2024年福建省厦门市思明区大同中学九上数学开学质量检测试题【含答案】

这是一份2024年福建省厦门市思明区大同中学九上数学开学质量检测试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列各点中，在正比例函数的图象上的点是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）下列各点中，不在函数 的图象上的点是（ ）
A．（3，4） B．（﹣2，﹣6） C．（﹣2，6） D．（﹣3，﹣4）
3、（4分）如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面积是（ ）
A．B．C．2D．
4、（4分）正比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过第二、四象限，则一次函数y＝x＋k的图象大致是( )
A．B．C．D．
5、（4分）在中，，，，则的长是（ ）
A．4B．C．6D．
6、（4分）如图，在中，分别是边的中点．已知，则四边形的周长为( )
A．B．C．D．
7、（4分）周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是( )
A．小丽从家到达公园共用时间20分钟B．公园离小丽家的距离为2000米
C．小丽在便利店时间为15分钟D．便利店离小丽家的距离为1000米
8、（4分）下列关于 x 的分式方程中，有解的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知菱形ABCD的面积是12cm2，对角线AC＝4cm，则菱形的边长是______cm．
10、（4分）如图，在中，若，点是的中点，则_____．
11、（4分）如图，在矩形ABCD中，，，将矩形沿AC折叠，则重叠部分的面积为______．
12、（4分）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D＝70°，则∠ECF的度数是_________．
13、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝10，将△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF．若四边形ABED的面积为20，则平移距离为___________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图所示，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、.
（1）求证：；
（2）四边形能够成为菱形吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由；
（3）当________时，为直角三角形.
15、（8分）六•一前夕，某幼儿园园长到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装，每套A品牌服装进价比B品牌服装每套进价多25元，用2000元购进A种服装数量是用750元购进B种服装数量的2倍．
(1)求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元；
(2)该服装A品牌每套售价为130元，B品牌每套售价为95元，服装店老板决定，购进B品牌服装的数量比购进A品牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，可使总的获利超过1200元，则最少购进A品牌的服装多少套．
16、（8分）《九章算术》“勾股”章的问题：：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会.问甲、乙各行几何？”大意是说：如图，甲乙二人从A处同时出发，甲的速度与乙的速度之比为7:3，乙一直向东走，甲先向南走十步到达C处，后沿北偏东某方向走了一段距离后与乙在B处相遇，这时，甲乙各走了多远？
17、（10分）如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点、.求证：.
18、（10分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，且A（4，0）、B（6，2）、M（4，3）．在平面内有一条过点M的直线将平行四边形OABC的面积分成相等的两部分，请写出该直线的函数表达式_____．
20、（4分）对于代数式m，n，定义运算“※”：m※n＝（mn≠0），例如：4※2＝．若（x﹣1）※（x+2）＝，则2A﹣B＝_____．
21、（4分）已知一组数据3、x、4、8、6，若该组数据的平均数是5，则x的值是______．
22、（4分）如图，已知直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E和B、D、F，如果，，，那么______．
23、（4分）把直线向上平移2个单位得到的直线解析式为：_______.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）（1）解不等式组
（2）已知A＝
①化简A
②当x满足不等式组且x为整数时，求A的值．
（3）化简
25、（10分）由中宣部建设的“学习强国”学习平台正式上线。这是推动新时代中国特色社会主义思想、推进马克思主义学习型政党和学习型社会建设的创新举措．某基层党组织随机抽取了部分党员的某天的学习成绩并进行了整理，分成5个小组（表示成绩，单位：分，且），根据学习积分绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，其中第2、第5两组测试成绩人数直方图的高度比为，请结合下列图标中相关数据回答下列问题：
（1）填空：_____，______；
（2）补全频数分布直方图；
（3）这次积分的中位数落在第______组；
（4）已知该党组织共有党员225人；请估计当天学习积分获得“优秀”等级（）的党员有多少人？
26、（12分）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数，，满足，求的值”时，采用了引入参数法，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出，，之间的关系，从而解决问题.过程如下：
解；设，则有：
，，，
将以上三个等式相加，得.
，，都为正数，
，即，.
.
仔细阅读上述材料，解决下面的问题：
（1）若正数，，满足，求的值；
（2）已知，，，互不相等，求证：.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
根据正比例函数的性质，直接将坐标代入，即可判定是否符合题意.
【详解】
A选项坐标代入，得，错误；
B选项坐标代入，得，错误；
C选项坐标代入，得，正确；
D选项坐标代入，得，错误；
故答案为C.
此题主要考查正比例函数的性质，熟练掌握，即可解题.
2、C
【解析】
将各选项的点逐一代入进行计算判断即可.
【详解】
A、当x=3时，y==4, 故（3，4）在函数图象上，正确，不符合题意；
B、 当x=-2时，y==-6, 故（-2，-6）在函数图象上，正确，不符合题意；
C、 当x=-2时，y==-6≠6, 故（-2，6）不在函数图象上，错误，符合题意；
D、当x=-3时，y==-4, 故（-3，-4）在函数图象上，正确，不符合题意；
故答案为：C.
本题考查反比例函数的图象，属于简单题，要注意计算细心.
3、A
【解析】
试题分析：如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F．
设AB=AD=x．
又∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是矩形形，
∴AD=EF=x．
在Rt△ABE中，∠ABC=60°，则∠BAE=30°，
∴BE=AB=x，
∴DF=AE==x，
在Rt△CDF中，∠FCD=30°，则CF=DF•ct30°=x．
又BC=6，
∴BE+EF+CF=6，即x+x+x=6，
解得 x=2
∴△ACD的面积是：AD•DF=x×x=×22=．
故选A．
考点：1.勾股定理2.含30度角的直角三角形．
4、B
【解析】
∵正比例函数y＝kx(k≠0)的图像经过第二、四象限，
∴k＜0，
∴一次函数y＝x＋k的图像与y轴交于负半轴，且经过第一、三象限．
故选B.
5、C
【解析】
根据勾股定理计算即可.
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，c＝10，
∴b＝＝6，
故选C．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6、C
【解析】
根据三角形中位线定理、线段中点的定义解答．
【详解】
解：∵D，E分别是边BC，CA的中点，
∴DE＝AB＝2，AF＝AB＝2，
∵D，F分别是边BC，AB的中点，
∴DF＝AC＝3，AE＝AC＝3，
∴四边形AFDE的周长＝AF＋DF＋DE＋AE＝2＋3＋2＋3＝10，
故选：C．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
7、C
【解析】
解：A．小丽从家到达公园共用时间20分钟，正确；
B．公园离小丽家的距离为2000米，正确；
C．小丽在便利店时间为15﹣10=5分钟，错误；
D．便利店离小丽家的距离为1000米，正确．
故选C．
8、B
【解析】
根据分子为0，分母不为0，存在同时满足两个条件时的x，则分式方程有解..
【详解】
A.当，则且，当时，，当时，，所以该方程无解；
B.当，则且，当时，当时，所以该方程的解为；
C.因为无解，所以该方程无解；
D.当，则且，当时，当时，所以该方程无解.
故选B.
本题考查解分式方程，分式的值要为0，则分子要为0同时分母不能为0.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
分析：根据菱形的面积公式求出另一对角线的长．然后因为菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出菱形的边长．
详解：由菱形的面积公式，可得另一对角线长12×2÷4=6，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
根据勾股定理可得菱形的边长=cm．
故答案为．
点睛：此题主要考查菱形的性质和菱形的面积公式，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直．
10、1
【解析】
先依据勾股定理的逆定理，即可得到是直角三角形，再根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得出结论．
【详解】
解：，，，
，
是直角三角形，
又点E是AB的中点，
，
故答案为：1．
本题主要考查了勾股定理的逆定理以及直角三角形斜边上中线的性质，解题时注意运用：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
11、1
【解析】
首先证明AE=CE，根据勾股定理列出关于线段AE的方程，解方程求出AE的长问题即可解决．
【详解】
解：由题意得：∠DCA=∠ACE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴DC//AB，∠B=90°，
∴∠DCA=∠CAE，
∴∠CAE=∠ACE，
∴AE=CE(设为x)，
则BE=8-x，
由勾股定理得：x2=(8-x) 2+42，
解得：x=5，
∴S△AEC =×5×4=1，
故答案为1．
本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理的应用等，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理是解题的关键.本题也要注意数形结合思想的运用．
12、35°
【解析】
根据折叠的性质可得∠ECB=∠ECF，CB=CF，根据菱形的性质可得CB=CD，∠B=∠D=70°，∠BCD=180°-∠D=110°，求出等腰三角形DCF的顶角∠DCF，即可求出∠ECF的度数
【详解】
解：在菱形ABCD中，CB=CD，∠B=∠D=70°，∠BCD=180°-∠D=110°，
根据折叠可得：∠ECB=∠ECF，CB=CF，
∴CF=CD
∴∠DCF=180°-70°-70°=40°，
∴∠ECF=（∠BCD-∠DCF）=35°.
故答案为35°.
本题考查图形的翻折变换，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
13、1
【解析】
先根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC，再根据平移的性质得AD=BE，ADBE，于是可判断四边形ABED为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式得到BE的方程，则可计算出BE=1，即得平移距离．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，
∴AC=AB=5，
∵△ABC沿CB向右平移得到△DEF，
∴AD=BE，ADBE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵四边形ABED的面积等于20，
∴AC•BE=20，即5BE=20，
∴BE=1，即平移距离等于1．
故答案为：1．
本题考查了含30°角的直角三角形的性质，平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了平行四边形的判定与性质．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）详见解析；（2）能；（3）2或秒
【解析】
（1）在中，,，由已知条件求证；
（2）求得四边形为平行四边形，若使平行四边形为菱形则需要满足的条件及求得；
（3）分三种情况：①时，四边形为矩形．在直角三角形中求得即求得．②时，由（2）知，则得，求得．③时，此种情况不存在．
【详解】
（1）在中，
∴
又∵
∴
（2）能. 理由如下：
∵，
∴
又∵
∴四边形为平行四边形
在中，
∴
又∵
∴
∴,
∴
当时，为菱形
∴AD=
∴，即秒时，四边形为菱形
（3）①时，四边形为矩形．
在中，，
．
即，．
②时，由（2）四边形为平行四边形知，
．
，
．
则有，．
③当时，此种情况不存在．
综上所述，当秒或秒时，为直角三角形．
本题考查了菱形的性质，考查了菱形是平行四边形，考查了菱形的判定定理，以及菱形与矩形之间的联系．难度适宜，计算繁琐．
15、（1）A、B两种品牌服装每套进价分别为100元、75元；（2）17套．
【解析】
（1）首先设A品牌服装每套进价为x元，则B品牌服装每套进价为（x-25）元，根据关键语句“用2000元购进A种服装数量是用750元购进B种服装数量的2倍．”列出方程，解方程即可；
（2）首先设购进A品牌的服装a套，则购进B品牌服装（2a+4）套，根据“可使总的获利超过1200元”可得不等式（130-100）a+（95-75）（2a+4）＞1200，再解不等式即可．
【详解】
解：（1）设A品牌服装每套进价为x元，则B品牌服装每套进价为元，由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
，
答：A、B两种品牌服装每套进价分别为100元、75元；
（2）设购进A品牌的服装a套，则购进B品牌服装套，由题意得：
，
解得：，
答：至少购进A品牌服装的数量是17套．
本题考查了分式方程组的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意，表示出A、B两种品牌服装每套进价，根据购进的服装的数量关系列出分式方程，求出进价是解决问题的关键．
16、甲行24.1步，乙行10.1步．
【解析】
分析：甲乙同时出发二者速度比是7:3，设相遇时甲行走了7t，乙行走了3t根据二者的路程关系可列方程求解.
详解：设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行AB=3x，
甲共行AC+BC=7x，
∵AC=10，
∴BC=7x-10，
又∵∠A=90°，
∴BC2=AC2+AB2，
∴（7x-10）2=102+（3x）2，
解得：x1=0（舍去），x2=3.1，
∴AB=3x=10.1，
AC+BC=7x=24.1．
答：甲行24.1步，乙行10.1步．
点睛：本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形.
17、详见解析
【解析】
连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC=∠ABE=∠A=30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性质可证得BE=2CE，则可证得结论.
【详解】
证明：连接，

为边为垂直平分线，
.
，，
，
，
在中，，
，
.
本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
18、（1）甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；（2）他们最多可购买11棵乙种树苗．
【解析】
（1）可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；
（2）可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，列出不等式求解即可．
【详解】
（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，
依题意有 ，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解，
x+10=30+10=40，
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；
（2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有
30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，
解得y≤11，
∵y为整数，
∴y最大为11，
答：他们最多可购买11棵乙种树苗．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系与不等关系列出方程或不等式是解决问题的关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
如图所示：连接OB、AC相交于点E（3，1），过点E、M作直线EM，则直线EM即为所求的直线
设直线EM的解析式为y=kx+b,把E、M两点坐标代入y=kx+b中，得

解得
所以直线的函数表达式：y=2x-5.
故答案是：y=2x-5.
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质以及利用待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求出其中心对称点的坐标，过点E和点M作直线EM,再用待定系数法求直线的解析式即可.
20、-1
【解析】
由可得答案．
【详解】
由题意，得：
故答案为：﹣1．
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的加减混合运算顺序和运算法则．
21、1
【解析】
根据算术平均数的计算方法列方程求解即可．
【详解】
解：由题意得：
解得：．
故答案为1．
此题考查算术平均数的意义和求法，掌握计算方法是解决问题的关键．
22、
【解析】
由直线a∥b∥c,根据平行线分线段成比例定理,即可得,又由AC＝3，CE＝5，DF＝4，即可求得BD的长.
【详解】
解：由直线a∥b∥c,根据平行线分线段成比例定理,
即可得,
又由AC＝3，CE＝5，DF＝4
可得：
解得：BD=.
故答案为.
此题考查了平行线分线段成比例定理.题目比较简单,解题的关键是注意数形结合思想的应用.
23、
【解析】
直接根据一次函数图象与几何变换的有关结论求解．
【详解】
直线y=2x向上平移2个单位后得到的直线解析式为y=2x+2.
故答案为y=2x+2.
此题考查一次函数图象与几何变换，解题关键在于掌握平移的性质
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1) x≤1；(2) ,1；(3) .
【解析】
（1）根据解不等式组的方法可以解答本题；
（2）①根据分式的减法可以化简A；
②根据不等式组和原分式可以确定x的值，然后代入化简后A的值即可解答本题；
（3）根据分式的减法可以化简题目中的式子．
【详解】
解：（1）
由不等式①，得
x≤1，
由不等式②，得
x＜4，
故原不等式组的解集为x≤1；
（2）①A＝,
②由不等式组，得
1≤x＜3，
∵x满足不等式组且x为整数，（x﹣1）（x+1）≠0，
解得，x＝2，
当x＝2时，A
（3）

本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法和解不等式组的方法．
25、（1）故答案为4，32%;（2）图形见解析;(3)第三组;(4)18 (人)
【解析】
（1）根据3组的人数除以3组所占的百分比，可得总人数，进而可求出1组，4组的所占百分比，则a，b的值可求；
（2）由（1）中的数据即可补全频数分布直方图；
（3）50个人的数据中,中位数是第25和26两人的平均数,
(4)用225乘以“优秀”等级（）的所占比重即可求解．
【详解】
（1）由题意可知总人数＝15÷30%＝50（人），
所以4组所占百分比＝10÷50×100%＝20%，1组所占百分比＝5÷50×100%＝10%，
因为2组、5组两组测试成绩人数直方图的高度比为4：1，
所以5a＝50−5−15−10，
解得a＝4，
所以b＝16÷50×100%＝32%，
故答案为4，32%；
（2）由（1）可知补全频数分布直方图如图所示：
(3) 50个人的数据中,中位数是第25和26两人的平均数,而第25和26两人都出现在第三组,
(4)(人)
此题考查了频数分布表和条形统计图．认真审题找到两个图表中的关联信息,通过明确的信息推出未知的变量是解题关键．
26、（1）k=；（2）见解析．
【解析】
（1）根据题目中的例子可以解答本题；
（2）将题目中的式子巧妙变形，然后化简即可证明结论成立．
【详解】
解：（1）∵正数x、y、z满足，
∴x=k（2y+z），y=k（2z+x），z=k（2x+y），
∴x+y+z=3k（x+y+z），
∵x、y、z均为正数，
∴k=；
（2）证明：设=k，
则a+b=k（a-b），b+c=2k（b-c），c+a=3k（c-a），
∴6（a+b）=6k（a-b），3（b+c）=6k（b-c），2（c+a）=6k（c-a），
∴6（a+b）+3（b+c）+2（c+a）=1，
∴8a+9b+5c=1．
故答案为：（1）k=；（2）见解析．
本题考查比例的性质、等式的基本性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
学习积分频数分布表
组别
成绩分
频数
频率
第1组
5
第2组
第3组
15
30%
第4组
10
第5组