1.经历一元二次方程根与系数的关系的探究过程,体会探究过程中的化归思想.
2.掌握一元二次方程的根与系数的关系,并会初步应用.
3.在探究根与系数的关系过程中,让学生体会事物之间的联系,激发学生的求知欲.
学习重点
一元二次方程的根与系数的关系.
学习难点
一元二次方程的根与系数的关系的探究过程.
课时活动设计
复习引入
1.一元二次方程的一般形式是什么?
解:ax2+bx+c=0.
2.一元二次方程的求根公式是什么?
解:x=-b±b2-4ac2a(b2-4ac≥0).
3.一元二次方程的根的情况怎样确定?
解:Δ=b2-4acΔ>0⇔两个不相等的实数根Δ=0⇔两个相等的实数根Δ<0⇔没有实数根
设计意图:复习一元二次方程相关知识,巩固旧知识,为新知识的学习作铺垫.
探索新知
1.由因式分解法可知,方程(x-2)(x-3)=0的两根为x1=2,x2=3,而方程(x-2)·(x-3)=0可化为x2-5x+6=0的形式,则x1+x2= 5 ,x1x2= 6 .
2.设方程2x2+3x-9=0的两根分别为x1,x2,则x1+x2= -32 ,x1x2= -92 .
通过探索一元二次方程中根与系数的关系,对于一元二次方程ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,设方程的两根分别为x1,x2,请你猜想x1+x2,x1x2与方程系数之间的关系,并利用求根公式验证你的结论.
猜想:x1+x2=-ba,x1x2=ca.观察发现,上述两个方程中,均满足x1+x2=-ba,x1x2=ca.
证明:在一元二次方程的求根公式中,当b2-4ac≥0时,有x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a,
所以x1+x2=-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=-2b2a=-ba,
x1x2=-b+b2-4ac2a×-b-b2-4ac2a=(-b)2-(b2-4ac)24a2=4ac4a2=ca.
由上可知,一元二次方程根与系数的关系.
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,那么x1+x2=-ba,
x1x2=ca.
注意:
1.求一元二次方程两根的和与积时,先要将方程整理成一般形式,然后利用根与系数的关系求出两根的和与积.
2.不要漏掉-ba的负号.
3.根与系数之间的关系在方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的前提下,即b2-4ac≥0才能够成立,运用根与系数的关系解题时首先要检验b2-4ac是否非负.
设计意图:学生独立思考的基础上,开展交流,经历“实践、观察、发现、猜想、证明”的过程,理解和掌握一元二次方程根与系数的关系,培养学生的合情推理能力,体会从特殊到一般解决数学问题的思想方法.
典例精讲
例根据一元二次方程根与系数的关系,求下列方程两根的和与积.
(1)x2-3x-8=0; (2)3x2+4x-7=0.
解:(1)a=1,b=-3,c= -8,
b2-4ac=(-3)2-4×1×(-8)=41>0,
所以x1+x2=--31=3,x1x2=-81=-8.
(2)a=3,b=4,c=-7,
b2-4ac=42-4×3×(-7)=100>0,
所以x1+x2=-43=3,x1x2=-73.
设计意图:直接运用根与系数的关系进行解题,加深学生对一元二次方程根与系数关系的理解,同时规范解题格式.
巩固练习
1.判别下列方程根的情况.若有两个实数根,求出两个根的和与积.
(1)x2-4x+1=0;(2)x2-2x+1=0;(3)-x2+3x-2=0;(4)x2-4x=0.
解:(1)a=1,b=-4,c= 1,
b2-4ac=(-4)2-4×1×1=12>0,
所以x1+x2=--41=4,x1x2=11= 1.
(2)a=1,b=-2,c=1,
b2-4ac=(-2)2-4×1×1=0,
所以x1+x2=--21=2,x1x2=11=1.
(3)a=-1,b=3,c=-2,
b2-4ac=32-4×(-1)×(-2)=1>0,
所以x1+x2=- 3-1=3,x1x2=-2-1=2.
(4)a=1,b= -4,c= 0,
b2-4ac=(-4)2-4×1×0=16>0,
所以x1+x2=--41=4,x1x2=0.
2.已知关于x的一元二次方程x2-x+4k=0有两个相等的实数根.
(1)求k的值.
(2)求两个根的和与积.
解:(1)∵方程x2-x+4k=0有两个相等的实数根,
∴Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×4k=0,解得k=116.
(2)由(1),得方程为x2-x+14,
∴x1+x2=-11=1,x1x2=141=14.
设计意图:通过练习,让学生进一步熟悉根与系数的关系,规范解题格式.
课堂8分钟.
1.教材第46页习题A组第2题,习题B组第1,2题.
2.七彩作业.
教学反思