02 第59讲　排列与组合 【正文】听课 高考数学二轮复习练习

这是一份02 第59讲　排列与组合 【正文】听课 高考数学二轮复习练习，共9页。试卷主要包含了排列与组合的概念，排列数与组合数等内容，欢迎下载使用。


1.排列与组合的概念
2.排列数与组合数
常用结论
排列的常用方法:
(1)相邻问题——捆绑法;
(2)不相邻问题——插空法;
(3)定序问题(或相同元素)——用除法处理;
(4)分排问题——直排法.
题组一 常识题
1.[教材改编] 某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名,从这4名学生中随机选2名参加校文艺汇演,要求这2名学生来自不同年级,则不同的选择方法共有
种.
2.[教材改编] 某单位安排7位工作人员在10月1日至10月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不安排在10月1日和2日,则共有 种不同的安排方法.
3.[教材改编] 安排5名志愿者完成A,B,C三项工作,其中A项工作需要3人,B,C两项工作都只需要1人,则不同的安排方式共有 种.
题组二 常错题
◆索引:题意理解不准确;不能正确运用捆绑法致误;混淆排列、组合问题致误;分类标准不清致误.
4.从5名学生中选出4名去参加学科竞赛,有 种选法;若这4名学生分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛,则不同的参赛方案种数为 ;若甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为 .
5.已知4个男生,3个女生站成一排,若3个女生必须排在一起,则有 种不同的排法;若甲、乙2人之间恰好有3个人,则有 种不同的排法.(用数字作答)
6.有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球排成一排,共有 种不同的排法.
7.从4台标清彩电和5台高清彩电中选购3台,要求至少有标清彩电与高清彩电各1台,共有 种不同的选法.
排列问题
例1 (1)甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影,恰好买到了同一排座位号连续的六张电影票.若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧,则不同的坐法种数为( )
A.360B.480
C.600D.720
(2)[2023·广东茂名一中三模] 由数字0,1,2,3,4组成的没有重复数字的五位数中,从小到大排列的第88个数为( )
A.42 031B.42 103
C.42 130D.42 301
总结反思
求排列问题的注意点
(1)有些排列的问题,可以根据机会均等的关系或每个元素出现的机会所占整个问题的比例关系使问题得到解决.
(2)间接法是解决排列问题常用方法,即遇到直接进行解题步骤多, 不易计算时,可以考虑先计算出总的情况数,然后计算出不满足要求的情况数,最后用总的情况数减去不满足的情况数即得最后答案.
(3)求解排列问题往往有多个不同的思路,若选择方法得当,则求解过程简单,容易让人接受,否则复杂难解且易犯“重复”或“遗漏”等错误,因此,可借助分类讨论思想来求解.
变式题 (1)甲、乙、丙3位志愿者被安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲被安排在另外两位前面,则不同的安排方法共有( )
A.20种B.30种
C.50种D.60种
(2)在1,2,3,4,5的所有排列a1a2a3a4a5中,满足条件a1A.10B.12
C.14D.16
(3)在一次学校组织的研究性学习成果报告会上,有A,B,C,D,E,F共6项成果要汇报,如果B成果不能最先汇报,而A,C,D成果按先后顺序汇报(不一定相邻),那么不同的汇报安排种数为( )
A.100B.120
C.300D.600
组合问题
例2 (1)某省将从5个A类科技项目、6个B类科技项目、4个C类科技项目中选4个项目重点发展,其中这3类项目都要有,且A类项目中有1个项目已经被选定,则满足条件的不同选法共有( )
A.96种B.144种
C.192种D.206种
(2)[2023·新课标Ⅰ卷] 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有
种(用数字作答).
总结反思
解决组合问题的注意点:
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,用间接法处理.
(3)成双成对的元素一般是先取双再取单.
变式题 (1)(多选题)从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛,下列说法正确的是( )
A.若4人中男、女生各2人,则有18种选法
B.若男生甲和女生乙必选,则有12种选法
C.若男生甲和女生乙至少有1人被选,则有15种选法
D.若4人中既有男生又有女生,则有34种选法
(2)[2024·山东泰安肥城模拟] 现有6名志愿者报名参加某项暑期公益活动,此项公益活动为期两天,每天从这6人中安排3人参加,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式有 种.
排列与组合的综合应用
角度1 相邻、相间及特殊元素(位置)问题
例3 (1)有3名男生,4名女生站成一排,则下列说法错误的是( )
A.从7人中任选3人相互调整位置,其余4人位置不变,则不同的调整方案有70种
B.全体站成一排,男生互不相邻的站法有1440种
C.全体站成一排,女生必须站在一起的站法有144种
D.全体站成一排,甲不站排头,乙不站排尾的站法有3720种
(2)[2023·山东济宁二模] 某中学举办田径运动会,某班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加学校4×100米接力赛,其中甲只能跑第1棒或第2棒,乙只能跑第2棒或第4棒,那么甲、乙都参加的不同棒次安排方案种数为( )
A.48B.36
C.24D.12
总结反思
(1)对于有限制条件的排列组合问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法.在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)有限制条件的排列问题的常用方法:相邻问题采用捆绑法,不相邻问题采用插空法.
变式题 (1)[2023·河北保定一中二模] 某班级选出甲、乙、丙等六人分别担任语文、数学、英语、物理、化学、生物六门学科的课代表,已知甲只能担任语文或英语课代表,乙不能担任生物或化学课代表,且乙、丙两人中必有一人要担任数学课代表,则不同的安排方式有( )
A.56种B.64种
C.72种D.86种
(2)琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中国优秀传统文化,某校决定从“八雅”中挑选“六雅”,于某周末开展知识讲座,每雅安排一节,连排六节.若“琴”“棋”“书”“画”必选,且要求“琴”“棋”相邻,“书”与“画”不相邻,则不同的排课方法共有 种.(用数字作答)
角度2 定序问题
例4 “灯笼”是中国传统农业时代的文化产物,兼具生活功能与艺术特色.如图,现有悬挂着的2串共6盏不同的花灯需要从下往上依次取下,每次取1盏,则不同取法的种数为 .
总结反思
定序问题用除法:对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行排列,然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.
变式题 [2023·长沙雅礼中学一模] 六个身高不同的人排成两排三列,每一列后面的那个人比他(她)前面的那个人高,则共有 种排法.
角度3 相同元素分配问题
例5 某高校举行一场智能机器人大赛,该高校理学院获得8个参赛名额.已知理学院共有4个班,每个班至少要有一个参赛名额,则理学院参赛名额的分配方法共有( )
A.20种B.21种
C.28种D.35种
总结反思
相同元素的分配问题用隔板法:将n个相同小球放入m(m≤n)个不同的盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法,等价于将n个相同小球串成一串,从间隙里选m-1个结点,剪截成m段,共有Cn-1m-1种放法.这是针对相同元素的组合问题的一种方法.
变式题 某农户用2400元的资金购买良种羊羔,共有肉用山羊、毛用绵羊、产奶山羊三种羊羔,价格均为每只300元,若要求每种羊羔至少买1只,则所有可能的购买方案种数为 .
角度4 分组分配问题
例6 某市聘请了六名农业专家,安排到三个乡镇进行工作指导,每个乡镇至少一人,其中专家A不能去甲乡镇,则不同的安排方案的种数是 . 名称
定义
区别
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照 排成一列
排列有序,组合无序
组合
作为一组
名称
定义
计算公式
性质
联系
排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号Anm表示
Anm= = n!(n-m)!
(n,m∈N*,且m≤n)
(1)Ann=n!;
(2)0!=1
(1)Cnm=Anmm!;
(2)应用时一般是先选(元素)后排,先分组后分配
组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号Cnm表示
Cnm= =n!m!(n-m)!(n,m∈N*,且m≤n)
(1)Cnn=Cn0=1;
(2)Cnm=Cnn-m;
(3)Cnm+1+Cnm=Cn+1m+1
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分组分配问题分为三类:
(1)平均分组时要除以组数的阶乘:2n个元素平均分2组的分法种数是C2nnCnn2!,3n个元素平均分3组的分法种数是C3nnC2nnCnn3!,以此类推.
(2)对于部分均分问题,解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!.
(3)对于不均匀分组问题,首先要对每组分配数量的可能情形进行一一列举,然后再对每一种情形分类讨论.
变式题 [2023·广东佛山二模] “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”,是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划,旨在培养中国自己的学术大师.已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地.某班级有五位同学从上述四所学校中任选一所学校作为奋斗目标,则每所学校至少有一位同学选择的不同方法共有( )
A.120种B.180种
C.240种D.300种