初中数学冀教版（2024）八年级上册17.2 直角三角形教案设计

这是一份初中数学冀教版（2024）八年级上册17.2 直角三角形教案设计，共7页。

1.探索并掌握直角三角形的两个锐角互余.
2.掌握两个角互余的三角形是直角三角形.
3.探索并掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
学习重点
掌握直角三角形的性质定理和判定定理.
学习难点
初步养成综合运用知识解决问题的能力,进一步提高推理能力.
课时活动设计
导入新课
我们前边学习了等腰三角形,除了等腰三角形外,我们还学过直角三角形,直角三角形是又一类特殊的三角形,那么它具有什么性质呢?本节课我们来学习直角三角形的性质.
设计意图:开门见山,直接引出本节课所学内容.
探究新知
教师出示问题:结合目前所学,你对直角三角形有什么认识呢?直角三角形有什么特征呢?
学生:直角三角形的两个锐角互余.
由学生自己完成此猜想的证明.
已知:在Rt△ABC中,∠C=90°.
求证:∠A+∠B=90°.
证明:在Rt△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.
∵∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°-∠C=180°-90°=90°.
几何语言:如图,∵在△ABC中,∠C=90°,
∴∠A+∠B=90°.
直角三角形的性质定理1:直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形的性质定理的逆命题显然也是真命题.
直角三角形的判定定理:如果一个三角形的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形.
此定理证明由学生完成.
已知:在△ABC中,∠A+∠B=90°.
求证:△ABC是直角三角形.
证明:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.
∵∠A+∠B=90°,
∴∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-90°=90°.
∴△ABC是直角三角形.
符号语言:
∵在△ABC中,∠A+∠B=90°,
∴△ABC是直角三角形.
设计意图:学生经过猜想并证明,能够熟练掌握直角三角形的性质定理和判定定理,同时提升学生合情推理能力和演绎推理能力.
探究新知
设计活动,学生操作.
在一张半透明的纸上画出Rt△ABC,∠C=90°,如图1;将∠B折叠,使点B与点C重合,折痕为EF,沿BE画出虚线CE,如图2;将纸展开,如图3.
完成下列问题.
(1)∠ECF与∠B有怎样的关系?线段EC与线段EB有怎样的关系?
解:∠ECF=∠B,EC=EB.
(2)由发现的上述关系以及∠A+∠B=∠ACB,∠ACE+∠ECF=∠ACB,你能判断∠ACE与∠A的大小关系吗?线段AE与线段CE呢?
解:∠ACE=∠A,AE=CE.
(3)由发现的上述关系,你能猜想线段CE与线段AB的关系吗?
猜想:CE=AE=EB,即CE是△ABC中AB边的中线,且CE=12AB.
如何证明你的猜想呢?学生组内合作,互相交流讨论,教师引导,给予详细的证明过程,最后进行总结.
已知:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为斜边AB上的中线.
求证:CD=12AB.
证明:如图2,过点D作DE∥BC,交AC于点E;
作DF∥AC,交BC于点F.
在△AED和△DFB中,
∵∠A=∠FDB(两直线平行,同位角相等),AD=DB(中线的概念),∠ADE=∠B(两直线平行,同位角相等),
∴△AED≌△DFB(ASA).
∴AE=DF,ED=FB(全等三角形的对应边相等).
同理可证,△CDE≌△DCF.
从而,ED=FC,EC=FD.
∴AE=EC,CF=FB(等量代换).
又∵DE⊥AC,DF⊥BC(两直线平行,同位角相等),
∴DE为AC的垂直平分线,DF为BC的垂直平分线.
∴AD=CD=BD(线段垂直平分线的性质定理).
∴CD=12AB.
直角三角形性质定理2:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
设计意图:通过学生动手操作,让学生初步感受并猜想直角三角形的性质定理,理解其合理性,为下个环节的证明作铺垫.通过教师讲解,完成此定理的证明,学生理解该定理的证明过程,并运用该定理去解决问题.
拓展应用
教师提出问题,学生完成证明.
证明:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.
已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°.
求证:BC=12AB.
证明:(方法1)如图1,作斜边上的中线CD,则CD=AD=BD=12AB.
∵∠A=30°,∴∠B=60°.
∴△CDB是等边三角形,
∴BC=BD=12AB.
(方法2)如图2,延长BC到D,使CD=BC,连接AD.
在△ABC和△ADC中,AC=AC,∠ACB=∠ACD,BC=DC,
∴△ABC≌△ADC(SAS).∴AB=AD.
∵∠BAC=30,∴∠B=90°-30°=60°.
∴△ABD是等边三角形.
∴AB=BD.
∴BC=12AB.
学生独立完成,教师及时给予指导,最后进行总结.
含30°角的直角三角形的性质:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.
设计意图:学生通过完成此定理的证明,能够掌握含30°角的直角三角形的性质.
巩固训练
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,若∠A=50°,则∠DCB的度数为( A )
A.50° B.45° C.40° D.25°
第1题图
第2题图
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,将其折叠,使点A落在边CB上的点A'处,折痕为CD,则∠A'DB的度数为( D )
A.40°B.30°C.20°D.10°
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,若AB=4 cm,则BC= 2 cm .
4.若直角三角形斜边上的高和中线分别为10 cm,12 cm,则它的面积是 120 cm2.
设计意图:通过习题的练习,使学生能够熟练运用直角三角形的性质定理解决问题.
课堂小结
这节课你有那些收获?和同学交流一下.
设计意图:通过小结让学生复述本节课所学知识,使学生牢固掌握本节课所学内容,把所学知识内化成自己的知识.
课堂8分钟.
1.教材第149页习题A组第1,2,3题,习题B组第2题.
2.七彩作业.
17.2 直角三角形
1.直角三角形的性质定理:
(1)直角三角形的两个锐角互余.
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
(3)在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.
2.直角三角形的判定定理:
如果一个三角形的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形.
教学反思