初中冀教版（2024）14.1 平方根教学设计及反思

这是一份初中冀教版（2024）14.1 平方根教学设计及反思，共9页。

课时目标
1.了解数的平方根的概念,会用根号表示一个数的平方根.
2.了解开平方与平方是互逆运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根.
学习重点
探索平方根的概念,掌握平方根的性质.
学习难点
会用根号表示一个数的平方根.
课时活动设计
情境引入
小明家有一块面积为100 m2的正方形花圃.花圃周围要用护栏围起来,需要护栏多少米?
要求出护栏的长,需要知道正方形花圃的边长.
求花圃的边长就是已知一个数的平方等于100,求这个数.
我们已经学习了有理数的加、减、乘、除和乘方的运算,知道加与减、乘与除互为逆运算,那么乘方是否也有一种对应的逆运算呢?
类比加与减、乘与除的互逆运算的探究过程,已知一个数,我们就可以求出这个数的平方,反过来,如果已知某个数的平方,能否求出这个数呢?让我们带着问题一起走进今天的新课——平方根.
设计意图:复习回顾旧知识,通过实例提出问题,为学新知识作铺垫.
探究新知
探究1 平方根的概念
做一做
(1)35和-35的平方等于多少?10和-10的平方等于多少?
(2)平方等于925的数有哪些?平方等于100的数呢?
(3)满足x2=25的x的值是多少?
解:(1)925;100.
(2)35,-35;10,-10.
(3)5,-5.
通过做题,思考:这三个问题之间有什么关系?你能总结出平方根的概念吗?
学生讨论并回答,教师补充.
总结:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.
探究2 平方根的性质及表示方法
填写下表:
通过观察填写后的表格,思考:
(1)当一个正数和一个负数互为相反数时,它们的平方有什么关系?
(2)正数的平方根有几个,它们之间有什么关系?
(3)0有平方根吗?如果有,它是什么数?
(4)负数有平方根吗?
学生小组交流、讨论,请学生代表发言,教师进行总结.
总结:一个正数有两个平方根,它们互为相反数.
0只有一个平方根,是0本身.
负数没有平方根.
一个正数有两个平方根:一个正数,一个负数.我们把正数a的正的平方根用符号“a”表示,读作“根号a”;把正数a的负的平方根用符号“-a”表示,读作“负根号a”.
正数a的两个平方根记为±a,其中,a称为被开方数.
探究3 平方与开平方之间的区别与联系
1.观察框图,说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样的关系.
我们可以借助平方运算来求一个正数的平方根.
2.开平方的概念:我们把求一个数的平方根的运算,叫做开平方.
如:因为(±5)2=25,所以25的平方根为±5,即±25=±5.
所以±25也表示为25的开平方运算.
总结:对于正数来说,开平方与平方互为逆运算.
设计意图:通过“做一做”,学生初步感受数与其平方数之间的对应关系,在对这种特殊的对应关系有了一定认识的基础上,总结出平方根的概念.通过具体实例,教师引导学生认识平方根的性质.对比平方和开平方的符号语言,使学生初步认识开平方与平方互为逆运算.
典例精讲
例 求下列各数的平方根:
(1)81; (2)36121; (3)0.04.
解:(1)因为(±9)2=81,所以81的平方根为±9,即±81=±9.
(2)因为±6112=36121,所以36121的平方根为±611,即±36121 = ±611.
(3)因为(±0.2)2=0.04,所以0.04的平方根为±0.2,即±0.04 = ±0.2.
设计意图:通过例题,学生掌握平方根的计算方法,强化对平方根概念的理解,规范学生解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.
巩固训练
1.5的平方根是 ±5 .
2.如果-4是某个数的一个平方根,那么这个数是 16 .
3.若x2=2 0162,则x= ±2 016 .
设计意图:通过练习,学生熟练掌握平方根的运算方法,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
1.平方根的概念是什么?
2.平方根的性质有哪些?
3.平方与开平方之间有什么区别和联系?
设计意图:通过小结,学生梳理本节课的内容,提高学生的语言概括能力和发散思维能力.
课堂8分钟.
1.教材第62页练习第1,2,3题,习题A组第1,2,3,4题,B组第1,2题.
2.七彩作业.
教学反思

第2课时 算术平方根
课时目标
1.了解算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根.
2.会求非负数的算术平方根,掌握算术平方根的非负性.
3.知道a表示的是非负数a的算术平方根.
学习重点
了解算术平方根的概念,会求一个非负数的算术平方根.
学习难点
平方根与算术平方根之间的区别和联系.
课时活动设计
情境引入
学校要举行美术作品比赛,小美想裁出一块面积为9 dm2的正方形画布,临摹自己最喜欢的作品参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少分米?
设计意图:通过现实生活情境,提出问题,引起学生的兴趣,增强好奇心,为新课学习作铺垫.
探究新知
探究1 算术平方根的概念
上一个教学活动中的问题应该怎样解决?请同学们分小组进行交流.
分析:根据题干的描述,我们可以知道正方形画布的边长的平方等于9.假设正方形画布的边长为a,则a2=9,所以a=±3,而正方形画布的边长应该大于0,故a=3.
由于面积的不变性和边长大于0的特点,这道题就变成了求一个正数,使得这个正数的平方等于9.这个正数称为9的算术平方根.
教师引导学生总结出算术平方根的概念.
算术平方根的概念:一个正数的两个平方根互为相反数.我们把一个正数a的正的平方根a叫做a的算术平方根.
当求得一个正数的算术平方根后,它的负的平方根可相应求得.
例如,9的算术平方根为3,它的负的平方根就是-3,即9=3,-9=-3.
254的算术平方根为52,它的负的平方根就是-52,即254 = 52,-254 = -52.
0的平方根只有一个,就是0,我们也说0的算术平方根为0,即0=0.
探究2 算术平方根的性质
一个正数的算术平方根有几个?0的算术平方根有几个?是什么数?-1有算术平方根吗?负数有算术平方根吗?
学生思考、交流并总结.
总结:一个正数的算术平方根有一个;0的算术平方根有一个,是0;-1没有算术平方根,负数没有算术平方根.
知识拓展 平方根与算术平方根的区别和联系
区别:(1)概念不同.如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根;非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根.
(2)表示方法不同.正数a的平方根表示为±a,正数a的算术平方根表示为a.
(3)个数及取值不同.一个正数的算术平方根只有一个,是正数;一个正数的平方根有两个,一正一负且互为相反数.
联系:(1)具有包含关系.平方根包含算术平方根,一个数的算术平方根是一个数的平方根中正的一个.
(2)存在条件相同.平方根和算术平方根都只有非负数才有.
(3)0的平方根、算术平方根都是0.
(4)求算术平方根、平方根都可看成是平方的逆运算.
设计意图:通过解决情境引入的问题,引出算术平方根的概念,学生通过思考、归纳、概括得出算术平方根的性质,学生通过对比平方根与算术平方根的区别和联系,能够理解并梳理所学知识.培养学生发现问题、解决问题和归纳概括的能力.
新知讲解
求下列各数的算术平方根:
(1)144; (2)0.01; (3)449; (4)132; (5)(-16)2;(6)0.
解:(1)144=12.(2)0.01=0.1.(3)449 = 27.(4)132=13.
(5)(-16)2=16.(6)0=0.
观察发现,被开方数大于等于0,开方运算的结果大于等于0,满足双重非负性.
总结:a2=|a|=a(a≥0),-a(a<0).
设计意图:让学生在经历活动环节和独立思考后,总结出自己的发现,学生发现的过程就是在观察,表达的过程就是在用数学的语言表达世界,在此过程中培养学生的表达能力和总结能力,学会用数学语言表达现实世界.
典例精讲
例1 计算下列各式:
(1)1.69; (2)-225; (3)±949; (4)-(-17)2.
解:(1)1.69=1.32=1.3. (2)-225=-152=-15.
(3)±949 = ±372= ±37. (4)-(-17)2=-172=-17.
例2 某小区有一块长方形草坪,如图.为了加强保护,小区管理人员准备用篱笆沿草坪边缘将其围起来.已知该长方形草坪的长是宽的4倍,草坪的面积是900 m2,求所需篱笆的总长度.
解:设这块长方形草坪的宽为x m,则长为4x m.
因为长方形草坪的面积是900 m2,
所以4x·x=900,即x2=225.
所以x=±225=±152=±15.
x=-15不合题意,舍去.
所以x=15,2×(15+4×15)=150(m).
答:所需篱笆的总长度是150 m.
设计意图:通过例题对算术平方根进行巩固,学生进一步熟悉算术平方根的概念和性质,并学会用算术平方根的性质解决问题.在此过程中也培养了学生思维的多样性,促进了学生对教学内容的整体理解和把握,培养学生解决问题的能力.规范步骤,让学生养成良好的书写习惯.
课堂小结
1.和同学一起交流算术平方根的概念和性质.
2.谈谈算术平方根和平方根之间的联系与区别.
设计意图:通过小结,学生梳理本节课所学内容,引导学生总结自己的收获,培养学生的表达能力.
课堂8分钟.
1.教材第64页练习第1,2,3题,65页习题A组第1,2,3,4题.
2.七彩作业.
算
术
平
方
根
第2课时 算术平方根 概念:一个正数的两个平方根互为相反数.我们把一个正数a的正的平方根a叫做 a的算术平方根性质:(1)非负数才有算术平方根,正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0(2)算术平方根具有双重非负性(a≥0,a≥0)平方根算术平方根的区别和联系算术平方根的计算:a2=|a|算术平方根的应用
教学反思

x
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