高中物理人教版 (2019)必修 第一册5 共点力的平衡优秀学案

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知识点1：共点力平衡的条件
1.平衡状态
物体受到几个力作用时，如果保持静止或匀速直线运动状态，我们就说这个物体处于平衡状态.例如，在光滑水平面上匀速滑动的物块、沿斜面匀速下滑的木箱、天花板上静止的吊灯等，这些物体都处于平衡状态。
①两种平衡情形
（1）物体在共点力作用下处于静止状态.（v =0，a =0）
（2）物体在共点力作用下处于匀速直线运动状态.（v =常数，a =0）
②对静止状态的理解
"静止"要满足两个条件：v =0，a =0，缺一不可，"保持"某状态与"瞬时"某状态有区别.例如，竖直上抛的物体运动到最高点时，这一瞬时速度为零，但这一状态不可能保持，因而上抛的物体在最高点不能称为静止，即速度为零不等同于静止。
2.共点力作用下的平衡条件
在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0。

表达式∶
（Fx合和Fy合分别是将力进行正交分解后，物体在x轴和y轴上所受的合力）
正交分解表达式
Fx合=0→F1x+F2x+…+Fnx=0;
Fy合=0→F1y＋F2y+…+Fny=0.
3.共点力平衡的重要推论
（1）二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，则这两个力必定大小相等，方向相反，作用在一条直线上
（2）三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，则其中任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反.
（3）多力平衡∶如果物体在多个共点力作用下处于平衡状态，则其中一个力与其余的力的合力必定等大反向，或其中几个力的合力与其余的力的合力必定等大反向.
拉密定理
如图所示，在同一平面内，当三个共点力的合力为零时，其中任一个力与其他两个力夹角正弦值的比值相等，即
4.共点力平衡条件的应用
有时物体不处于平衡状态，但它可能在某一方向上处于平衡状态.如在光滑水平面上加速运动的物体，在水平方向上受力不平衡，但它在竖直方向上只受重力和支持力这一对平衡力作用，因此它在竖直方向上处于平衡状态。
三力汇交原理：当物体受到同平面内不平行的三力作用而平衡时，三力的作用线必汇交于一点。
①如果物体在共点力作用下处于平衡状态，则物体所受合力为零，即物体在任一方向上所受的合力都为零。
②如果物体只是在某一方向上处于平衡状态，则在该方向上所受合力为零，可以在该方向上应用平衡条件对问题进行分析。
5.求解共点力平衡问题的一般步骤
（1）根据问题的要求，以计算方便为原则恰当地选取研究对象，使题目中给定的已知条件和待求的未知量通过这个研究对象的平衡条件联系起来。
（2）对研究对象进行受力分析，画出受力分析图.
（3）通过平衡条件，找出各个力之间的关系，由平衡条件列方程，即Fx合=0，Fy合=0。
（4）联立方程求解，必要时对结果进行讨论.
解题方法
一般先对整体和被隔离物体分别进行受力分析，然后对整体和被隔离物体分别应用平衡条件列方程求解。
重难点1：解决静态平衡问题的常用方法
静态平衡问题，分析时首先应认真画出各状态物体的受力图，然后根据受力图用正交分解等方法进行运算。
1.合成法：如图甲所示，若物体受三个力平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反.一般采用力的合成法，如图乙所示，将F1、F2合成，或采用力的分解法，如图丙所示.然后在同一个三角形里解三角形即可.
2.正交分解法：若物体受到三个以上的力，一般采用正交分解法.如分析一静止物体受力步骤如下;
（1）如图所示，选取研究对象，建立直角坐标系，以少分解力和容易分解力为原则，尽量不分解未知力
（2）将坐标轴之外的力分解成沿x轴方向和沿y轴方向的两个分力。
（3）列出x轴和y轴方向上的方程Fx合=0、Fy合=0，求解。
3.闭合矢量三角形法：三个共点力作用使物体处于平衡状态，则此三力首尾相接构成一个闭合的矢量三角形.把三个共点力转化为三角形的三条边，然后通过解这一三角形求解平衡问题.如果力的三角形并不是直角三角形，可以利用相似三角形等规律求解。
【典例1】如图所示，轻绳OA、OB和OP将一只元宵花灯悬挂在P点，花灯保持静止．已知绳OA和OB的夹角为106°，对O点拉力的大小皆为F，sin53°=0.8，cs53°=0.6，轻绳OP对O点拉力的大小为（ ）
A．FB．53FC．65FD．2F
【答案】C
【详解】根据矢量合成可知，轻绳OP对O点拉力的大小为
F1=2Fcs106°2=65F
故选C。
【典例2】如图，轻质细杆PQ上固定一个质量为m的小球C，将细杆放置于互成60°角的两光滑平面上，杆球系统恰好处于静止状态，已知右侧平面与水平面成30°角，左侧平面与水平面垂直，△OPQ为等边三角形，OPCQ在同一竖直面内。下列说法正确的是（ ）
A．左侧面对杆的支持力大小为33mgB．左侧面对杆的支持力大小为mg
C．右侧面对杆的支持力大小为3mgD．右侧面对杆的支持力大小为33mg
【答案】A
【详解】对PQ杆及小球分析，如图所示
根据共点力平衡条件有
FQsin30°=FP，FQcs30°=mg
解得
FQ=233mg，FP=33mg
故选A。
【典例3】如图所示，用一根细绳跨过铁钉将一块小黑板悬挂在墙壁上，细绳的两端固定在小黑板边缘两点A、B上。小黑板静止时，铁钉两侧细绳与竖直方向的夹角分别为α、β。细绳质量不计，细绳与铁钉接触处摩擦不计，则关于夹角α、β大小关系正确的是（ ）
A．若A点高于B点，则α>β
B．若A点高于B点，则绳OB段的拉力较大
C．不论A点与B点高度关系如何，均有α=β
D．由于细绳与铁钉接触处摩擦不计，平衡时OA与OB的长度一定相等
【答案】C
【详解】A B C．由于细绳与铁钉接触处摩擦不计,则OA绳中张力FOA与OB绳中张力FOB大小相等，两力的合力竖直向上，所以两力的水平分力相等，即
FOAsinα=FOBsinβ
又
FOA=FOB
得
sinα=sinβ
因此不论A点与B点高度关系如何，均有
α=β
故AB错误，C正确；
D．由于细绳与铁钉接触处摩擦不计，平衡时OA与OB的长度不一定相等，只需要满足FOA、FOB两力的水平分力相等即可，故D错误。
故选C。
【典例4】（多选）如图所示，质量M=2kg，倾角θ=37∘的斜面放置在水平面上，顶端固定一光滑定滑轮。质量m=1kg的物块通过轻绳跨过定滑轮与轻弹簧相连，弹簧另一端与水平地面相连，轻绳与斜面平行，弹簧保持竖直，弹力大小为8N，系统处于静止状态，重力加速度g=10m/s2，sin37∘=0.6，则下列说法正确的是（ ）
A．物块所受摩擦力的方向沿斜面向下
B．物块所受支持力和绳子拉力的合力方向竖直向上
C．地面对斜面的支持力大小为25.2N
D．地面对斜面的摩擦力大小为0
【答案】AD
【详解】A．物块所受重力沿斜面向下的分力大小为
mgsinθ=6N90∘，现使∠BCA缓缓变小，直到∠BCA=30∘。在此过程中，（不计一切阻力）（ ）
A．钢丝绳上的拉力逐渐增大
B．钢丝绳对滑轮A的作用力变小
C．杆BC对B点的作用力先减小后增大
D．杆BC对B点的作用力变小
【答案】B
【详解】CD．对结点B受力分析，由平衡条件可画出力的示意图

由相似三角形可得
mgAC=NBC=TAB
可得杆BC对B点的作用力大小为
N=BCAC⋅mg
在∠BCA变小的过程中，由于AC、BC长度不变，故N不变，故CD错误；
A．同理可得钢丝绳上的拉力大小为
T=ABAC⋅mg
在∠BCA变小的过程中，由于AC不变，AB缩短，故T减小，故A错误；
B．设滑轮两边钢丝绳的夹角为θ，根据几何关系可知θ变大，钢丝绳对滑轮A的作用力为
F=2Tcsθ2 T变小，csθ变小，则F变小，故B正确。
故选B。
【典例8】如图所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°．已知M始终保持静止，则在此过程中（ ）
A．水平拉力的大小可能保持不变
B．M所受细绳的拉力大小可能先减小后增加
C．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
D．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
【答案】C
【详解】AB．因为物体N重力是不变量，根据共点力平衡关系知，水平方向的拉力和细绳的拉力合力不变，再根据矢量平行四边形法则作图，
由图可得，当悬挂N的细绳与竖直方向的角度增大时，水平拉力在不断增大，悬挂细绳的拉力也不断增大。故AB错误；
CD．对物体M做受力分析，因为细绳的拉力在不断增大，物体在斜面方向受到重力的沿斜面的分力保持不变，因为物体平衡，故当拉力小于重力分力时，摩擦力沿斜面向上，当细绳的拉力在不断增大时，摩擦力经历先减小后增大的过程。当拉力大于重力分力时，摩擦力沿斜面向下。当细绳的拉力在不断增大时，摩擦力大小随之增大。故C正确；D错误。
故选C。
【典例9】如图所示，斜面静止于水平地面。将一个质量为m的小球用轻质细线悬挂于斜面顶端O点，在外力F、细线拉力FT和重力mg的共同作用下处于平衡状态。细线与竖直方向的夹角为θ，与F的夹角为α。开始时，F方向水平。现缓慢增大θ角同时保持α角α>90°不变，直至细线水平。此过程中，斜面始终保持静止，则下列说法正确的是（ ）
A．外力F逐渐增大B．外力F与细线拉力FT的比值保持不变
C．地面对斜面的摩擦力逐渐增大D．地面对斜面的作用力保持不变
【答案】A
【详解】AB．如图所示，作出外力F、细线拉力FT的合力如图所示：
二力的合力和重力大小相等，方向相反，保持α角不变，逐渐缓慢增大θ角，直至悬线水平，因此外力F逐渐增大，细线拉力FT逐渐减小，外力F与细线拉力FT的比值增加，故A正确，B错误；
C．在此过程中，拉力F变为F′时，水平分力最大，即水平分力先增大后减小，应用整体法可分析出地面对斜面的摩擦力先增大后减小，故C错误；
D．在此过程中，拉力F的竖直分力逐渐增大，根据整体法可分析出地面对斜面的支持力一直在减小，故D错误。
故选A。
【典例10】如图（a），某人借助瑜伽球锻炼腿部力量，她曲膝静蹲，背部倚靠在瑜伽球上，瑜伽球紧靠竖直墙面，假设瑜伽球光滑且视为均匀球体，整体可简化成如图（b）。当人缓慢竖直站立的过程中，人的背部与水平面夹角θM+mg
【答案】AC
【详解】AB．对圆球B受力分析如图
可知
β=45°
A对B的弹力
T=mgcsβ
根据牛顿第三定律B对A的弹力
T′=T=mgcsβ
F=T′sinβ=mg
故A正确，B错误；
CD．地面受到的压力为
FN=Mg+T′csβ=Mg+mgcsβcsβ=Mg+mg
故C正确，D错误。
故选AC。
13．如图所示，轻质细线一端拴接一质量为m的小球另一端悬挂于天花板上的O点，在外力F、重力G和细线拉力FT的作用下处于平衡状态。初始时F水平，且细线与竖直方向的夹角为θ，与F的夹角为α。下列说法中正确的是（ ）
A．保持小球位置及θ角不变，缓慢减小α角直至a=θ，F先减小后增大
B．保持F水平，逐渐缓慢增大θ角，F逐渐减小、FT逐渐增大
C．保持F大小不变，方向沿逆时针缓慢转到竖直过程中，θ角逐渐增大
D．保持α角不变，缓慢增大θ角，直至悬线水平，F一直增大
【答案】AD
【详解】A．根据三角形定则进行动态分析，如图
保持小球位置及θ角不变，缓慢减小α角直至a=θ，F先减小后增大，A正确；
B．根据三角形定则进行动态分析，如图
保持F水平，逐渐缓慢增大θ角，则F逐渐增大，FT逐渐增大，B错误；
C．根据三角形定则进行动态分析，如图
保持F大小不变，方向沿逆时针缓慢转到竖直过程中，θ角先增大后减小，C错误；
D．根据三角形定则进行动态分析，如图
保持α角不变，缓慢增大θ角，直至悬线水平，F一直增大，悬线水平时，F最大，D正确。
故选AD。