山东省济宁市实验中学2024-2025学年高二上学期9月模块测试数学试题

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注意事项：
1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码.
2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.
3．选择题的作答：每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
4．非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.以下现象是随机现象的是( )
A．标准大气压下，水加热到100 ℃，必会沸腾
B．走到十字路口，遇到红灯
C．长和宽分别为a，b的矩形，其面积为ab
D．实系数一次方程必有一实根
2.抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( )
A．至多有2件次品 B．至多有1件次品
C．至多有2件正品 D．至少有2件正品
3.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,6)
4.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋eq \x\t(B)发生的概率为( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(5,6)
5．直三棱柱中，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知空间向量，，，，则（ ）
A．B．C．D．
7.国庆节放假，甲回老家过节的概率为eq \f(1,3)，乙、丙回老家过节的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,5).假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人回老家过节的概率为( )
A.eq \f(59,60) B.eq \f(3,5) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,60)
8.在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．
由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为( )
% % C. 3.44% %
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．在平行六面体中，若所在直线的方向向量为，则所在直线的方向向量可能为（ ）
A．B．C．D．
10.下列各组事件中，是互斥事件的是( )
A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分
C．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒
D．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%
11．已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且（，），则，的值可能为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
第Ⅱ卷（非选择题）
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________.
13.已知A，B，C两两互斥，且P(A)＝0.3，P(eq \(B,\s\up6(－)))＝0.6，P(C)＝0.2，则P(A∪B∪C)＝________．
14.在长方体中，，以为原点，，，方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则 ，若点为线段的中点，则到平面距离为 ．
四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（13分）
16.（13分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级” ，求事件M发生的概率．
17.（15分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；
(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．
18.（17分）如图所示，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．
求证：（1）平面；
（2）平面．
19．（17分）在长方体中，，为线段中点．
（1）求直线与直线所成的角的余弦值；
（2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由．