数学八年级上册14.3 因式分解综合与测试教学设计

这是一份数学八年级上册14.3 因式分解综合与测试教学设计，共14页。
课时目标
1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系,掌握因式分解的概念,体会数学知识的内在含义与价值.
2.能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式,培养学生有条理的思考和运算能力.
3.会利用因式分解进行简便计算,体会因式分解的价值,培养学生的创新意识.
学习重点
运用提公因式法分解因式.
学习难点
正确理解因式分解的概念,准确找出公因式.
课时活动设计
回顾引入
1.回顾整式乘法完成填空:
(1)m(a+b+c)= ma+mb+mc .
(2)(x+1)(x-1)= x2-1 .
(3)(a+b)2= a2+2ab+b2 .
2.根据等式性质填空:
(1)ma+mb+mc= m(a+b+c) .
(2)x2-1= (x+1)(x-1) .
(3)a2+2ab+b2= (a+b)2 .
设计意图:引导学生回顾旧知识,激活学生已有的知识体系,为学习新知识打下基础.
探究新知
探究1 因式分解
问题:回顾引入中第2组式子有什么共同特点?
学生回答:将一个多项式化成多个整式相乘.
教师引导并给出因式分解的概念:把一个多项式化成几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.
p(a+b+c)pa+pb+pc
通过观察,你发现因式分解和整式乘法有什么关系?
学生发现:因式分解与整式乘法的互逆性.
探究2 提公因式法
问题1:观察下列多项式有哪些相同因式?
学生观察发现前者的相同因式为p,后者的相同因式为x.总结如下:多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式的公因式.
师生活动:教师板书:pa+pb+pc=p(a+b+c).
引导学生用文字进行总结:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
问题2:找出3x2-6xy的公因式,并思考如何确定一个多项式的公因式?
师生活动:学生先独立思考,然后小组交流得出结论:公因式为3x.
教师引导学生用文字总结如何确定一个多项式的公因式:
1.定字母:字母取多项式各项中都含有的相同的字母;
2.定系数:公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数;
3.定指数:相同字母的指数取各项中最小的一个,即字母的最低次数.
设计意图:通过具体问题的解决,让学生在观察、思考和操作的过程中,了解因式分解的概念,培养学生类比的思想方法和运算能力;学生从系数、字母、指数多个角度思考问题,培养学生思维的全面性和开阔性,养成积极思考的学习态度和创新意识.
典例精讲
例1 把下列各式分解因式:
(1)8a3b2+12ab3c; (2)2a(b+c)-3(b+c); (3)(a+b)(a-b)-a-b.
解:(1)8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc).
(2)2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).
(3)(a+b)(a-b)-a-b=(a+b)(a-b)-(a+b)=(a+b)(a-b-1).
技巧:1.整体思想找公因式;2.整项被提取后,1不能丢;3.可以用整式乘法验证.
例2 以下因式分解是否正确?如果错误,请指出原因并改正.
(1)把12x2y+18xy2分解因式.
解:原式=3xy(4x+6y).
解:不正确.
正解:原式=6xy(2x+3y).
注意:公因式要提尽.
(2)把3x2-6xy+x分解因式.
解:原式=x(3x-6y).
解:不正确.
正解:原式=3xx-6yx+1·x=x(3x-6y+1).
注意:某项提出莫漏1.
(3)把-x2+xy-xz分解因式.
解:原式=-x(x+y-z).
解:不正确.
正解:原式=-(x2-xy+xz)=-x(x-y+z).
注意:首项有负常提负.
例3 计算:(1)39×37-13×91;
(2)29×20.16+72×20.16+13×20.16-20.16×14.
解:(1)原式=3×13×37-13×91
=13×(3×37-91)
=13×20=260.
(2)原式=20.16×(29+72+13-14)=2 016.
例4 已知a+b=7,ab=4,求a2b+ab2的值.
解:∵a+b=7,ab=4,
∴原式=ab(a+b)=4×7=28.
设计意图:通过例题,让学生寻求不同的解题方法,体会在计算求值时,若式子各项都含有公因式,用提公因式的方法可使运算简便,感悟学习因式分解的作用,培养学生转化意识、整体思想,进一步训练运算能力.
巩固训练
1.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是( C )
A.5mn B.5m2n2 C.5m2n D.5mn2
2.把多项式(x+2)(x-2)+(x-2)提取公因式(x-2)后,余下的部分是( D )
A.x+1 B.2x C.x+2 D.x+3
3.简便计算:2 0132+2 013-2 0142.
解:原式=2 013×(2 013+1)-2 0142
=2 013×2 014-2 0142
=2 014×(2 013-2 014)
=-2 014.
设计意图:巩固训练共设计3个题目,针对所学知识点对本节所学知识再巩固,检验学生的学习效果,准确地进行教学评价,帮助教师发现问题和进行教学改进.
课堂小结
1.整式乘法和因式分解的关系是 方向相反的变形 ,因式分解的目的是 把一个多项式化成了几个整式的积的形式 .
2.找公因式的方法 三定:定系数;定字母;定指数 .
3.提公因式的因式分解的步骤 第一步找公因式,第二步提公因式 .
4.提公因式的技巧或注意问题 1.要提尽;2.不漏项;3.提负数要注意变号 .
5.本节用到什么研究问题的方法?
设计意图:引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心,梳理本节课内容,回顾由具体到抽象的过程,总结方法,建立知识体系,体会类比、转化方法在研究数学问题中的重要作用,促进学生数学思维品质的优化.
课堂8分钟.
1.教材第115页练习第1,2,3题.
2.七彩作业.
教学反思

14.3.2 公式法
第1课时 运用平方差公式因式分解
课时目标
1.探索并运用平方差公式进行因式分解,体会转化思想和逆向思维.
2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解,培养运算能力和应用意识.
3.培养良好的推理能力,体会“化归”与“整体”的思想方法,形成灵活的应用能力.
学习重点
掌握平方差公式的特点,运用平方差公式进行因式分解.
学习难点
灵活应用平方差公式因式分解.
课时活动设计
回顾引入
之前学习了平方差公式,今天先回顾一下.
计算:(1)(x+2)(x-2);
(2)(x-1)(x+1).
选两名学生黑板上板书计算过程:
解:(1)(x+2)(x-2)=x2-4.
(2)(x-1)(x+1)=x2-1.
设计意图:从结构上认识本节课所研究的多项式的结构特点,引出课题,培养学生观察问题的能力和模型观念.
探究新知
问题:多项式a2-b2有什么特点?你能将它分解因式吗?
学生观察得出结论:a2-b2=(a+b)(a-b)是a,b两数的平方差的形式.
追问1:你能根据符号语言写出文字语言吗?
师生活动:教师引导学生结合整式乘法归纳出因式分解平方差公式的文字语言:两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.
追问2:如图,在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形,将剩余部分拼成一个长方形,根据此图形变换,你能验证刚才的公式吗?
师生活动:教师首先引导学生利用面积验证平方差公式,提问两名同学分别列出左右两个图形涂色区域的面积.
左:涂色区域的面积=a2-b2;
右:涂色区域的面积=(a+b)(a-b).
根据左右涂色区域的面积相等得到:a2-b2=(a+b)(a-b).
设计意图:通过利用拼图求面积验证平方差公式,培养学生多角度思考问题的习惯和图形语言、符号语言、文字语言的相互转化能力.
典例精讲
例1 分解因式:(1)4x2-9;(2)(x+p)2-(x+q)2.
解:(1)原式=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).
(2)原式=[(x+p)+(x+q)]·[(x+p)-(x+q)].
例2 分解因式:(1)x4-y4;(2)a3b-ab.
解:(1)原式=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y).
(2)原式=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1).
例3 已知x2-y2=-2,x+y=1,求x-y,x,y的值.
解:∵x2-y2=(x+y)(x-y)=-2,
∵x+y=1,①
∴x-y=-2.②
联立①②,组成二元一次方程组x+y=1,x-y=-2,
解得x=-12,y=32.
例4 计算下列各题:
(1)1012-992; (2)53.52×4-46.52×4.
解:(1)原式=(101+99)×(101-99)=200×2=400.
(2)原式=4×(53.52-46.52)
=4×(53.5+46.5)(53.5-46.5)
=4×100×7=2 800.
例5 求证:当n为整数时,多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除.
证明:原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n·2=8n,
∵n为整数,∴8n能被8整除.
即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除.
设计意图:进一步通过例题强调平方差公式和因式分解的两种方法的综合应用,让学生体会若用平方差公式分解后的结果中有公因式,一定要再用提公因式法继续分解,分解到不能再分解为止,体会“一提二套三彻底”,培养学生归纳抽象能力和数学思想方法的掌握.
巩固训练
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( D )
A.a2+(-b)2 B.5m2-20mn C.-x2-y2 D.-x2+9
2.把下列各式分解因式:
(1)16a2-9b2= (4a+3b)(4a-3b) ;
(2)(a+b)2-(a-b)2= 4ab ;
(3)2x2-8= 2(x+2)(x-2) ;
(4)-a4+16= (4+a2)(2+a)(2-a) .
3.如图,在边长为6.8 cm正方形钢板上,挖去4个边长为1.6 cm的小正方形,求剩余部分的面积.
解:根据题意,得6.82-4×1.62
=6.82-(2×1.6)2
=6.82-3.22
=(6.8+3.2)(6.8-3.2)
=10×3.6=36(cm2).
答:剩余部分的面积为36 cm2.
设计意图:共设计3个题目,针对所学知识点对本节所学知识再巩固,检验学生的学习效果,准确地进行教学评价,帮助教师发现问题和进行教学改进.
课堂小结
1.因式分解有哪些方法?
2.能用平方差公式因式分解的结构特点是什么?
3.平方差公式因式分解的步骤及注意问题有什么?
4.本节用到什么研究问题的方法?
5.根据本节的研究思路思考因式分解还有什么方法?
设计意图:以提问的方式引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心,梳理本节课内容,回顾由具体到抽象的过程,总结方法,建立知识体系,体会类比、转化方法在研究数学问题中的重要作用,促进学生数学思维品质的优化.
课堂8分钟.
1.教材第119页习题14.3第2,5(4)题.
2.七彩作业.
教学反思

第2课时 运用完全平方公式因式分解
课时目标
1.理解完全平方公式的结构特点,培养模型观念.
2.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.
3.在运用完全平方公式法进行因式分解的同时,培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力.
学习重点
掌握完全平方公式的结构特点,运用完全平方公式进行因式分解.
学习难点
理解完全平方公式的结构特征,灵活运用完全平方公式进行因式分解.
课时活动设计
回顾引入
之前学习了完全平方公式,今天先来回顾一下.
计算:(1)(x+2)(x+2);
(2)(x-1)(x-1).
选两名学生黑板上板书计算过程:
解:(1)(x+2)(x+2)=x2+4x+4.
(2)(x-1)(x-1)=x2-2x+1.
设计意图:通过复习旧知,巩固因式分解和整式乘法的关系,为探究新知做准备,回顾完全平方公式,注重知识间的联系和知识体系的渗透,培养知识的迁移能力.
探究新知
问题1:观察多项式a2+2ab+b2,a2-2ab+b2,并回答下列各题.
(1)每个多项式有几项?
解:三项.
(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征?
解:都是一个数的平方.
(3)中间项和第一项,第三项有什么关系?
解:中间项是正负这两个数的积的2倍.
追问:你能用符号语言和文字语言表述完全平方式吗?
师生活动:选两名学生在黑板上板书整式乘法的完全平方公式.
(a+b)2=a2+2ab+b2; (a-b)2=a2-2ab+b2.
等号两边互换位置,就得到:
a2+2ab+b2=(a+b)2; a2-2ab+b2=(a-b)2.
教师引导学生用文字表述完全平方式:
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.
问题2:你能把下面4个图形拼成一个正方形,并根据拼成的图形的面积写出等量关系吗?
学生动手操作,通过拼图前后图形面积相等写出等量关系a2+2ab+b2=(a+b)2.
设计意图:学生在归纳出完全平方式的结构特征后,尝试用符号语言和文字语言表述完全平方式,最后通过动手操作,以拼图的形式再次验证完全平方式,同时在探究过程中感受到学习数学的乐趣.
典例精讲
例1 分解因式:(1)16x2+24x+9; (2)-x2+4xy-4y2.
解:(1)原式=(4x)2+2·4x·3+32=(4x+3)2.
(2)原式=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.
例2 把下列各式分解因式:
(1)3ax2+6axy+3ay2; (2)(a2+4)2-16a2.
解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2.
(2)原式=(a2+4)2-(4a)2=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2(a-2)2.
例3 计算:
(1)1002-2×100×99+992; (2)342+34×32+162;
(3)7652×17-2352×17.
解:(1)原式=(100-99)2=1.
(2)原式=(34+16)2=2 500.
(3)原式=17×(7652-2352)=17×(765+235)(765-235)=17×1 000×530=9 010 000.
例4 已知a2+b2+2a-4b+5=0,求2a2+4b-3的值.
解:由已知可得(a2+2a+1)+(b2-4b+4)=0,
即(a+1)2+(b-2)2=0,
解得a=-1,b=2.
∴2a2+4b-3=2×(-1)2+4×2-3=7.
设计意图:通过多种方法的综合应用,感受因式分解给计算带来的便捷,选题层次分明考察各有侧重点,让学生体会“数式同性”,掌握研究方法和知识的迁移性,形成体系,培养数感和运算能力.
巩固训练
1.下列四个多项式中,能因式分解的是( B )
A.a2+1 B.a2-6a+9 C.x2+5y D.x2-5y
2.把多项式4x2y-4xy2-x3分解因式的结果是( B )
A.4xy(x-y)-x3 B.-x(x-2y)2
C.x(4xy-4y2-x2) D.-x(-4xy+4y2+x2)
3.把下列多项式因式分解.
(1)4(2a+b)2-4(2a+b)+1; (2)y2+2y+1-x2.
解:(1)原式=[2(2a+b)]2-2·2(2a+b)·1+12=(4a+2b-1)2.
(2)原式=(y+1)2-x2=(y+1+x)(y+1-x).
设计意图:共设计3个题目,针对所学内容对本节所学知识再巩固,检验学生的学习效果,准确地进行教学评价,帮助教师发现问题和进行教学改进.
课堂小结
(1)因式分解有哪些方法?
(2)能用完全平方公式因式分解的结构特点是什么?
(3)因式分解的步骤及注意问题有什么?
(4)本节用到什么研究问题的方法?
设计意图:引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心,梳理本节课内容,回顾由具体到抽象的过程,总结方法,建立知识体系,体会类比、转化方法在研究数学问题中的重要作用,促进学生数学思维品质的优化.
课堂8分钟.
1.教材第119页练习第1,2题.
2.七彩作业.
教学反思