2024年福建省福州市延安中学九年级数学第一学期开学学业水平测试试题【含答案】

这是一份2024年福建省福州市延安中学九年级数学第一学期开学学业水平测试试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
A．B．且k≠0C．D．且k≠0
2、（4分）如图，用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线就可以判断，其数学依据是（ ）
A．三个角都是直角的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
3、（4分）已知一组数据45，51，54，52，45，44，则这组数据的众数、中位数分别为（ ）
A．45，48B．44，45C．45，51D．52，53
4、（4分）如图，∠ABC=∠ADC=Rt∠，E是AC的中点，则（ ）
A．∠1＞∠2
B．∠1=∠2
C．∠1＜∠2
D．∠1与∠2大小关系不能确定
5、（4分）如图，在平面直角坐标系中，若点在直线与轴正半轴、轴正半轴围成的三角形内部，则的值可能是（ ）
A．-3B．3C．4D．5
6、（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE⊥AD于点E，连接OE，若OB＝8，S菱形ABCD＝96，则OE的长为（ ）
A．2B．2C．6D．8
7、（4分）下列运算中正确的是（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）若是关于，的二元一次方程，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）把一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0用配方法配成a（x﹣h）2+k＝0的形式（a，h，k均为常数），则h和k的值分别为_____
10、（4分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，如果AB＝5，AE＝4，BC＝8，有下列结论：
①DE＝4；
②S△AED＝S四边形ABCD；
③DE平分∠ADC；
④∠AED＝∠ADC．
其中正确结论的序号是_____（把所有正确结论的序号都填在横线上）
11、（4分）如图，点A在双曲线y=上，AB⊥y轴于B，S△ABO =3，则k=__________
12、（4分）使代数式有意义的x的取值范围是_______．
13、（4分）如图，∠C=90°，∠ABC=75°，∠CBD=30°，若BC=3 cm，则AD=________cm．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）在数学课上，老师出了这样一道题:甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍。求高铁列车从甲地到乙地的时间.老师要求同学先用列表方式分析再解答.下面是两个小组分析时所列的表格:
小组甲:设特快列车的平均速度为xkm/h.
小组乙：高铁列车从甲地到乙地的时间为yh
（1）根据题意，填写表格中空缺的量；（2）结合表格，选择一种方法进行解答.
15、（8分）如图,菱形对角线交于点，，，与交于点.
（1）试判断四边形的形状，并说明你的理由；
（2）若,求的长.
16、（8分）如图，的对角线，相交于点，过点且与，分别相交于点，.求证：.
17、（10分）如图1，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上．点D是BC的中点，连接AD．
（1）在图2、图3两个网格图中各画出一个与△ABC相似的三角形，要求所画三角形的顶点在格点上，相似比各不相同，且与△ABC的相似比不为1；
（2）tan∠CAD= ．
18、（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段OA，OC的长分别是m，n且满足，点D是线段OC上一点，将△AOD沿直线AD翻折，点O落在矩形对角线AC上的点E处.
(1)求OA，OC的长；
(2)求直线AD的解析式；
(3)点M在直线DE上，在x轴的正半轴上是否存在点N，使以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如果多项式是一个完全平方式，那么k的值为______．
20、（4分）不等式的正整数解有______个
21、（4分）使代数式有意义的x的取值范围是_______．
22、（4分）我们知道：当时，不论取何实数，函数的值为3，所以直线一定经过定点；同样，直线一定经过的定点为______.
23、（4分）因式分解:______ .
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点．求证：四边形AECF是平行四边形．
25、（10分）如图①，在正方形ABCD中，，点E，F分别在BC、CD上，，试探究面积的最小值。
下面是小丽的探究过程：
(1)延长EB至G，使，连接AG，可以证明．请完成她的证明；
(2)设，,
①结合（1）中结论，通过计算得到与x的部分对应值。请求出表格中a的值：（写出解答过程）
②利用上表和（1）中的结论通过描点、连线可以分别画出函数、的图像、请在图②中完善她的画图；
③根据以上探究，估计面积的最小值约为（结果估计到1．1）。

图① 图②
26、（12分）某学校八年级七班学生要去实验基地进行实践活动，估计乘车人数为10人到40人之间，现在欲租甲、乙两家旅行社的车辆，已知甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人120元，经过协商，甲旅行社表示可给予每位学生七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位同学的车费，然后给予其他同学八折优惠．
（1）若用x表示乘车人数，请用x表示选择甲、乙旅行社的费用y甲与y乙；
（2）请你帮助学校选择哪一家旅行社费用合算？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k≠0且△=(-3)2-4k×1＞0，求出即可．
【详解】
∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△=(-3)2-4k×1＞0，
解得：k＜且k≠0，
故选B．
本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k的不等式是解此题的关键．
2、C
【解析】
根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定．
【详解】
解：这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形，
故选：C．
本题主要考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的性质解决实际问题是解此题的关键．
3、A
【解析】
先把原数据按由小到大排列，然后根据众数、中位数的定义求解．
【详解】
数据从小到大排列为：44，45，45，51，52，54，
所以这组数据的众数为45，中位数为×(45+51)=48，
故选A.
本题考查了众数与中位数，熟练掌握众数与中位数的概念以及求解方法是解题的关键.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．一组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．
4、B
【解析】
试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以证明DE=BE，再根据等腰三角形的性质即可解答．
解：∵∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，
∴DE=AC，BE=AC，
∴DE=BE，
∴∠1=∠1．
故选B．
考点：直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．
5、D
【解析】
先根据点4（2.，3）在直线与x轴正半轴、y轴正半轴围成的三角形内部，可知点A（2，3）在直线的下方，即当x=2时，y>3，再将x=2代入，从而得出-1+b>3，即b＞4.
【详解】
解：∵点A（2.3）在直线与x轴正半轴、y轴正半轴围成的三角形内部。
∴点A（2，3）在直线的下方，即当x=2时，y>3，
又∵当x=2时，
∴-1+b>3，即b>4.
故选：D.
本题主要考查了一次函数的性质，根据点A（2.3）在直线与x轴正半轴、y轴正半轴围成的三角形内部，得到点A（2.3）在直线的下方是解题的关键.
6、C
【解析】
由菱形的性质得出BD=16，由菱形的面积得出AC=12，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，
∴BD＝16，
∵S菱形ABCD═AC×BD＝96，
∴AC＝12，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝6，
故选C．
此题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
7、B
【解析】
根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据乘方的意义对D进行判断．
【详解】
A. 不能合并，所以A选项错误；
B. 原式=，所以B选项正确；
C. 原式= ，所以C选项错误；
D. 原式=3，所以D选项错误。
故选B.
此题考查二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题关键
8、D
【解析】
根据二元一次方程的定义可知，m、n应满足以下4个关系式：，解之即得.
【详解】
解：由题意是关于，的二元一次方程，于是m、n应满足 ，解得，，故选D.
本题考查了二元一次方程的定义，认真审题并列出m、n应满足的4个关系式是解决此题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
先将方程变形，利用完全平方公式进行配方．
【详解】
解：2x2﹣x﹣1＝1，
x2﹣x﹣＝1，
x2﹣x+﹣﹣＝1，
（x﹣）2﹣＝1．
∴h＝，k＝﹣．
故答案是：，﹣．
考查了配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
10、①②③
【解析】
利用平行四边形的性质结合勾股定理以及三角形面积求法分别分析得出答案．
【详解】
解：①∵在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AE＝4，BC＝8，
∴AD＝8，∠EAD＝90°，
∴DE＝＝，故此选项正确；
②∵S△AED＝AE•AD
S四边形ABCD＝AE×AD，
∴S△AED＝S四边形ABCD，故此选项正确；
③∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵AB＝5，AE＝4，∠AEB＝90°，
∴BE＝3，
∵BC＝8，
∴EC＝CD＝5，
∴∠CED＝∠CDE，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴DE平分∠ADC，故此选项正确；
④当∠AED＝∠ADC时，由③可得∠AED＝∠EDC，
故AE∥DC，与已知AB∥DC矛盾，故此选项错误．
故答案为：①②③．
此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理、三角形面积求法等知识，正确应用平行四边形的性质是解题关键.
11、6
【解析】
根据反比例函数系数k的几何意义得出S△ABO=|k|，即可求出表达式.
【详解】
解： ∵△OAB的面积为3，∴k＝2S△ABO＝6，
∴反比例函数的表达式是y=
即k=6
本题考查反比例函数系数k的几何意三角形面积=|k|，学生们熟练掌握这个公式.
12、．
【解析】
根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须．
13、6+
【解析】
由已知条件可知：BD=2CD，根据三角函数可求出CD，作AB的垂直平分线，交AC于点E，在Rt△BCE中，根据三角函数可求出BE、CE，进而可将AD的长求出．
【详解】
解：作AB的垂直平分线，交AC于点E，
∴AE=BE，∵∠C=90°，∠ABC=75°，∠CBD=30°，∴2∠A=∠BED=30°，
∴tan30°==，
解得：CD=cm，
∵BC=3cm，∴BE=6cm，∴CE=3cm，
∴AD=AE+CE﹣CD=BE+CE﹣CD=（6+）cm．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）根据路程=速度×时间填写即可；
（2）小组甲：根据乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h列方程求解，然后检验；小组乙：根据高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍列方程求解，然后检验；
【详解】
（1）
（2）利用乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8 倍得出等量关系
第一种：
，解得：x＝100，
经检验x＝100 是原方程的解，
2.8x＝280，
答：特快列车的平均行驶速度为100km/h，特高列车的平均行驶速度为280km/h；
第二种：，
解得：y＝5 经检验y＝5 是原方程的解，
y+9＝14，
答： 乘高铁列车从甲到乙5 小时，乘特快列车14 小时.
本题考查了列分式方程解实际问题的运用及分式方程的解法的运用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤.
15、（1）四边形是矩形，理由见解析；（2）.
【解析】
（1）由菱形的性质可证明∠BOA=90°，然后再证明四边形AEBO为平行四边形，从而可证明四边形AEBO是矩形；
（2）依据矩形的性质可得到OE=AB，然后依据菱形的性质可得到AB=CD，即可求出的长.
【详解】
解：（1）四边形是矩形
理由如下：∵，，
∴四边形是平行四边形
又∵菱形对角线交于点，∴，即
∴四边形是矩形
（2）∵四边形是矩形，
∴
在菱形中，
∴.
本题主要考查的是菱形的性质判定、矩形的性质和判定，求出四边形是矩形是解题的关键．
16、见解析.
【解析】
根据“ASA”证明，即可证明.
【详解】
证明：四边形是平行四边形，
，.
.
在和，
，
，
.
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
17、（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）利用相似三角形的性质结合网格特点画三角形即可；
（2）利用勾股定理结合锐角三角函数关系求出即可．
【详解】
解：（1）如图所示：△EMF和△A′B′C′即为所求；
（2）由图1可知∠ACB=90°，DC＝，AC＝，
∴tan∠CAD＝．
故答案为：．
本题主要考查了相似三角形的性质及锐角三角函数的定义，利用相似三角形的判定方法画出图形是解题关键．
18、 (1)OA＝6，OC＝8；(2)y＝﹣2x+6；(3)存在点N，点N的坐标为(0.5，0)或(15.5，0)．
【解析】
（1）根据非负数的性质求得m、n的值，即可求得OA、OC的长；（2）由勾股定理求得AC=10，由翻折的性质可得：OA＝AE＝6，OD＝DE＝x，DC＝8﹣OD＝8﹣x，在Rt△DEC中，由勾股定理可得x2+42＝(8﹣x)2，解方程求得x的值，即可得DE＝OD＝3，由此可得点D的坐标为(3，0)，再利用待定系数法求得直线AD的解析式即可；（3）过E作EG⊥OC，在Rt△DEC中，根据直角三角形面积的两种表示法求得EG的长，再利用勾股定理求得DG的长，即可求得点E的坐标，利用待定系数法求得DE的解析式，再根据平行四边形的性质求得点N的坐标即可．
【详解】
(1)∵线段OA，OC的长分别是m，n且满足，
∴OA＝m＝6，OC＝n＝8；
(2)设DE＝x，
由翻折的性质可得：OA＝AE＝6，OD＝DE＝x，DC＝8﹣OD＝8﹣x，
AC＝=10，
可得：EC＝10﹣AE＝10﹣6＝4，
在Rt△DEC中，由勾股定理可得：DE2+EC2＝DC2，
即x2+42＝(8﹣x)2，
解得：x＝3，
可得：DE＝OD＝3，
所以点D的坐标为(3，0)，
设AD的解析式为：y＝kx+b，
把A(0，6)，D(3，0)代入解析式可得： ，
解得： ，
所以直线AD的解析式为：y＝﹣2x+6；
(3)过E作EG⊥OC，在Rt△DEC中，，
即，
解得：EG＝2.4，
在Rt△DEG中，DG＝ ，
∴点E的坐标为(4.8，2.4)，
设直线DE的解析式为：y＝ax+c，
把D(3，0)，E(4.8，2.4)代入解析式可得： ，
解得： ，
所以DE的解析式为：y＝x﹣4，
把y＝6代入DE的解析式y＝x﹣4，可得：x＝7.5，
即AM＝7.5，
当以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形时，
CN＝AM＝7.5，
所以N＝8+7.5＝15.5，N'＝8﹣7.5＝0.5，
即存在点N，且点N的坐标为(0.5，0)或(15.5，0)．
本题是一次函数综合题目，考查了非负性、用待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、平行四边形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过求一次函数的解析式和平行四边形的性质才能得出结果．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、8或-4
【解析】
根据完全平方公式的定义即可求解.
【详解】
=为完全平方公式，故=±6，
即得k=8或-4.
此题主要考查完全平方公式的形式，解题的关键是熟知完全平方公式.
20、3
【解析】
根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集，再确定其正整数解即可．
【详解】
去括号，得：3x+3≥5x-3，
移项，得：3x-5x≥-3-3，
合并同类项，得：-2x≥-6，
系数化为1，得：x≤3，
∴该不等式的正整数解为：1，2，3，共有3个，
故答案为：3
本题考查了解一元一次不等式以及求一元一次不等式的正整数解，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
21、．
【解析】
根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须．
22、
【解析】
先将y=（k-2）x+3k化为：y=（x+3）k-2x，可得当x=-3时，不论k取何实数，函数y=（x+3）k-2x的值为6，即可得到直线y=（k-2）x+3k一定经过的定点为（-3，6）．
【详解】
根据题意，y=（k-2）x+3k可化为：y=（x+3）k-2x，
∴当x=-3时，不论k取何实数，函数y=（x+3）k-2x的值为6，
∴直线y=（k-2）x+3k一定经过的定点为（-3，6），
故答案为：（-3，6）．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
23、
【解析】
首先把公因式3提出来，然后按照完全平方公式因式分解即可.
【详解】
解：
=
=
故答案为：.
此题考查利用提取公因式法和公式法因式分解，注意找出整式里面含有的公因式，然后再选用公式法．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、见解析.
【解析】
由平行四边形ABCD的性质得到AD∥BC，AD＝BC，再由题意得AF∥EC，AF＝EC，从而得证四边形AECF是平行四边形．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点E，F分别是BC，AD的中点，
∴，
∴AF∥EC，AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
本题主要考察平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键.
25、（1）见解析；（2）①，②见解析；③41.4或41.5.
【解析】
（1）AB=AD，BG=DF，则AG=AF，∠DAF+∠BAE=91°-∠EAF=45°=∠EAF，AF=AG，AE=AE，则△AFE≌△AGE（SAS），即可求解；
（2）①∵CE=BC-6=4，设DF=a，CF=11-a，EF=DF+BE=6+a，由勾股定理即可求解；②由①得：y2=y1+x，描点画图即可；
（3）利用分割法即可得出．
【详解】
（1）证明：如图①，延长EB至G，使，连接AG.
四边形ABCD是正方形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
.
（2）①在中，，
，
，
解这个方程，得.
②如图②所示.
③S△AEF=SABCD- S△ADF - S△ABE - S△EFC
=111---
=111-（DF+BE）11-
=111-EF11-
=111-5y2-（11-x）（11-y1）
=51-xy1
当x=4，y1=4.29时，S△AEF最小
S△AEF=51-×4×.29≈41.4或41.5.
图① 图②
本题为四边形综合题，涉及到三角形全等、函数作图，此类题目通常在作图的基础上，从图表查阅符合条件的数据点，进而求解．
26、（1）y甲=0.75×120x=90x，y乙=0.8×120（x-1）=96x-96；（2）当人数为10-16人时，选择乙旅行社合算；当人数16-40人时，选择甲旅行社合算；当人数正好是16人时，选择甲、乙旅行社一样．
【解析】
（1）设共有x人由题意得：甲旅行社的花费=120×人数×七五折；乙旅行社的花费=120×（人数-1）×八折；
（2）分三种情况：①y甲=y乙时，②y甲＞y乙时，③y甲＜y乙时，分别列出方程或不等式进行计算即可．
【详解】
（1）设共有x人，则
y甲=0.75×120x=90x，
y乙=0.8×120（x-1）=96x-96；
（2）由y甲=y乙得，90x=96x-96，
解得：x=16，
y甲＞y乙得，90x＞96x-96，
解得：x＜16，
y甲＜y乙得，90x＜96x-96，
解得：x＞16，
所以，当人数为10-16人时，选择乙旅行社合算；当人数16-40人时，选择甲旅行社合算；
当人数正好是16人时，选择甲、乙旅行社一样．
此题考查一元一次不等式和方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中不等关系，再列出不等式．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
x
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
11
11
8.18
6.67
5.38
4.29
3.33
a
1.76
1.11
1.53
1