则可表示的两位数的个数为( )
A.8B.9
C.10D.12
(2)[2023·浙江乐清模拟] 一个圆的圆周上均匀分布6个点,在这些点与圆心共7个点中,任取3个点,这3个点能构成不同的等边三角形的个数为 .
总结反思
(1)分类加法计数原理的实质:
完成一件事的各类方法相互独立,每类中的各种方法也相互独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.
(2)使用分类加法计数原理遵循的原则:
有时分类的划分标准有多个,但不论是以哪一个为标准,都应遵循“标准要明确,不重不漏”的原则.
变式题 (1)椭圆x2m+y2n=1(m>0,n>0)的焦点在x轴上,且m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆的个数为( )
A.10B.12
C.20D.35
(2)有编号分别为1,2,3,4的4张电影票,要分给甲、乙两个人,每人至少分得一张,那么不同分法的种数为( )
A.10B.14
C.16D.12
分步乘法计数原理
例2 (1)[2023·福建泉州模拟] 某公园有如图所示A至F共6个座位,现有2名男生和2名女生要坐下休息,要求相同性别的学生不坐在同一行也不坐在同一列,则不同的坐法种数为( )
A.24B.36
C.72D.81
(2)[2024·湖南永州一中月考] 某校于三月份开展学雷锋主题活动,某班级5名女生和2名男生分成两个小组去两地参加志愿者活动,每个小组均要求既要有女生又要有男生,则不同的分配方案有( )
A.20种B.4种
C.60种D.80种
总结反思
(1)分步乘法计数原理的实质:
完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,缺少其中的任何一步都不能完成这件事,只有当每个步骤都完成后,才能完成这件事.
(2)使用分步乘法计数原理应注意的问题:
①明确题目中所要完成的这件事是什么,确定完成这件事需要几个步骤.
②将完成这件事划分成几个步骤来执行,各步骤之间有一定的连续性,只有当所有步骤都完成了,这件事才能完成,这是分步的基础,也是关键.
变式题 (1)书写汉字时,笔顺对书写的速度和字形的美观有非常关键的影响.为了满足课堂教学的需要,我们制定了一套现代汉语通用字的笔顺规范,但在进行书法创作时,笔顺则更加灵活多变,比如“必”字有五笔:左点、上点、右点、撇、卧钩.若要求第一笔不写卧钩,且最后一笔写右点,则“必”字不同的笔顺有( )
A.12种B.18种
C.24种D.30种
(2)用红、黄、蓝三种颜色给下图着色,要求有公共边的两块区域不同色.在所有着色方案中,①③⑤着相同颜色的方案有( )
A.96种B.24种
C.48种D.12种
两个计数原理的综合
例3 (1)若从0,1,2,3,4,5这六个数字中选三个数字,组成没有重复数字的三位数,则这样的三位偶数一共有( )
A.20个B.48个
C.52个D.120个
(2)某植物园要在如图所示的5个区域种植果树,现有5种不同的果树供选择,要求相邻区域不能种同一种果树,则不同的种植方法有( )
A.120种B.360种
C.420种D.480种
总结反思 内容
区别与联系
分类
加法
计数
原理
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N= 种不同的方法 (可推广至多类方案)
区别:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任何一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才能完成.
联系:复杂问题中,需要两个计数原理综合应用.某一类中可能需要再分步,某一步中有可能需要再分类
分步
乘法
计数
原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N= 种不同的方法 (可推广至多个步骤)
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(进群送往届全部资料)(1)复杂问题中,两个计数原理可以综合应用:可以先分类,在各类中再分步,或先分步,到某一步时按需要再分类处理.
(2)涂色问题一般综合利用两个计数原理求解,但也有两种常用方法:按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析;以颜色为主分类讨论,用分类加法计数原理分析.
变式题 (1)已知集合A={4,5,6,7},B={5,6,7,8,9},从集合A中取出1个元素,从集合B中取出3个元素,可以组成无重复数字且比5000大的自然数共有( )
A.180个B.300个
C.468个D.564个
(2)[2024·江苏常州模拟] 中国是世界上最早发明雨伞的国家,伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞,其伞面被伞骨分成8个区域,每个区域分别印有数字1,2,3,…,8,现准备给该伞面的每个区域涂色,要求每个区域涂一种颜色,相邻两个区域所涂颜色不能相同,对称的两个区域(如区域1与区域5)所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择,则不同的涂色方案有( )
A.1050种B.1260种
C.1302种D.1512种