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人教版（2024）八年级数学上册第十三章轴对称13.1轴对称教案
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这是一份人教版（2024）八年级数学上册第十三章轴对称13.1轴对称教案，共16页。
13.1.1 轴对称 课时目标1.了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念,知道它们的区别和联系,培养学生抽象能力.2.探索成轴对称的两个图形的性质和轴对称的性质,体会由具体到抽象的认识过程,感悟类比方法在研究数学中的作用,培养空间观念和几何直观的核心素养.3.了解线段垂直平分线的概念,培养抽象能力.4.经历观察生活中的轴对称现象,探索轴对称现象共同特征等活动,培养学生类比迁移能力、归纳能力、合作交流能力,进一步发展空间观念.5.体会轴对称在现实生活中的广泛运用和它丰富的文化价值,感悟数学的魅力,提高学生学习数学的积极性,增强应用意识. 学习重点理解轴对称的概念和识别轴对称. 学习难点理解并掌握轴对称的性质. 课时活动设计新知引入动手操作:学生跟着老师,把一张纸对折,剪出一个喜字(折痕处不要完全剪断),再打开这张对折的纸,得到一个美丽的窗花. 设计意图:让学生亲自动手剪纸,体验乐趣,感受传统文化“剪纸”的魅力,增强民族自豪感,初步感受轴对称图形的特点,体验几何直观性.探究新知探究1 轴对称图形问题:欣赏窗花,你能发现它们有什么共同的特点吗?学生交流探究发现:这些窗花沿一条直线对折,直线两旁的部分能够互相重合.教师归纳总结:如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.追问:你能举出一些轴对称图形的例子吗?学生自主交流. 设计意图:结合大量的现实图片,给学生视觉上的强烈冲击,使其产生强烈的求知欲.让学生感悟数学来源于生活并应用于生活的辩证思想,初步感受轴对称图形的概念.通过观察,学生进一步思考共同特点:图形沿折痕折叠,两旁的部分能够互相重合.归纳出这样的图形叫做轴对称图形,折痕所在直线是它的对称轴.从直观感受到深度思考,再到师生共同归纳概念,培养学生的抽象能力.设置开放性的问题,培养学生的思维能力.探究新知探究2 两个图形成轴对称问题:下面的每对图形有什么共同特点?每一对图形沿虚线折叠,左边的图形能与右边的图形重合.小组合作交流,类比轴对称图形的名称和概念,总结出这两个图形的名称和概念.总结:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.追问:你能举出一些两个图形成轴对称的例子吗?学生自主交流. 设计意图:进一步让学生观察具体实例,类比轴对称图形概念的学习,发现两个图形成轴对称的特征,进而概括出两个图形成轴对称的概念,培养抽象能力.锻炼学生的语言表达能力,学会用数学语言表达世界.设置开放性的问题,给学生提供深度思考的空间,鼓励学生从自己的生活经验出发,列举符合对称特征的物体,并进行广泛交流,学生打开思维可以举例生活图形,也可以举例数学图形,通过举例有助于对两个图形成轴对称的本质特征进行再认识.探究新知探究3 轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系你能结合具体图形说明两个图形成轴对称和轴对称图形有什么区别和联系吗?学生独立思考后,进行交流,然后学生代表发言,畅谈两个概念的区别和联系,从而进一步体会和明确概念的本质. 设计意图:让学生知道轴对称图形和两个图形成轴对称本质是一致的,但也有区别,轴对称图形指的是对折后两部分重合,而两个图形成轴对称是两个图形的位置关系.探究新知探究4 轴对称与轴对称图形的性质问题1:如图,△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称,点A',B',C'分别是点A,B,C的对称点,线段AA',BB',CC'与直线MN有什么关系?请说明理由.学生先独立思考,利用工具量一量或者折一折纸片,猜想结论,并且小组交流想法,组内派代表发言.解:MN垂直于线段AA',BB',CC',并且平分线段AA',BB',CC'.追问:上图中三角形变为四边形、五边形、多边形,以上结论还成立吗?总结垂直平分线定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.由此可得,成轴对称的两个图形的性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.即对称点所连线段被对称轴垂直平分;对称轴垂直平分对称点所连线段.问题2:如图是一个轴对称图形,类比成轴对称的两个图形的性质,你能发现什么结论,能说明理由吗?学生先独立思考,尝试表达,集体纠正.总结:轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.追问:你能用数学语言概括结论吗?解:如图,直线l垂直平分AA',直线l垂直平分BB'. 设计意图:从特例出发,让学生经历发现结论和说明结论的过程,体会概念在探索性质中的重要作用,培养学生动手能力、合作意识和语言表达能力.将特殊问题一般化,让学生经历由特殊到一般的探索问题的过程,体会研究问题的一般化方法和类比方法.锻炼学生的语言表达能力,培养抽象概括能力,加强学生对成轴对称的两个图形的性质的认识. 巩固训练下面这些图形是不是轴对称图形?如果是,指出它的对称轴.解:图形①②③是轴对称图形,对称轴如图所示. 设计意图:通过巩固训练,学生巩固轴对称的概念,再次认识轴对称图形的本质特征.课堂小结1.什么是轴对称图形?什么样的图形是成轴对称的两个图形?2.轴对称图形和图形的轴对称的区别和联系是什么?3.成轴对称的两个图形有什么性质?4.轴对称图形有什么性质? 设计意图:引导学生总结自己的收获,把握本节课的核心内容,回顾由具体到抽象的过程,体会类比方法在研究数学问题中的重要作用.课堂8分钟.1.教材第64,65页习题13.1第1,2,4题.2.七彩作业.13.1.1 轴对称 1.轴对称图形.2.两个图形成轴对称.3.垂直平分线.4.成轴对称的两个图形的性质. 教学反思 13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时 线段垂直平分线的性质和判定 课时目标1.理解线段垂直平分线的性质和判定,掌握文字语言、图形语言和符号语言的转化,培养学生表达能力和推理意识.2.掌握证明线段垂直平分线的性质和判定的方法,培养学生类比能力和归纳能力.3.经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力.4.使学生在数学活动中体会到获得成功的体验,建立学习的自信心,培养应用意识. 学习重点理解并掌握线段的垂直平分线的性质与判定和线段的垂直平分线的画法. 学习难点线段的垂直平分线的性质与判定的运用. 课时活动设计复习回顾提问:线段的垂直平分线的定义?经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线. 设计意图:让学生通过复习线段的垂直平分线的定义,回顾本质——过中点、垂直这两个条件.并在此基础上引出今天所学课题:线段垂直平分线的性质定理.符合学生的认知规律和知识的形成过程,可以培养学生认识事物的思维方法. 探究新知探究1 垂直平分线的性质问题:如图,直线l是线段AB的垂直平分线,在直线l上任取一点P,试猜想点P到点A与点B的距离之间的数量关系.再换个位置取点,猜想还成立吗?请用手中的工具验证.请用自己的话说出猜想,并验证你的猜想是否正确.学生用手中的工具进行验证,师生共同讨论.猜想:“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.”即如果点P在线段垂直平分线上,那么点P到这条线段两个端点A,B的距离相等.已知:如图,直线l⊥AB,垂足为C,AC=CB,点P在l上.求证:PA=PB.证明:∵l⊥AB,∴∠PCA=∠PCB.又∵AC=CB,PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS).∴PA=PB.归纳总结:线段的垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.符号语言:∵CA=CB,l⊥AB,∴PA=PB. 设计意图:通过研究点的特点进而研究垂直平分线的性质,培养学生的集合观念和轨迹意识.设置这样的开放性问题,让学生用手中的工具进行验证,给学生提供思考空间,师生共同完成已知求证,降低学生证明命题的难度,最终应用三角形全等的方法证明线段的垂直平分线的性质定理,培养学生分析问题、解决问题的能力.典例精讲例 如图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上.AB,AC,CE的长度有什么关系?AB+BD与DE有什么关系?解:∵AD⊥BC,BD=DC,∴AD是BC的垂直平分线,∴AB=AC.∵点C在AE的垂直平分线上,∴AC=CE.∴AB=AC=CE.∵AB=CE,BD=DC,∴AB+BD=CD+CE,即AB+BD=DE. 设计意图:通过例题,帮助学生进一步加深对线段垂直平分线定义和性质定理的认识,培养学生的推理能力和应用意识.探究新知探究2 线段垂直平分线的判定问题:反过来,如果点P到线段两端点A、B的距离相等,那么点P在线段AB的垂直平分线上.这个命题是否成立?如何证明我们的猜想是正确的呢?学生先独立思考,再小组交流.师生共同讨论后总结如下:已知:如图,PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.证明(方法1作垂直,证中点):过点P作线段AB的垂线PC,垂足为C.则∠PCA=∠PCB=90°.在Rt△PCA和Rt△PCB中,PA=PB,PC=PC,∴Rt△PCA≌Rt△PCB(HL).∴AC=BC.又∵PC⊥AB,∴点P在线段AB的垂直平分线上.(方法2:取中点,证垂直;方法3:利用角平分线证明.可以课下完成)追问:你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗?能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点?解:能.线段AB两端点的距离相等的点有无数个.总结:在线段AB的垂直平分线l上的点与A,B的距离都相等;反过来,与A,B的距离相等的点都在垂直平分线l上,所以垂直平分线l可以看成与两点A,B的距离相等的所有点的集合. 设计意图:我们以前学过的平行线性质和判定,三角形全等的性质和判定都是“互逆命题”,在此经验基础上研究学习线段垂直平分线的逆命题符合学生的认知规律.培养学生形成独立研究问题的习惯和提升互逆思维的能力.让学生经历和体会由特殊到一般的研究思路和方法,培养归纳意识和能力.归纳总结线段垂直平分线的判定定理:与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.符号语言:∵PA=PB,∴点P在AB的垂直平分线上. 设计意图:通过归纳总结.帮助学生梳理所学知识,有利用巩固课堂效果.典例精讲例 如图,AB=AC,MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗?请说明理由.解:直线AM是线段BC的垂直平分线.理由:∵AB=AC,∴点A在BC的垂直平分线上.∵MB=MC,∴点M在BC的垂直平分线上.∴直线AM是线段BC的垂直平分线. 设计意图:通过练习,进一步加深学生对线段垂直平分线判定定理的理解,并且培养学生从多角度解决问题的能力和增强学生的应用意识.探究新知探究3 过一点作已知直线的垂线尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知:直线AB和AB外一点C.求作:AB的垂线,使它经过点C.解:作法:(1)取任意一点K,使点K和点C在AB的两旁;(2)以点C为圆心,CK长为半径作弧,交AB于点D和E;(3)分别以点D和点E为圆心,大于12DE的长为半径作弧,两弧相交于点F;(4)作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.请同学们自主交流、探究过直线上一点作已知垂线的作法. 设计意图:通过讲解使学生规范作图,并让学生自主探究另一种作图方法,培养学生分析问题、解决问题的能力. 巩固训练如图所示,△ABC中,BC=10,边BC的垂直平分线分别交AB,BC于点E,D,BE=6,求△BCE的周长.解:∵直线ED垂直平分BC,∴CE=BE=6,∴△BCE的周长=CE+BE+BC=6+6+10=22. 设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.课堂小结1.垂直平分线的性质定理是什么?2.垂直平分线的判定定理是什么?3.我们是怎样研究这些性质的? 设计意图:引导学生从知识内容、学习过程和学习方法等多个方面总结自己的收获,把握本节课的核心知识,回顾由特殊到一般的探究过程,体会类比方法在研究数学问题中的重要作用.课堂8分钟.1.教材第65页习题13.1第6题.2.七彩作业. 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定 1.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.2.与线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.3.过一点作已知直线的垂线. 教学反思 第2课时 作轴对称图形的对称轴 课时目标1.通过回顾垂直平分线的性质,感悟用尺规作已知线段的垂直平分线,培养学生的类比和动手及推理能力.2.通过分析、观察发现“过一点作已知直线的垂线”可以转化为作线段垂直平分线,培养学生的类比迁移能力和创新能力.3.能够运用尺规作图的方法解决简单的作轴对称图形的对称轴的问题,培养学生的应用意识和解决问题的能力.4.经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力.5.在数学活动中体会获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,帮助学生建立学习的自信心,培养应用意识. 学习重点能用尺规作轴对称图形的对称轴. 学习难点能用尺规过一点作已知直线的垂线. 课时活动设计情境引入同学们,走进人民大会堂,一颗巨大的五角星熠熠生辉.这颗最闪亮的星是轴对称图形吗?回忆一下轴对称图形的性质?如何找到它的一条对称轴?(引出课题) 设计意图:在现实世界中寻找适宜的数学题材,让教学贴近生活,培养学生发现问题的能力,让学生学会用数学眼光看世界,同时也培养了学生的爱国情感.通过回忆轴对称图形的性质引出作对称轴的本质和要探究的第一个问题,培养学生透过表象看问题本质的分析问题的方法,同时帮助学生养成利用概念和性质分析问题的习惯.探究新知思考:如何能用尺规作已知线段的垂直平分线呢?垂直平分线是一条 直 线,要确定一条直线需要找 两 个点,依据是 两点确定一条直线 . 问题1:如图,已知CA=CB,EA=EB,直线CE是线段AB的垂直平分线吗?为什么?学生经过交流探究得出直线CE是线段AB的垂直平分线,因为与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.问题2:如图,点A和点B关于某条直线成轴对称,你能作出这条直线吗?教师提示:由成轴对称的两个图形的性质可知,对称轴是对应点所连线段的垂直平分线,即对称轴为线段AB的垂直平分线.要作线段AB的垂直平分线,关键是找出到线段AB两个端点距离相等的两点.解:如图,(1)分别以点A和点B为圆心,大于12AB的长为半径作弧,两弧相交于C,D两点;(2)作直线CD.CD就是所求作的直线.思考:在作法中为什么要以大于12AB的长为半径作弧?解:两弧相交的条件,要保证半径足够大.师生归纳:这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图方法,我们也可以用这种方法确定线段的中点. 设计意图:让学生理解作垂直平分线的本质就是找到距离线段两个端点距离相等的点.数学课堂是学生活动的课堂、学生思考的课堂,学生参与的广度、深度取决于教师设置问题的价值度.让学生在经历动手画图的过程中能直观感悟知识的形成过程,不同情形的出现加深学生对知识的理解深度,同时也让学生体会到用尺规找到线段中点的方法,培养学生运用数学的能力和动手能力.典例精讲如图,五角星是一个轴对称图形,五角星共有几条对称轴?请你结合对应点A,A',作出五角星的其中一条对称轴.(不写作法,保留作图痕迹)解:有5条对称轴,对称轴如图所示. 设计意图:利用垂直平分线的作法解决问题——作轴对称图形的对称轴,体现提出问题、分析问题和解决问题的整体性,培养学生的应用意识,在解决问题的过程中提高学生学习数学的积极性. 巩固训练1.如图,A,B是路边两个新建小区,要在公路边增设一个公共汽车站,使两个小区到车站的路程一样长,该公共汽车站应建在什么地方?(不写作法,保留作图痕迹)解:如图,点P即为所求.第1题图2.在∠AOB内部找一点P,使点P到角两边的距离相等,且使PC=PD,在图上标出点P的位置.(不写作法,保留作图痕迹)解:点P即为所求.第2题图 设计意图:通过两个作图题,巩固本节所学的作图,让学生认识到解决题目的关键:两条线确定一个点.培养学生分析问题的能力和动手作图的能力,培养学生的空间观念.课堂小结1.本节课学习了什么基本作图?2.这两种基本作图有什么关系?3.我们还学过哪几种基本作图?4.本节用到了哪些研究方法?在初中阶段,我们学习了五种基本作图:(学生总结)(1)作一条线段等于已知线段;(2)作一个角等于已知角;(3)作已知角的角平分线;(4)过一点作已知直线的垂线;(5)作已知线段的垂直平分线(中点). 设计意图:引导学生从知识内容、学习过程和学习方法等多个方面总结自己的收获,把握本节课的核心内容,回顾研究问题的过程,体会类比、转化方法在研究数学问题中的重要作用.课堂8分钟.1.教材第64,65页练习第1,2,3题.2.七彩作业. 教学反思
13.1.1 轴对称 课时目标1.了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念,知道它们的区别和联系,培养学生抽象能力.2.探索成轴对称的两个图形的性质和轴对称的性质,体会由具体到抽象的认识过程,感悟类比方法在研究数学中的作用,培养空间观念和几何直观的核心素养.3.了解线段垂直平分线的概念,培养抽象能力.4.经历观察生活中的轴对称现象,探索轴对称现象共同特征等活动,培养学生类比迁移能力、归纳能力、合作交流能力,进一步发展空间观念.5.体会轴对称在现实生活中的广泛运用和它丰富的文化价值,感悟数学的魅力,提高学生学习数学的积极性,增强应用意识. 学习重点理解轴对称的概念和识别轴对称. 学习难点理解并掌握轴对称的性质. 课时活动设计新知引入动手操作:学生跟着老师,把一张纸对折,剪出一个喜字(折痕处不要完全剪断),再打开这张对折的纸,得到一个美丽的窗花. 设计意图:让学生亲自动手剪纸,体验乐趣,感受传统文化“剪纸”的魅力,增强民族自豪感,初步感受轴对称图形的特点,体验几何直观性.探究新知探究1 轴对称图形问题:欣赏窗花,你能发现它们有什么共同的特点吗?学生交流探究发现:这些窗花沿一条直线对折,直线两旁的部分能够互相重合.教师归纳总结:如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.追问:你能举出一些轴对称图形的例子吗?学生自主交流. 设计意图:结合大量的现实图片,给学生视觉上的强烈冲击,使其产生强烈的求知欲.让学生感悟数学来源于生活并应用于生活的辩证思想,初步感受轴对称图形的概念.通过观察,学生进一步思考共同特点:图形沿折痕折叠,两旁的部分能够互相重合.归纳出这样的图形叫做轴对称图形,折痕所在直线是它的对称轴.从直观感受到深度思考,再到师生共同归纳概念,培养学生的抽象能力.设置开放性的问题,培养学生的思维能力.探究新知探究2 两个图形成轴对称问题:下面的每对图形有什么共同特点?每一对图形沿虚线折叠,左边的图形能与右边的图形重合.小组合作交流,类比轴对称图形的名称和概念,总结出这两个图形的名称和概念.总结:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.追问:你能举出一些两个图形成轴对称的例子吗?学生自主交流. 设计意图:进一步让学生观察具体实例,类比轴对称图形概念的学习,发现两个图形成轴对称的特征,进而概括出两个图形成轴对称的概念,培养抽象能力.锻炼学生的语言表达能力,学会用数学语言表达世界.设置开放性的问题,给学生提供深度思考的空间,鼓励学生从自己的生活经验出发,列举符合对称特征的物体,并进行广泛交流,学生打开思维可以举例生活图形,也可以举例数学图形,通过举例有助于对两个图形成轴对称的本质特征进行再认识.探究新知探究3 轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系你能结合具体图形说明两个图形成轴对称和轴对称图形有什么区别和联系吗?学生独立思考后,进行交流,然后学生代表发言,畅谈两个概念的区别和联系,从而进一步体会和明确概念的本质. 设计意图:让学生知道轴对称图形和两个图形成轴对称本质是一致的,但也有区别,轴对称图形指的是对折后两部分重合,而两个图形成轴对称是两个图形的位置关系.探究新知探究4 轴对称与轴对称图形的性质问题1:如图,△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称,点A',B',C'分别是点A,B,C的对称点,线段AA',BB',CC'与直线MN有什么关系?请说明理由.学生先独立思考,利用工具量一量或者折一折纸片,猜想结论,并且小组交流想法,组内派代表发言.解:MN垂直于线段AA',BB',CC',并且平分线段AA',BB',CC'.追问:上图中三角形变为四边形、五边形、多边形,以上结论还成立吗?总结垂直平分线定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.由此可得,成轴对称的两个图形的性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.即对称点所连线段被对称轴垂直平分;对称轴垂直平分对称点所连线段.问题2:如图是一个轴对称图形,类比成轴对称的两个图形的性质,你能发现什么结论,能说明理由吗?学生先独立思考,尝试表达,集体纠正.总结:轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.追问:你能用数学语言概括结论吗?解:如图,直线l垂直平分AA',直线l垂直平分BB'. 设计意图:从特例出发,让学生经历发现结论和说明结论的过程,体会概念在探索性质中的重要作用,培养学生动手能力、合作意识和语言表达能力.将特殊问题一般化,让学生经历由特殊到一般的探索问题的过程,体会研究问题的一般化方法和类比方法.锻炼学生的语言表达能力,培养抽象概括能力,加强学生对成轴对称的两个图形的性质的认识. 巩固训练下面这些图形是不是轴对称图形?如果是,指出它的对称轴.解:图形①②③是轴对称图形,对称轴如图所示. 设计意图:通过巩固训练,学生巩固轴对称的概念,再次认识轴对称图形的本质特征.课堂小结1.什么是轴对称图形?什么样的图形是成轴对称的两个图形?2.轴对称图形和图形的轴对称的区别和联系是什么?3.成轴对称的两个图形有什么性质?4.轴对称图形有什么性质? 设计意图:引导学生总结自己的收获,把握本节课的核心内容,回顾由具体到抽象的过程,体会类比方法在研究数学问题中的重要作用.课堂8分钟.1.教材第64,65页习题13.1第1,2,4题.2.七彩作业.13.1.1 轴对称 1.轴对称图形.2.两个图形成轴对称.3.垂直平分线.4.成轴对称的两个图形的性质. 教学反思 13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时 线段垂直平分线的性质和判定 课时目标1.理解线段垂直平分线的性质和判定,掌握文字语言、图形语言和符号语言的转化,培养学生表达能力和推理意识.2.掌握证明线段垂直平分线的性质和判定的方法,培养学生类比能力和归纳能力.3.经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力.4.使学生在数学活动中体会到获得成功的体验,建立学习的自信心,培养应用意识. 学习重点理解并掌握线段的垂直平分线的性质与判定和线段的垂直平分线的画法. 学习难点线段的垂直平分线的性质与判定的运用. 课时活动设计复习回顾提问:线段的垂直平分线的定义?经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线. 设计意图:让学生通过复习线段的垂直平分线的定义,回顾本质——过中点、垂直这两个条件.并在此基础上引出今天所学课题:线段垂直平分线的性质定理.符合学生的认知规律和知识的形成过程,可以培养学生认识事物的思维方法. 探究新知探究1 垂直平分线的性质问题:如图,直线l是线段AB的垂直平分线,在直线l上任取一点P,试猜想点P到点A与点B的距离之间的数量关系.再换个位置取点,猜想还成立吗?请用手中的工具验证.请用自己的话说出猜想,并验证你的猜想是否正确.学生用手中的工具进行验证,师生共同讨论.猜想:“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.”即如果点P在线段垂直平分线上,那么点P到这条线段两个端点A,B的距离相等.已知:如图,直线l⊥AB,垂足为C,AC=CB,点P在l上.求证:PA=PB.证明:∵l⊥AB,∴∠PCA=∠PCB.又∵AC=CB,PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS).∴PA=PB.归纳总结:线段的垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.符号语言:∵CA=CB,l⊥AB,∴PA=PB. 设计意图:通过研究点的特点进而研究垂直平分线的性质,培养学生的集合观念和轨迹意识.设置这样的开放性问题,让学生用手中的工具进行验证,给学生提供思考空间,师生共同完成已知求证,降低学生证明命题的难度,最终应用三角形全等的方法证明线段的垂直平分线的性质定理,培养学生分析问题、解决问题的能力.典例精讲例 如图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上.AB,AC,CE的长度有什么关系?AB+BD与DE有什么关系?解:∵AD⊥BC,BD=DC,∴AD是BC的垂直平分线,∴AB=AC.∵点C在AE的垂直平分线上,∴AC=CE.∴AB=AC=CE.∵AB=CE,BD=DC,∴AB+BD=CD+CE,即AB+BD=DE. 设计意图:通过例题,帮助学生进一步加深对线段垂直平分线定义和性质定理的认识,培养学生的推理能力和应用意识.探究新知探究2 线段垂直平分线的判定问题:反过来,如果点P到线段两端点A、B的距离相等,那么点P在线段AB的垂直平分线上.这个命题是否成立?如何证明我们的猜想是正确的呢?学生先独立思考,再小组交流.师生共同讨论后总结如下:已知:如图,PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.证明(方法1作垂直,证中点):过点P作线段AB的垂线PC,垂足为C.则∠PCA=∠PCB=90°.在Rt△PCA和Rt△PCB中,PA=PB,PC=PC,∴Rt△PCA≌Rt△PCB(HL).∴AC=BC.又∵PC⊥AB,∴点P在线段AB的垂直平分线上.(方法2:取中点,证垂直;方法3:利用角平分线证明.可以课下完成)追问:你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗?能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点?解:能.线段AB两端点的距离相等的点有无数个.总结:在线段AB的垂直平分线l上的点与A,B的距离都相等;反过来,与A,B的距离相等的点都在垂直平分线l上,所以垂直平分线l可以看成与两点A,B的距离相等的所有点的集合. 设计意图:我们以前学过的平行线性质和判定,三角形全等的性质和判定都是“互逆命题”,在此经验基础上研究学习线段垂直平分线的逆命题符合学生的认知规律.培养学生形成独立研究问题的习惯和提升互逆思维的能力.让学生经历和体会由特殊到一般的研究思路和方法,培养归纳意识和能力.归纳总结线段垂直平分线的判定定理:与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.符号语言:∵PA=PB,∴点P在AB的垂直平分线上. 设计意图:通过归纳总结.帮助学生梳理所学知识,有利用巩固课堂效果.典例精讲例 如图,AB=AC,MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗?请说明理由.解:直线AM是线段BC的垂直平分线.理由:∵AB=AC,∴点A在BC的垂直平分线上.∵MB=MC,∴点M在BC的垂直平分线上.∴直线AM是线段BC的垂直平分线. 设计意图:通过练习,进一步加深学生对线段垂直平分线判定定理的理解,并且培养学生从多角度解决问题的能力和增强学生的应用意识.探究新知探究3 过一点作已知直线的垂线尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知:直线AB和AB外一点C.求作:AB的垂线,使它经过点C.解:作法:(1)取任意一点K,使点K和点C在AB的两旁;(2)以点C为圆心,CK长为半径作弧,交AB于点D和E;(3)分别以点D和点E为圆心,大于12DE的长为半径作弧,两弧相交于点F;(4)作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.请同学们自主交流、探究过直线上一点作已知垂线的作法. 设计意图:通过讲解使学生规范作图,并让学生自主探究另一种作图方法,培养学生分析问题、解决问题的能力. 巩固训练如图所示,△ABC中,BC=10,边BC的垂直平分线分别交AB,BC于点E,D,BE=6,求△BCE的周长.解:∵直线ED垂直平分BC,∴CE=BE=6,∴△BCE的周长=CE+BE+BC=6+6+10=22. 设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.课堂小结1.垂直平分线的性质定理是什么?2.垂直平分线的判定定理是什么?3.我们是怎样研究这些性质的? 设计意图:引导学生从知识内容、学习过程和学习方法等多个方面总结自己的收获,把握本节课的核心知识,回顾由特殊到一般的探究过程,体会类比方法在研究数学问题中的重要作用.课堂8分钟.1.教材第65页习题13.1第6题.2.七彩作业. 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定 1.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.2.与线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.3.过一点作已知直线的垂线. 教学反思 第2课时 作轴对称图形的对称轴 课时目标1.通过回顾垂直平分线的性质,感悟用尺规作已知线段的垂直平分线,培养学生的类比和动手及推理能力.2.通过分析、观察发现“过一点作已知直线的垂线”可以转化为作线段垂直平分线,培养学生的类比迁移能力和创新能力.3.能够运用尺规作图的方法解决简单的作轴对称图形的对称轴的问题,培养学生的应用意识和解决问题的能力.4.经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力.5.在数学活动中体会获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,帮助学生建立学习的自信心,培养应用意识. 学习重点能用尺规作轴对称图形的对称轴. 学习难点能用尺规过一点作已知直线的垂线. 课时活动设计情境引入同学们,走进人民大会堂,一颗巨大的五角星熠熠生辉.这颗最闪亮的星是轴对称图形吗?回忆一下轴对称图形的性质?如何找到它的一条对称轴?(引出课题) 设计意图:在现实世界中寻找适宜的数学题材,让教学贴近生活,培养学生发现问题的能力,让学生学会用数学眼光看世界,同时也培养了学生的爱国情感.通过回忆轴对称图形的性质引出作对称轴的本质和要探究的第一个问题,培养学生透过表象看问题本质的分析问题的方法,同时帮助学生养成利用概念和性质分析问题的习惯.探究新知思考:如何能用尺规作已知线段的垂直平分线呢?垂直平分线是一条 直 线,要确定一条直线需要找 两 个点,依据是 两点确定一条直线 . 问题1:如图,已知CA=CB,EA=EB,直线CE是线段AB的垂直平分线吗?为什么?学生经过交流探究得出直线CE是线段AB的垂直平分线,因为与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.问题2:如图,点A和点B关于某条直线成轴对称,你能作出这条直线吗?教师提示:由成轴对称的两个图形的性质可知,对称轴是对应点所连线段的垂直平分线,即对称轴为线段AB的垂直平分线.要作线段AB的垂直平分线,关键是找出到线段AB两个端点距离相等的两点.解:如图,(1)分别以点A和点B为圆心,大于12AB的长为半径作弧,两弧相交于C,D两点;(2)作直线CD.CD就是所求作的直线.思考:在作法中为什么要以大于12AB的长为半径作弧?解:两弧相交的条件,要保证半径足够大.师生归纳:这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图方法,我们也可以用这种方法确定线段的中点. 设计意图:让学生理解作垂直平分线的本质就是找到距离线段两个端点距离相等的点.数学课堂是学生活动的课堂、学生思考的课堂,学生参与的广度、深度取决于教师设置问题的价值度.让学生在经历动手画图的过程中能直观感悟知识的形成过程,不同情形的出现加深学生对知识的理解深度,同时也让学生体会到用尺规找到线段中点的方法,培养学生运用数学的能力和动手能力.典例精讲如图,五角星是一个轴对称图形,五角星共有几条对称轴?请你结合对应点A,A',作出五角星的其中一条对称轴.(不写作法,保留作图痕迹)解:有5条对称轴,对称轴如图所示. 设计意图:利用垂直平分线的作法解决问题——作轴对称图形的对称轴,体现提出问题、分析问题和解决问题的整体性,培养学生的应用意识,在解决问题的过程中提高学生学习数学的积极性. 巩固训练1.如图,A,B是路边两个新建小区,要在公路边增设一个公共汽车站,使两个小区到车站的路程一样长,该公共汽车站应建在什么地方?(不写作法,保留作图痕迹)解:如图,点P即为所求.第1题图2.在∠AOB内部找一点P,使点P到角两边的距离相等,且使PC=PD,在图上标出点P的位置.(不写作法,保留作图痕迹)解:点P即为所求.第2题图 设计意图:通过两个作图题,巩固本节所学的作图,让学生认识到解决题目的关键:两条线确定一个点.培养学生分析问题的能力和动手作图的能力,培养学生的空间观念.课堂小结1.本节课学习了什么基本作图?2.这两种基本作图有什么关系?3.我们还学过哪几种基本作图?4.本节用到了哪些研究方法?在初中阶段,我们学习了五种基本作图:(学生总结)(1)作一条线段等于已知线段;(2)作一个角等于已知角;(3)作已知角的角平分线;(4)过一点作已知直线的垂线;(5)作已知线段的垂直平分线(中点). 设计意图:引导学生从知识内容、学习过程和学习方法等多个方面总结自己的收获,把握本节课的核心内容,回顾研究问题的过程,体会类比、转化方法在研究数学问题中的重要作用.课堂8分钟.1.教材第64,65页练习第1,2,3题.2.七彩作业. 教学反思
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